偏微分方程数值解

《偏微分方程数值解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《偏微分方程数值解（146页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、偏微分方程数值解 (Numerical Solution of Partial Differential Equations) 主讲：王曰朋 参考数目 1. George J. Haltiner, Roger Terry Williams, Numerical Prediction and Dynamic Meteorology(2nd Edition), the United States of America, 1979. 2. Curtis F.Gerald and Patrick O., Applied Numerical Analysis, Person Education, Inc

2、., 2004. 3. Eugenia Kalnay, Atmospheric Modeling, Data Assimilation and Predictability, the press Syndicate of the University of Cambridge,2003. 4. Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press,1996. 5. 李荣华，冯国忱 . 微分方程数值解 . 北京：人民教育出版社， 1

3、980. 6. 徐长发，李红 . 实用偏微分方程数值解法 . 华中科技大学出版社， 2003. 7. 沈桐立，田永祥等 . 数值天气预报 . 北京：气象出版社， 2007. 数值天气预报 PDE数值解 1. 挪威气象学家 V.Bjerknes（ 1904）提出数值预 报的思想：通过求解一组方程的初值问题可以 预报将来某个时刻的天气 思想； 2. L.F.Richardson(1922)：开创了利用数值积分 进行预报天气的先例，由于一些原因（如，计 算稳定性问题“ Courant,1928”）并没有取得预 期的效果 尝试； 3. Charney, Fjortoft, and Von Neuman

4、n(1950), 借助于 Princeton大学的的计算机 (ENIAC)，利 用一个简单的正压涡度方程 （ C.G.Rossby,1940）对 500mb的天气形式作 了 24小时预报 -成功； The Electronic Numerical Integrator and Computer (ENIAC). 常微分方程的数值解 大气科学中 常微分方程和偏微分方程的关系 1. 大气行星边界层 (近地面具有湍流运动特性的大 气薄层 ,1 1.5km), 埃克曼（ V.W.Ekman）（瑞 典）螺线的导出； 2. 1963年，美国气象学家 Lorenz在研究热对流的 不稳定问题时，使用高截断的谱

5、方法，由 Boussinesq流体的闭合方程组得到了一个完全确 定的三阶常微分方程组，即著名的 Lorenz系统。 Lorenz系统 dx / dt = a (y - x) dy / dt = x (b - z) - y dz / dt = xy - c z 其中， a=10,(Prandtl number); b=28(Rayleigh number); c=8/3; (x,y,z)_0=(0.01;0.01;1e-10) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 - 3 0 - 2 0 - 1 0 0 10 20 30 40 50 - 2 0 0 20 - 3 0 -

6、2 0 - 1 0 0 10 20 30 0 10 20 30 40 50 Franceshini 将 Navier-Stokes方程截断为五维的 截谱模型如下： 1 1 2 3 4 5 2 2 1 3 3 3 1 2 4 4 1 6 5 5 1 4 2 4 4 93 5 7 R e 5 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = - + + = - + = - - + = - - = - - 欧拉法 折线法 常微分方程能直接进行积分的是少数，而多数是 借助于计算机来求常微分方程的近似解； 有限差分法是常微分方程中数值解法中通 常有效 的方法

7、； 建立差分算法的两个基本的步骤： 1. 建立差分格式，包括： a. 对解的存在域剖分； b. 采用不同的算法可得到不同的逼近误差 截断 误差（相容性）； c.数值解对真解的精度 整体 截断误差（收敛性）； d.数值解收敛于真解的速 度； e. 差分算法 舍人误差（稳定性） . 2.差分格式求解 将积分方程通过差分方程转化为代数方程求 解，一般常用递推算法。 在常微分方程差分法中最简单的方法是 Euler方法，尽管在计算中不会使用，但从 中可领悟到建立差分格式的技术路线，下 面将对其作详细介绍 : 差分方法的基本思想“就是以差商 代替微商” 2 3 ( ) 11 1 1( ) () () ()

