苏科数学九上新教案25直线与圆的位置关系第3课时　三角形的内切圆

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1、数 学新 课 标 （ SK） 九 年 级 上 册 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系探 究 新 知探 究 新 知重 难 互 动 探 究重 难 互 动 探 究课 堂 小 结课 堂 小 结新 知 梳 理新 知 梳 理第 3课 时 三 角 形 的 内 切 圆 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系探 究 新 知活 动 1 知 识 准 备 1 经 过 半 径 的 外 端 并 且 垂 直 于 这 条 半 径 的 直 线 是 圆 的_2 圆 的 切 线 _过 切 点 的 半 径 切 线 垂 直 于 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系活 动 2 教 材 导 学 三 角 形 内 切 圆 的

2、 作 法已 知 ABC， 作 O， 使 它 与 ABC的 三 条 边 都 相 切 你 的 作 图 步骤 分 成 哪 几 步 ？ 图 2 5 43 第 一 步 ： _；第 二 步 ： _；第 三 步 ： _ 略 略 略 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系答 案 如 图 2 5 44所 示 ， 步 骤 略 图 2 5 44 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系知 识 链 接 新 知 梳 理 知 识 点 一 尝 试 ： 如 图 2 5 45， 在 一 块 直 角 三 角 形 废 料 中 ， 要 在 上 面挖 掉 一 个 最 大 的 圆 ， 用 尺 规 作 图 画 出 这 个 圆 ， 并

3、 保 留 正 确 的作 图 痕 迹 图 2 5 45 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系答 案 如 图 2 5 46所 示 图 2 5 46 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系新 知 梳 理知 识 点 一 三 角 形 的 内 切 圆 、 三 角 形 的 内 心 、 圆 的 外 切 三 角 形 定 义 ： 与 三 角 形 各 边 都 _的 圆 叫 做 三 角 形 的 _圆 ，_圆 的 _叫 做 三 角 形 的 内 心 ， 这 个 三 角 形 叫 做 圆 的_三 角 形 相 切 内 切 内 切 圆 心 外 切 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系说 明 (1)任 意 一 个

4、三 角 形 有 且 仅 有 1个 内 切 圆 任 意 一 个 圆有 无 数 个 外 切 三 角 形 (2)“ 切 ” 的 含 义 是 指 圆 与 三 角 形 的 边 相 切 ； 三 角 形 的 内 切 圆是 以 三 角 形 为 准 ， 圆 在 它 的 里 面 圆 的 外 切 三 角 形 是 以 圆 为 准 ，三 角 形 在 它 的 外 面 (3)三 角 形 的 内 心 是 三 角 形 三 条 角 平 分 线 的 交 点 (4)三 角 形 内 心 的 性 质 ： 三 角 形 的 内 心 到 三 边 的 距 离 相 等 ； 三 角 形 的 内 心 与 任 一 顶 点 的 连 线 平 分 三 角 形

5、 的 内 角 ； 三 角 形 的 内 心 一 定 在 三 角 形 的 内 部 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系知 识 点 二 三 角 形 的 内 切 圆 与 外 接 圆 的 比 较 类 别 三 角 形 的 内 切 圆 三 角 形 的 外 接 圆图 形 O的 名 称 O叫 做 ABC的 内 切 圆 O叫 做 ABC的 外 接 圆 ABC的 名 称 ABC叫 做 O的 外 切 三角 形 ABC叫 做 O的 内 接 三角 形 圆 心 O的 名 称 圆 心 O叫 做 ABC的 内 心 圆 心 O叫 做 ABC的 外 心圆 心 O的 确 定 作 两 个 角 的 角 平 分 线 作 两 条 边

6、的 中 垂 线内 心 与 外心 的 性 质 内 心 O到 三 边 的 距 离 相 等 外 心 O到 三 个 顶 点 的 距 离相 等 重 难 互 动 探 究2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系探 究 问 题 一 三 角 形 内 切 圆 的 作 图 例 1 某 新 建 小 区 要 在 一 块 等 边 三 角 形 的 公 共区 域 内 修 建 一 个 圆 形 花 坛 (1)若 要 使 花 坛 面 积 最 大 ， 请 你 在 这 块 公 共 区域 (如 图 2 5 47)内 确 定 圆 形 花 坛 的 圆 心 P；(2)若 这 个 等 边 三 角 形 的 边 长 为 18米 ， 请 计 算出

7、花 坛 的 面 积 图 2 5 47 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系解 析 由 题 意 可 知 三 角 形 为 等 边 三 角 形 ， 设 计 方 案 可 根 据 内切 圆 的 性 质 及 正 三 角 形 的 性 质 ， 在 三 角 形 内 作 内 切 圆 ， 此 时圆 形 花 坛 的 面 积 最 大 ， 然 后 由 圆 的 性 质 求 出 内 切 圆 的 半 径 ，从 而 求 出 面 积 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系归 纳 总 结 解 答 实 际 应 用 问 题 的 关 键 是 将 实 际 问 题 转 化 为 合 适的 数

8、 学 模 型 ， 本 题 中 要 使 花 坛 面 积 最 大 ， 则 所 作 的 圆 与 三 角 形三 边 都 相 切 ， 即 作 出 三 角 形 的 内 切 圆 即 可 图 2 5 48 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系探 究 问 题 二 三 角 形 内 切 圆 半 径 的 计 算 例 2 如 图 2 5 49， I是 Rt ABC( C 90 )的 内 切 圆 ， I和 三 边 分 别 切 于 点 D， E， F.(1)求 证 ： 四 边 形 IDCE是 正 方 形 ；(2)设 BC A， AC B， AB C， 求 内 切 圆 I的 半 径 图 2 5 49 2.5 直 线 与

