211合情推理学案（人教A版选修1-2）

《211合情推理学案（人教A版选修1-2）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《211合情推理学案（人教A版选修1-2）（13页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、21.1合情推理课标解读1.了解合情推理的含义，正确理解归纳推理与类比推理(重点)2能用归纳和类比进行简单的推理(难点)3了解合情推理在数学发现中的作用.归纳推理【问题导思】1数列an中，a1，a2，a3，a4.你能猜出a5的值吗？【提示】a5.2直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180，你能猜想出什么结论？【提示】所有三角形内角和都是180.定义特征由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理类比推理【问题导思】已知三角形的如下性质：(1)三角形的两边之和大

2、于第三边；(2)三角形的面积等于高与底乘积的.1试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质【提示】(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.2以上两个推理有什么共同特点？【提示】都是根据三角形的特征，类比四面体相关元素得出结论的定义特征由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理类比推理是由特殊到特殊的推理合情推理【问题导思】1归纳推理与类比推理有没有共同点？【提示】二者都是从具体事实出发，推断猜想新的结论2归纳推理与类比推理得出的结论一定正确吗？【提示】不一定正确归纳推理和类比推理都是

3、根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理归纳推理有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()图211A26B31C32 D36【思路探究】本题中图形的变化比较简单，可有两种思路：第一种，直接查个数，找到变化规律后再猜想；第二种，看图形的排列规律，每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形【自主解答】法一有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱

4、形纹的正六边形的个数是65(61)31.故选B.法二由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹的正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为65(61)31，故选B.【答案】B1解答本题时，关键是找出相邻图形间正六边形个数的变化规律2对于图形中的归纳推理问题，可从图形中相关元素(点、直线等)的变化规律入手直接求解，也可将其转化为数列问题进行求解(2012陕西高考)观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为_【解析】观察每行不等式的

5、特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列第五个不等式为1.【答案】1类比推理如图212所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是ABC三条边上的高，P为ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论1.图212证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明【思路探究】三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高【自主解答】，同理，.SPBCSPACSPABSABC，1.类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点

6、到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论1.证明如下：，同理，.VPBCDVPACDVPABDVPABCVABCD，1.1类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论2平面图形与空间图形类比如下：平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体在本例中，若ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A、B、C，那么由abcos Cccos B可类比四面体的什么性质？【解】在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分

7、别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小猜想SS1cos S2cos S3cos .合情推理的综合应用在公比为4的等比数列bn中，若Tn是数列bn的前n项积，则有，也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列an中，若Sn是an的前n项和(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明；(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)【思路探究】结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质【自主解答】(1)数列S20S10，S30S20，S40S30也是等差数列，且公差为300.该结

8、论是正确的证明如下：等差数列an的公差d3，(S30S20)(S20S10)(a21a22a30)(a11a12a20)10d10d10100d300，同理可得：(S40S30)(S30S20)300，所以数列S20S10，S30S20，S40S30是等差数列，且公差为300.(2)对于kN*，都有数列S2kSk，S3kS2k，S4kS3k是等差数列，且公差为k2d.在等比数列与等差数列的类比中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点等差数列有如下性质：若数列an是等差数列，则当bn时，数列bn也是等差数列；类比上述性质，相应地，若数列cn是正项等比数列，则当dn_时，数列dn

9、也是等比数列【解析】类比等差数列与等比数列的性质：定义中“差”与“商”，中项中“和”与“积”，可猜测当dn时，dn为等比数列【答案】归纳推理在数阵中的应用(12分)观察如图所示的“三角数阵”1第1行22第2行343第3行 4774第4行51114115第5行记第n行的第2个数为an(n2，nN*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为_、_、_、_、_、_；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出an1与an的关系式【思路点拨】观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果(2)由数阵可直接写出答案(3)

10、写出a3a2，a4a3，a5a4，从而归纳出(3)的结论【规范解答】由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数(1)6,16,25,25,16,6.4分(2)a22，a34，a47，a511.8分(3)a3a22，a4a33，a5a44，由此归纳：an1ann.12分对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解1合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发展结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方