8、 () () ( ) 2! 3! ! n n nut h ut uth u th u th u th Oh n 2 3 ( ) 11 1 1( ) () () () () () ( ) 2! 3! ! n n nut h ut uth u th u th u th Oh n 考虑如下两个 Taylor公式： （ 1） （ 2） 从（ 1）得到： 1( ) ( )( ) ( )ii i u t u tu t O h h 从（ 2）得到： 1( ) ( )( ) ( )ii i u t u tu t O h h 211( ) ( )( ) ( ) 2 ii i u t u tu t O h h 从

9、（ 1） -（ 2）得到： 从（ 1） +（ 2）得到： 211 2 ( ) 2 ( ) ( )( ) ( )i i i i u t u t u tu t O h h 对经典的初值问题 0 ( , ) ( 0 ) du f t u dt uu (0, )tT 1 2 1 2( , ) ( , )f t u f t u L u u 满足 Lipschitz条件 保证了方程组的初值问题有唯一解。 一、算法构造： 0 t u T nt0t it 1ii t t h 1. 在求解域上等距离分割： 2. 在 有： 1 , iitt 1( ) ( ) ( , ) ( )iiu t u t f tu O h

10、h 1 ( , )ii iiuu f t uh 1 ( , )i i i iu u hf t u 微分方 程的精 确解 差分方 程的精 确解 3. 应用时采用如下递推方式计算： 0u 1u 2u 3u 0t 1t 2t 4. 例题 对初值问题 2 ( 0 ) 1 y x y y (0,1)x 5,N 0.2h用 Euler法求解，用 即， 0 0 1 1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 4 5 ( , ) 1 . 0 0 0 , 1 . 2 0 0 ; ( , ) 1 . 6 0 0 , 1 . 5 2 0 ; ( , ) 2 . 3 2 0 , 1 . 9 8 4 ; ( , ) 3 .

11、 1 8 4 , 2 . 6 2 1 ; ( , ) 4 . 2 2 1 , 3 . 4 6 5 f x y y f x y y f x y y f x y y f x y y 5. Euler法的几何意义 0 t 0t it 1iit t h 在递推的每一步，设定 ()iiu t u 1()iut 1iu 2()Oh ()iut ( ) ,iiu t u 过点 ( , )iitu 作 的切线，该切线的 ()ut 方程为： 11( )( )i i i i iu u u t t t 即： 1 ( , )i i i iu u hf t u 二、误差分析 构造算法后，这一算法在实际中是否可行呢？也就

12、是说是否使计算机仿真 而不失真，这还需要进一步分析。 1. 局部截断误差 -相容性 为了分析分析数值方法的精确度，常常在 () iiu u t 成立的假定下， 估计误差 1 1 1()i i ie u t u 这种误差称为“局部截断误差”，如图。 2 1( ) ( ) ( ) ( )2i i i hu t u t hu t u 2 ( ) ( , ( ) ( )2i i i hu t hf t u t u 2 2 1 1 1( ) ( ) ( )2i i i he u t u u O h 局部截断误差是以点 it 的精确解 () iut 为出发值，用数值方法推进到下一个点 1it 而产生的误差

13、。 整体截断误差是以点 0t 的初始值 0u 为出发值，用数值方法推进 i+1步到点 1it ，所得的近似值 与精确值 的偏差： 2.整体截断误差 收敛性 1iu 1()iut 1 1 1 ()i i iu t u 称为整体截断误差。 1 ( , )i i i iu u hf t u 11( ) ( ) ( , ( )i i i i iut ut hf t ut e 21 ( , ( ) ( , )i i i i i ih f t ut f t u Dh 21i i ihL Dh 1 2 210(1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 )iii hL Dh hL hL hL 211 0(1 )

14、(1 ) 1ii DhhL hL hL 0 ( 1)TL TL Dhee L 特例， 0 0 若不计初始误差，即 则 1 ( 1) TL i Dh e L 1 ()i Oh 即 3.舍入误差 稳定性 假设一个计算机仅表示 4个数字（小数点后面）， 那么 1 0 .3 3 3 3 ,3 1 0 .1 1 1 1 9 计算 2 0 .3 7 3 4 1 0 .1 1 1 2 0 1 1 1 19 1 1 0 .3 3 3 4 0 .3 3 3 3 3 x x x 2 0 .3 3 3 4 1 19 0 .6 6 6 7 1 3 3 x x x x 我们的要求是：最初产生的小误差在以后的计算中虽然会