9、 圆 的 位 置 关 系解 析 (1)根 据 切 线 的 性 质 即 可 证 明 四 边 形 IDCE是 一 个 矩 形 ， 再根 据 一 组 邻 边 相 等 的 矩 形 是 正 方 形 即 可 证 明 ； (2)根 据 面 积 相 等可 计 算 结 果 解 ： (1)证 明 ： BC， AC与 I分 别 相 切 于 点 D， E， IDC IEC C 90 ， 四 边 形 IDCE为 矩 形 又 IE ID， 矩 形 IDCE是 正 方 形 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系归 纳 总 结 本 题 通 过 面 积 法 计 算 三 角 形 内 切 圆 的 半 径 2.5 直 线 与 圆

10、 的 位 置 关 系探 究 问 题 三 三 角 形 内 心 性 质 的 应 用 例 3 高 频 考 题 已 知 I为 ABC的 内 心 ， 连 接 AI交 ABC的外 接 圆 于 点 D， 如 图 2 5 50所 示 ， 连 接 BD和 CD.求 证 ： BDCD ID. 图 2 5 50 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系解 析 连 接 BI， 根 据 三 角 形 的 内 切 圆 的 意 义 和 圆 周 角 定 理 得 到BD DC， 根 据 三 角 形 外 角 性 质 求 出 IBD BID， 根 据 等 腰 三角 形 的 判 定 求 出 BD ID即 可 证 明 ： 如 图 2

11、5 51所 示 ， 连 接 BI. 图 2 5 51 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 I是 ABC的 内 心 ， BAD DAC， ABI CBI， ， BD CD. BID ABI BAD， IBD CBI DBC， CAD BAD DBC， DBI BID， BD ID， BD CD ID. 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系归 纳 总 结 本 题 主 要 考 查 对 等 腰 三 角 形 的 性 质 和 判 定 ， 三 角 形的 内 切 圆 与 内 心 ， 三 角 形 的 外 角 性 质 ， 圆 周 角定 理 ， 圆 周 角 、 弧 、 弦 之 间 的 关 系 等 知

12、识 点 的 理 解 和 掌 握 ， 综合 运 用 这 些 性 质 进 行 推 理 是 解 决 此 题 的 关 键 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系备 选 题 如 图 2 5 52， 己 知 ABC， AD平 分 BAC且 与 它 的外 接 圆 交 于 点 D， 在 线 段 AD上 有 一 点 I满 足 BD ID.试 问 点 I是 否是 ABC的 内 心 ？ 若 是 ， 请 加 以 证 明 ； 若 不 是 ， 请 说 明 理 由 图 2 5 52 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系解 析 连 接 BI， 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 求 出 BID IBD，推 出

13、ABI CBI， 得 出 I是 BAC和 ABC的 平 分 线 的 交 点 即可 证 明 ： 点 I是 ABC的 内 心 证 明 如 下 ： 连 接 BI， 图 2 5 53 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 BID ABI BAD， IBD CBI DBC， BD ID， BID IBD. AD平 分 BAC， BAD CAD DBC， BID BAD DBI DBC， ABI CBI，即 BI是 ABC的 平 分 线 ， I是 BAC和 ABC的 平 分 线 的 交 点 ， 点 I也 在 ACB的 平 分 线 上 ， 即 I是 ABC的 内 心 课 堂 小 结2.5 直 线 与

14、圆 的 位 置 关 系三角形的内切圆 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 图 2 5 54 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系(1)理 解 与 应 用 ： 利 用 公 式 计 算 边 长 分 别 为 5， 12， 13的 三角 形 内 切 圆 的 半 径 ；(2)类 比 与 推 理 ： 若 四 边 形 ABCD存 在 内 切 圆 (与 各 边 都 相 切的 圆 ， 如 图 2 5 54 )， 且 面 积 为 S， 各 边 长 分 别 为 A， B，C， D， 试 推 导 四 边 形 的 内 切 圆 半 径 公 式 ；(3)拓 展 与

15、延 伸 ： 若 一 个 N边 形 (N为 不 小 于 3的 整 数 )存 在 内切 圆 ， 且 面 积 为 S， 各 边 长 分 别 为 A1， A2， A3， ， AN， 合理 猜 想 其 内 切 圆 半 径 公 式 (不 需 要 说 明 理 由 ) 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系解 析 (1)根 据 上 述 三 角 形 的 内 切 圆 的 半 径 公 式 ， 由 已 知 条件 ， 结 合 勾 股 定 理 的 逆 定 理 知 该 三 角 形 是 直 角 三 角 形 可 以 首先 求 得 其 面 积 是 30， 其 周 长 是 5 12 13 30.再 根 据 其 公 式 代入 计 算 ；(2)同 样 连 接 圆 心 和 四 边 形 的 各 个 顶 点 ， 根 据 四 边 形 的 面 积 等于 四 个 三 角 形 的 面 积 进 行 计 算 ；(3)根 据 上 述 方 法 和 结 论 ， 即 可 猜 想 到 ： 任 意 多 边 形 的 内 切 圆的 半 径 等 于 其 面 积 的 2倍 除 以 多 边 形 的 周 长 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 2.5 直 线 与 圆 的 位 置 关 系图 2 5 55