11、向2合情推理的过程概括为：从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想1下列说法正确的是()A由合情推理得出的结论一定是正确的B合情推理必须有前提有结论C合情推理不能猜想D合情推理得出的结论不能判断正误【解析】根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论，故选B.【答案】B2如果数列an的前n项和Snan3，那么这个数列的通项公式是()Aan2(n2n1)Ban32nCan3n1 Dan23n【解析】当n1时，a1a13，a16，由Snan3，当n2时，Sn1an13，当n2时，anSnSn1anan1，an3an1.a16，a236，a3326.猜想：an63n123n.故选D.【答

12、案】D3下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A三角形 B梯形C矩形 D平行四边形【解析】因为平行六面体的六个面全为平行四边形，并且相对的每一对面平行且全等类比这一性质可知平面中应类比平行四边形更合适【答案】D4在RtABC中，若C90，则cos2Acos2B1，在立体几何中，给出四面体性质的猜想【解】如图，在RtABC中，cos2Acos2B()2()21.把结论类比到四面体PABC中，我们猜想，在三棱锥PABC中，若三个侧面PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且与底面所成的二面角分别为，则cos2cos2cos21.一、选择题1下列关于归纳推理的说法错误的是()A

13、归纳推理是一种从一般到一般的推理过程B归纳推理是一种从特殊到一般的推理过程C归纳推理得出的结论不一定正确D归纳推理具有由具体到抽象的认知功能【解析】归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论未必正确故B、C、D正确，A错误【答案】A2类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；各个面是全等的正三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角相等；各棱长相等，相邻的两个面所成的二面角相等ABCD【解析】类比推理的原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而违背了这

14、一原则，只有符合【答案】B3观察下列各式：7249,73343,742 401，则72 011的末两位数字为()A01 B43 C07 D49【解析】7249,73343,742 401,7516 807,76117 649，由此看出，末两位数字具有周期性，且周期为4，又2 01145023，由此知72 011的末两位数字应为43，故选B.【答案】B4下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；三角形内角和是180，四边形内角

15、和是360，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n2)180.A B C D【解析】是类比推理；是归纳推理；是归纳推理所以、是合情推理【答案】C5已知f1(x)cos x，f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，f4(x)f3(x)，fn(x)fn1(x)，则f2 013(x)等于()Asin x Bsin x Ccos x Dcos x【解析】f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，可以归纳出f4n(x)sin x，f4n1(x)cos x，f4n2(x)sin x，f4n3(x)cos x，f2 013(x)f1(x)cos x

16、.【答案】C二、填空题6已知bn为等比数列，b52，则b1b2b3b929.若an为等差数列，a52，则an的类似结论为_【解析】结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3b929可得，在an中，若a52，则有a1a2a3a929.【答案】a1a2a3a9297把1、3、6、10、15、21、这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图213)图213试求第七个三角形数是_【解析】观察知第n个三角形数为123n，当n7时，28.【答案】288在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为12，则它们的体积比为_

17、【解析】两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，它们的体积比为18.【答案】18三、解答题9设平面内有n条直线(n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数(1)求f(4)；(2)当n4时，求f(n)(用n表示)【解】(1)如图所示，可得f(4)5.(2)f(3)2，f(4)5f(3)3，f(5)9f(4)4，f(6)14f(5)5.每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数f(n)f(n1)n1，累加得f(n)f(3)345(n1)2345(n1)(n1)(

18、n2)10已知数列an的前n项和为Sn，a11且Sn120(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式【解】当n1时，S1a11；当n2时，2S13，S2；当n3时，2S2，S3；当n4时，2S3，S4.猜想：Sn(nN*)11已知在RtABC中，ABAC，ADBC于D，有成立那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由【解】猜想：类比ABAC，ADBC，可以猜想四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE平面BCD，则.猜想正确如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正确.