15、传递下去，但不会无限制的 扩大，这就是稳定性所描述的问题。下面引进稳定性的概念： 设由初值 0u 0v 得到精确解 ， nu 由初值 得到精确解 ， nv 若存在常数 C 和充分小的步长 0h 使得 00nnu v C u v 则称数值方法是稳定的。 t u 0 0u 0v nt nu nv 2 ( 0 ) 1 d y x y d x y y 计算例题 (0 ,1)x 其解析解为： 12yx x = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 y = 1.0000 1.2000 1.3733 1.5315 1.6811 1.8269 0 0 . 1 0 . 2 0

16、 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 1 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 x y 三、改进的 Euler法 将微分方程 () (, ()u t f t ut 在区间 1 , iitt 上积分，得到 1 1( ) ( ) ( , ( ) i i t ii tu t u t f t u t dt 用梯形法计算积分的近似值，有 1 11 1(, ( ) ( , ( ) ( , ( ) 2 i i t i i i it f t u t dt f t u t f t u t 于是

17、1 1 1 1( ) ( ) ( ,( ) ( ,( ) 2i i i i i iu t u t h f t u t f t u t 1 1 1 1 ( , ) ( , ) 2i i i i i iu u h f t u f t u 这是一个隐式格式，一般需要用迭代法来求 ，而用显式的 Euler法提供初值。 1iu 01 ( , )i i i iu u hf t u 1 1 1 1/2 ( , ) ( , )kki i i i i iu u h f t u f t u 为了简化计算的过程，在此基础上进一步变为如下算法： 1 1 1/2 ( , ) ( , )i i i i i iu u h

18、f t u f t u 1 ( , )i i i iu u hf t u 此式称为“改进的 Euler法。 接下来讨论其几何意义 预估 校正 其局部截断误差为 3()Oh 这个问题将在下节讨论。 t u 0 it 1it 0 ( , )iim f t u ()ut iu 1iu 1 1 1( , )iim f t u 122average mmm 1iu 1()iut 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 1 1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9

19、x y Euler法、改进的 Euler法和解析解的比较 2 ( 0 ) 1 d y x y d x y y (0 ,1)x 12yx 四、（龙格 -库塔） Runge-Kutta方法 简单的 Euler法是建立在 Taylor级数的一项展开； 改进的 Euler法是以两项 Taylor级数为基础建立的，如： 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2i i i i hu t h u t hu t u t O h 23() () () () ()/2 ( )i i i i iut h ut hut h ut h ut h Oh ( ) ( )() 2 ii i u t h u tu t

20、h 11( , ) ( , ) 2 i i i i i f t u f t uuh 如果我们截取 Taylor级数的更多项会得到什么样的求解方法呢？ 两个德国数学家（ C.Runge 0 0 . 1 uu tx u x x u t u t xt 计算实例： 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 0 . 5 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 t x u 2. 向后差分格式 1 1 1 1 2 11 2 2j j j j ji i i i iu u u u ua kh 1 1 111(1 2 )j j j ji i i isu s u su u 当

21、知道第 n层上的 时，要确定第 n+1层上各点值 必须通过求解一个 线性代数方程组。 jiu 1jiu 1 1 1 2 1 0 1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 1 4 3 2 3 1 1 1 11 ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) j j j j j j j j j j j j j j j j N N N N s u s u s u u s u s u s u u s u s u s u u s u s u s u u 1 11 1 22 1 11 1 12 12 12 12 jj jj jj NN jj NN uuss uuss s s s uu ss

22、uu 其矩阵表达式如下： j 1j 1i i 1i 这是一个古典四点向后差分格式。计算实例 2 2 ( , 0 ) s i n ( ) ( 0 , ) ( 1 , ) 0 1 ; 0 0 . 1 uu tx u x x u t u t xt 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 0 . 5 1 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 t x u 3. Crank-Nicolson格式，亦称六点对称格式 1 2 1 1 1 1 1 1 1 22 22() 2 j j j j j j j j i i i i i i i iu u a u

23、 u u u u u k h h 1 1 11 1 1 1(1 2) (1 2)j j j j j ji i i i i isu su su su su su 1 1 1 2 1 1 1 1 / 2 / 2 1 / 2 1 / 2 12 j j j N j N uss uss s s s u ss u j 1j 1i 1i 1 2 1 1 / 2 / 2 1 / 2 1 / 2 / 2 1 2 j j j N j N uss uss s s s u ss u 0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 0 . 5 1 0 0 . 2 0 . 4 0 .

