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1、北京师范大学教育实习教案（注：须于上课前二日写好）部/院/系 数学科学学院专业数学与应用数学 姓名苏代辉学号0810012942我校指导教师刘洁民实习学校教学指导教师刘芹原任课教师刘芹2012年 11 月 12 日 (星期 一 ) 第 2 节课 本人本次实习第 10 个教案 实习学校和平街一中实习班级高二(10)班实习科目数学教学课题椭圆及其标准方程所用教材教材名称：数学A版选修1-1第 1册，第 2 章 1 节32页出版社：人民教育出版社.教学目标知识与技能：1、理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义；2、掌握椭圆标准方程的推导过程；3、要求会求一些简单的椭圆的标准方程。情感态度、价值观： 1、通
2、过探究性学习，获得成功的喜悦、培养学好数学的信心；2、帮助学生树立运动、变化观点，培养学生勇于进取精神和良好心理素质；3、经历观察、探究等学习活动，培养尊重事实、实事求是的科学态度。教学重点椭圆定义的形成和标准方程的推导。教学难点椭圆标准方程的推导。课时安排1课时教学用具学案教学方法教师启发引导、学生主动探究和问题驱动型教学。北京师范大学教育实习教案教学过程及内容一、创设情境，探究定理。1、探究。 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉近绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆，如果把绳子的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔
3、尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？分析：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数。我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距。2、思考。观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简化？类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程，我们根据椭圆的几何特征选择适合的坐标系，建立它的方程。如图，经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1、F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy。设M（x,y）是椭圆上任意
4、一点，椭圆的焦距为2c（c0），那么焦点F1、F2的坐标分别为（-c，0）、（c，0），又设M与F1、F2的距离的和为2二、建系设点求方程。由椭圆的定义，椭圆就是集合P=MMF1+MF2=2a。因为MF1=（x+c）2+y2，MF2=（x-c）2+y2，所以：（x+c）2+y2 +（x-c）2+y2=2a。为了简化这个方程，将左边的一个根式移到右边，得： （x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2将这个方程两边平方，得：（x+c）2+y2=4a2-4a（x-c）2+y2 +（x+c）2+y2整理可得：a2-cx=a（x-c）2+y2 上式两边再平方，得 a4-2a2cx+c2x2=a2x2-
5、2a2cx+a2c2+a2y2， 整理得： （a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2） 两边同除以a2（a2-c2），得： x2a2+x2a2-c2=1. 由椭圆的定义可知，2a2c，即ac，所以a2-c20.思考：观察，你能从中找出表示a，c，a2-c2的线段？由图可知，PF1=PF2=a。OF1=OF2=c。 PO=a2-c2，令b=PO=a2-c2，那么式就是：x2a2+x2b2=1 （ab0）. 从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程；以方程的解（x，y）为坐标的点到椭圆两个焦点（-c，0），（c，0）的距离之和为2a，即以方程的解为坐标的点都在椭圆上。这样，我们把方
6、程叫做椭圆的标准方程。它的焦点在x轴上，两个焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），这里c2=a2-b2。思考如果焦点F1、F2在y轴上，且F1、F2的坐标分别为（0，-c），（0，c），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么。容易知道，此时椭圆的方程是：x2a2+x2b2=1 （ab0）这个方程也是椭圆的标准方程。三、例题应用。例1.已知椭圆两焦点的坐标分别（-2,0），（2,0），并且经过点（52，-32），求它的标准方程。解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：x2a2+x2b2=1 （ab0）。由椭圆的定义知：2a=PO=（52+2）2+（-32）2+（52-2）2+（-
7、32）2=210，所以a=10。又因为c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6.因此，所求的椭圆的标准方程为：x210+x26=1你还能用其他的方法求这个方程吗？例2，如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点p在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？分析：点P在圆x2+y2=4上运动，点P的运动引起点M的运动，我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程。解：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0、y0），则x=x0。y=y02.因为点P（x0、y0）在圆x2+y2=4上，所以
8、x02+y02=4。把x0=x，y0=2y带入方程，得x2+4y2=4。即x24+y2 =1 （ab0）。所以，点M的轨迹是一个椭圆。总结：寻求点M的坐标x，y与中间变量x0，y0之间的关系，然后消去x0，y0。得到点M的轨迹方程，这是解析几何中求点的轨迹方程常用的一种方法。四、课堂小结。1、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。2. x2a2+x2b2=1为椭圆的标准方程。其中当ab时，焦点在x轴上；当ab0）。由椭圆的定义知：2a=PO=（52+2）2+（-32）2+（52-2）2+（-32）2=210，所以a=10。又因为c=2，所以b2=a2-c2
9、=10-4=6.因此，所求的椭圆的标准方程为：x210+x26=1椭圆的定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的标准方程：焦点在x轴上时：x2a2+y2b2=1（ab0）焦点在y轴上时：y2a2+x2b2=1（ab0）北京师范大学教育实习教案课后总结与评议纪录自我分析和同学意见总体满意，内容有点多，但难度不大。在认真备课的基础上，课堂上能够把知识点讲解清楚，重难点突出。师生有效互动，收到良好的教学效果。 该同学课上灵活应变，针对学生回答问题不够积极的情况，经引导和调整提问方式后，学生回答较好。实习学校教学指导教师意见我校指导教师意见
10椭圆及其标准方程