24、6 0 . 8 1 t x u 4. Richardson格式 11 2 11 2 2 2 j j j j j i i i i iu u u u ua kh 11112 ( 2 )j j j j ji i i i iu s u u u u 1j 1i 1i j 1j i 这是一个五点三层差分显式格式 讨论： 假若由于 的作用，导致差分方程的近似解设为： jiu 于是，我们可得到差分格式的误差方程如下： 11112 ( 2 )j j j j ji i i i is x t Richardson格式是不稳定的。 5. 稳定性判别 Von-Neumann 稳定性 在判断有限差分近似的稳定性方法中，以

25、 Von-Neumann方法使用较为 广泛，它仅适用于 线性 常系数的有限差分近似。其过程如下： 首先，要研究的差分方程可写为： 10 1nn m j m m j m m N m N a u b u 如， 其次，对 进行变量分离： jiu 2e x p nn j p j p pu V i x l 1 11(1 2 ) n n n n j j j ju su s u su exp nnjju V i x最后将 代入所考察的有限差分方程。 1 1 1 e x p e x p (1 2 ) e x p e x p nn jj nn jj V i x s V i x s V i x s V i x 1

26、 e x p (1 2 ) e x p nn nn V s V i h s V s V i h 1 ( c o s s in ) (1 2 ) ( c o s s in ) 1 2 (1 c o s ) n n V s h i h s V s h i h s h 定义为 放大系 数 21 4 s i n 2 hs 下面说明，在什么条件下能使 1 1 n n V V 对所有的 成立。 21 1 4 sin 1 2 hs 从上式，我们看出， 21 1 4 s in 2 hs 2 1 2 s i n 2 s h 1 2s . 交替显隐式格式 （）显式预测隐式校正格式 在 n+1/2层上用古典显式格式

27、计算出过度值 ，再在 n+1层上用 1 2nju 古典隐格式校正预测值，即： 1 / 2 11 2 1 1 / 2 1 1 1 11 2 2 2 2 2 n n n n n j j j j j n n n n n j j j j j u u u u u h u u u u u h (2). 跳点格式 首先将网格点（ j, n）按 j+n等于偶数或奇数分成两组，分别称为偶数 网点和奇数网点。从 到 的计算过程中，先在偶数网格点上 用古典显式格式计算，再在奇数网点上用古典隐格式计算，即： nt 1nt 1 11 2 1 1 1 1 11 2 2 1 2 1 n n n n n j j j j j

28、n n n n n j j j j j u u u u u h nj u u u u u h nj 偶数 奇数 三 双曲型方程 22 2 22 0 uua tx 0uuatx （ a）一阶常系数线性双曲型方程 （ b）二阶常系数线性双曲型方程（波动方程） 其中 a为常数 主要对象 为 这些方程的定解条件，可仅有初始条件， 也可以有初始条件和边界条件。 其中 a为常数 同椭圆型方程与抛物型方程相比，双曲 型方程差分格式的性质与定解问题解析解的 性质有更密切的关系。 1 一阶线性双曲型方程 （ 1） 初值问题 考虑 0 dtdxatudtdxxutudtdu xxuatu 0 由于 u(x,t)沿

29、 x-t平面上方向为 dx/dt=a的直线 xat=C（ C为常数）的变化率为 0，即 故沿 x-t平面上任一条斜率为 1/a的直线 xat=C， u(x,t)为常数。平行直线族 xat=C就是方程 (3.1) 的特征线。 (3.2) (3.1) xxxu )()0,( 利用特征线，可以求出初值问题 (3.1)、 (3.2) 的解： )(),( atxtxu ),( 00 tx 由于 u(x,t)在点 处的值依赖与 (x)在点 的值，故初始线 t=0上的点 称为解 u(x,t)在点 的依赖区域。 00 atx 00 atx ),( 00 tx 与抛物型方程求解类似，对 x-t平面进行矩 形网格

30、剖分， x方向的步长为 h， t方向的步长为 ， 网点 简记为 (j,k)。 ),( kj tx （ 1） 偏心格式和中心差分格式 对方程 (3.1)，利用差商代替导数的方法，可得 01 1 h uuauu kjkjkjkj 01 1 h uuauu kjkjkjkj 02 11 1 h uuauu kjkjkjkj ,2,1,0,2,1,0 kj 前两个格式的局部截断误差阶为 ， 分别称为左、右偏心格式。 )( hO )( 2hO 第三个格式的截断误差阶为 ，它称为中心差分格式。 kjkjkj urar a uu )1(11 kjkjkj r a uurau 11 )1( )(2 111 k

31、jkjkjkj uuaruu 其中 hr / 即 从差分格式依赖区域和微分方程依赖区域的 关系，可以得到差分格式收敛的必要条件： 差分格式 的依赖区域包含微分方程的依赖区 域（也 称为 CFL条件）。 对于左偏心格式， CFL条件为： a0，且 。 1ar 1ar 对于右偏心格式， CFL条件 为： a0（或 a0， 上网 点 A(j1,k)， B(j,k)， C(j+1,k) 处的解值已经算出，从点 P(j,k+1)作特征线，它与线 段 AB交于点 D。 ktt （ 2） Lax格式 P 1 ktt ktt C B A D 由 u(p)=u(D)，有 )(2)(2)( AuhahCuhahD

32、u ,2,1,0,2,1,0 kj )1()1(21 111 kjkjkj uaruaru 这样，得到 Lax格式： 当 ， Lax格式稳定，截断误差阶为 。 1ar )( 22 hhO （ 3） Lax Wendroff格式 对方程 (3.1)，利用特征线作二次插值，即可 得到 Lax Wendroff格式： 当 ， Lax Wendroff格式稳定，它的截 断误差阶为 。 1ar )( 22 hO k jx k j k j k j k j u rauuaruu 222 11 1 2)(2 应该注意：边值条件的给法与其它两类方程不同。 如果 a0，方程特 征线向右倾，只能在 x 变化区域的左

33、边界上给 出边界条件： )(),0( 1 ttu （ 2） 初边值问题 如果 a0，方程特 征线向左倾，只能在 x 变化区域的右边界上给 出边界条件，即使 x 的 变化区域为 0 x d ， 也只能给出边界条件： )(),( 2 ttdu a0 X O Y 0 x0 ，考虑下面模型问题： 前面建立的几个显格式，都适用于这个问题。 Ttttu xxxu xTt x u a t u 0)(),0( 0)()0,( 000 下面建立隐格式。 连同初始条件与边界条件： （ 1）最简隐格式 ,2,1,2,1,0 0 1 1 11 jk h uu a uu kjkjkjkj k j k j k j uar

34、uar aru 1 1 1 1 1 1 该格式的局部截断误差阶为 。 )( hO 令 ， 格式可改写为 hr / 该格式可在 0 x, t 内所有网点上显示地计算 解之近似值。 ,2,1,0,2,1, 00 kjuu kkjj ),( kj )1,( kj)1,1( kj 然后用中心差商逼近这些导数值，则 可得到 Wendroff格式： 在点 处，用 ) 2 1, 2 1( kjP （ 2） Wendroff格式 P 1 ktt ktt C H A D G F B E jhxhjx )1( GEP t u t u t u 2 1 FHP x u x u x u 2 1 ,2,1,2,1,0 0

35、 22 1 1 1 1 11 1 1 1 jk h uu h uuauuuu kjkjkjkjkjkjkjkj ）（）（ 连同初始条件与边界条件： 11 11 1 () 1 k k k k j j j j aru u u u ar 该格式的局部截断误差阶为 ，且 无条件稳定。 22()Oh 令 ， 格式可改写为 /rh 该格式可在 0 x, t 内所有网点上显示地计 算解之近似值。 0 0, 1,2, , 0,1,2,kkjju u j k 2 二阶线性双曲型方程（波动方程） 22 2 22 0 uua x a tx 为正常数考察 对 x-t平面进行矩形网格剖分， x方向的步长 为 h， t方

36、向的步长为 ，网点 简记为 (j,k)。 ),( kj tx 用二阶中心差商代替 (3.3) 中的二阶导数，则得到网点 (j,k)处的差分方程： (3.3) (3.4) ( ,0) ( ) ( ,0) ( )uu x x x t xt 2 22 22 1 kk t j x j auu h 1 2 2 2 2 111( ) 2(1 )k k k k kj j j j ju ar u u ar u u ,2,1,0,2,1,0;/ kjhr 其中 。 或 1k k 1k 1jj1j 该格式稳定的充分条件为 。 1ar 初始条件 )()0,( xxu 离散： )()0,( txtu 初始条件 离散：

37、 由 02 2 2 02 2 11 1 )( 2 1 jxjt jjj u h a u uu 消去 ，得 1ju jjjjj ara ru )1(2 22 11 2 2 1 )( 22 hO 上述差分格式与初始条件的截断误差阶均 为 。 jju 0 取为 Ttxxuatu 0,1002 2 2 2 2 上述方法也可用于求解初边值问题： 10)()0,()()0,( xtxtuxxu Ttttuttu 0)(),1()(),0( 3 交替方向隐格式 任何模拟方法，都必须在最佳计算速 度和数值精度之间寻找平衡点。 要在各种可能的求解方法中找到一种 统一地适用于计算材料学领域（或其它领 域）的理想方

38、法，一般是不现实的。 由于实际问题的具体特征、复杂性以 及算法自身的适用范围决定了应用中必须 选择、设计适合于自己特定问题的算法， 因而掌握数值方法的思想至关重要。 科学计算（数值模拟）已经被公认为 与理论分析、实验分析并列的科学研究三 大基本手段之一，但三者之间相辅相成。 第三部分 偏微分方程的有限元方法 一 边值问题的变分原理 1 引论 模型： 在条件 下 2 1 22 s s lds ds dy ds dx 求使得泛函 达到最大的函数 。 )(),( sysx 2121),( ss dsdsdxydsdyxyxs （ 1）等周问题 在长度一定的所有平面封闭曲线中，求 所围面积为最大的曲线

39、。 定义： 当求泛函在一个函数集合 K中的极小 （或极大）问题，则该问题称为变分问题。 变分问题与微分方程的定解问题有一 定的联系。 （ 2）初等变分原理 一元二次函数的变分原理 考察 J(x)的极值情况。 为实常数）fLLfxLxxJ ,0(2)( 2 变分原理： 设 求 ，使 Rx 0 )(m i n)( 0 xJxJ Rx 与求解方程 Lx = f 等价。 对称正定 nnnn n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 多元二次函数的变分原理 求 J(x)取极小值的驻点， 其中 n i n j n i iijiijn xbxxaxxxJxJ 1 1 1 21 2 1

40、),()( 设 设 则 J(x)可表示为： Tnxxxx ),( 21 Tnbbbb ),( 21 ),(),(21)( xbxxAxJ 变分原理： 设矩阵 A对称正定，则下列两个命题等价： 求 ，使 nRx 0 )(m i n)( 0 xJxJ nRx (a) (b) 是方程 的解 0 x bxA 上述两个例子表明 ： ),(),(21)( xbxxAxJ 其中 求二次函数的极小值问题和求线性代数 方程（组）的解是等价的 。 （ 1）弦平衡的平衡原理与极小位能原理 2 两点边值问题的变分原理 考察一根长为 l 的弦，两端固定在点 A(0,0) 和 B(l,0)。当没有外力作用时，它的位置沿水

41、平 方向与 X轴重合。设有强度为 f(x)的外荷载垂直 向下作用在弦上，于是弦发生形变。假定荷载 很小，因而发生的形变也很小。用 u(x) 表示在 荷载 f(x)的作用下弦的平衡位置。 u )0,0(A )0,(lB X 求弦的平衡位置归结为求解两点边值问题： 设弦处于某一位置 u=u(x)，可得到其总位能为 l dxufuTuJ 0 2 )2(21)( 极小位能原理 ： 0)(0)0( 0)()( luu lxxfxuT 其中 T是弦的张力。 平衡原理 )(xuu 弦的平衡位置 (记为 )将在满足边 值条件 u(0)=0， u(l)=0 的一切可能位置中，使 位能取极小值。 弦的平衡位置 是

42、下列变分问题的解 )(xuu )(m i n)( 2 0 uJuJ Cu 在数学上，要将某个微分方程的定解问题 转化为一个变分问题求解，必须针对已给的定 解问题构造一个相应的泛函，并证明定解问题 的解与泛函极值问题的解等价。 有限元方法正是利用这种等价性（边值问 题与变分问题的等价性），先将微分方程定解 问题转化为变分问题（或变分方程）的求解问 题，然后再设法近似求解变分问题（或变分方 程）。 （ 2）两点边值问题的变分原理 构造泛函 考察二阶常微分方程边值问题： 0)(0)( ),( buau baxfqu dx du p dx d Lu ),(),(21)( ufuuuJ ),(),(21

43、)( ufuLuuJ bababa f u d xdxquu d xdxdupdxd 221 ba dxfuquup )2(21 22 dxquvdxdvdxdupvu ba ),( 引入泛函算子 则 变分问题 与前述二阶常微分方程边值问题相应的变分 问题是 ),(),(21)( ufuuuJ 其中 0)(,)()(, 11 aubaHxuxubaH E 求 ，使 1 EHu )(m i n)( 1 uJuJ EHu ba dxfuquup )2(21 22 变分原理（变分问题与边值问题的等价性） 0)(,0)( ),( buau baxfqu dx du p dx d Lu 设 ， 是边值问

44、题 )(0 ICf 2 * Cu 的解，则 使 J(u) 达到极小值； *u 12 EHCu 反之，若 使 J(u) 达到极小值， 则 是边值问题的解。 *u ),(),(21)( ufuuuJ 其中 是强制边界条件， 是自然边 界条件，区别这两类边界条件在用有限元方法求 解边值问题时很重要。 0)( bu0)( au （ 3）虚功原理 对两点边值问题： 0)(,0)( ),( buau baxfqu dx du p dx d Lu 其中 虚功原理 1* EHu ，且满足变分方程： 设 ，以 v乘方程两端，沿 a,b积分， 并利用 ，得变分方程 1EHv 0)(,0)( bvav dxquvd

45、xdvdxdupvu ba ),( 0),(),( vfvu 对任意 1 EHv0),(),( * vfvu 在力学里， 表示虚功 ),(),( vfvu 1EHv 2* Cu 设 ，则 是边值问题解的充要条件是： *u 对于复杂的边界条件，边值问题的求解一 般是困难的 。若将微分方程化为相应的变分问 题或变分方程，则只需处理强加边界条件，无 需处理自然边界条件（自然边界条件已包含于 变分问题中泛函的构造或已包含于给出的变分 方程之中）。这一特点对研究微分方程离散化 方法及其数值解带来了极大的方便。 3 二阶椭圆边值问题的变分原理 （ 1）极小位能原理 模型方程 其中 G是平面有界区域。 0

46、),(),( | 2 2 2 2 u Gyxyxf y u x u u 构造泛函 ),(),(21)( ufuuuJ ),(),(21)( ufuuuJ G d x d yyvyuxvxuvu )(),(引入泛函算子 则 变分问题 与前述二阶 椭圆 边值问题相应的变分问题是 求 ，使 )(1 0 GHu )(m i n)( )(1 0 uJuJ GHu 其中 0),(),(),(|),()( 110 yxuGHyxuyxuGH ),(),(21)( ufuuuJ ),(),(21 ufuu 变分原理（变分问题与边值问题的等价性） 对 第一边值问题，无论齐次或非齐次边界条 件 ，泛函是一样的，只

47、是边界条件要作为强加 边值条件加在所取的函数类上。 设 ， 是 二阶椭圆 边值问题 的解，则 使 J(u) 达到极小值； )(0 ICf )(2* GCu *u )()( 102 GHGCu 反之，若 使 J(u) 达到极 小值，则 是 二阶椭圆 边值问题的解。 *u ),(),(21)( ufuuuJ 其中 对 第二、三类边值问题，无论齐次或非齐次 边界条件 ，二次泛函形式相对于第一边值问题 有所改变，但函数类的选取与边界条件无关。 （ 2）虚功原理 问题 00 0 ),(),( 2 1 | | aau n u u Gyxyxfu 其中 设 ，以 v乘方程两端后在 G上积分， 并利用 Gre

48、en公式，得变分方程 )(1 GHv E 2 ),( a u v d sd x d yyvyuxvxuvu G 0),(),( vfvu 0),(),(),(|),()( 111 yxuGHyxuyxuGHE )(1 GHv E 虚功原理 在力学里， 表示虚功 ),(),( vfvu )(2 GCu 设 是边值问题的解，则对任意 ， 满足变分方程。 )(1 GHv E u 反之，若 ，且对任意 满足变分方程，则 为边值问题的解。 )()( 12 GHGCu E )(1 GHv E u 与极小位能原理类似，第一类边界条件为强 加边界条件，第二、三类边界条件为自然边界 条件。 虚功原理比极小位能原

49、理应用更广。 目的 ：求解相应的变分问题或相应的变分方程。 Ritz方法是近似求解变分问题 (即二次泛函极 小值 )的算法。 Galerkin方法是近似求解变分方程 的算法， 这两种算法统称为 Ritz-Galerkin方法。 Ritz-Galerkin方法的 基本思想 以下用 V表示 等 Sobolev空间， L表示微分算子， (u,v)为由 L及边值条件决定 的双线性泛函。 110 , HHH E 4 Ritz-Galerkin方法 用有限维空间的函数代替变分问题 (或变分 方程 )中无限维空间的函数，从而在有限维函数 空间中求变分问题 (或变分方程 )的近似解，并 要求当有限维空间的维数

50、不断增加时，有限维 近似解逼近原变分问题 (或变分方程 )的解。 由极小位能原理得出的变分问题为： Ritz方法：求变分问题的近似解。 n i iin cu 1 （ 1） Ritz方法 求 ，使 Vu )(m i n)( uJuJ Vu 其中 ， ),(),( 2 1)( ufuuuJ 设 是 V 的 n维子空间， 是 的一 组基底 (称为基函数 ) 。 中任一元素 可表示为 nV n , 21 nV nV nu 即选择适当的 ，使 取极小值。 nccc , 21 )( nuJ 求 ，使 nn Vu )(m in)( vJuJ nVvn Ritz方法 ： 展开 )( nuJ 令 nccc ,

51、21 则 满足 解出 代入 ，则得 ),1( nici nu n i iin cu 1 njfc j n i iji ,2,1),(),( 1 n i n j n j jjjiji cfcc 1 1 1 ),(),(21 njcuJ j n ,2,10)( ),(),(21)( nnnn ufuuuJ Ritz方法步骤为： 根据最小位能原理构造相应于微分方程或物 理问题的变分问题； 取 作为 的一组基底，即用 近似代替无穷维空间 V； ),1( nii , 21 nn s pa nV nV 根据二次函数取极值的必要条件，得到 n n i iin Vcu 1 ic中 所满足的方程组： 求解关于

52、的线性代数方程组。 ic njfc j n i iji ,2,1),(),( 1 由虚功原理得出的变分方程为： Galerkin方法：求变分方程的近似解。 n i iin cu 1 （ 2） Galerkin方法 设 是 V 的 n维子空间， 是 的一 组基底 (称为基函数 ) 。 中任一元素 可表示为 nV n , 21 nV nV nu 即选择适当的 ，使 取极小值。 nccc , 21 )( nuJ Galerkin方法 ： 0),(),( vfvu 0),(),( vfvun 求 ，使对 ， 满足 nn Vu nVv nu nVv 由 的任意性，取 作为 v ，则得 n , 21 将

53、代入变分方程，则 n n i iin Vcu 1 ),(),( 1 vfvc n i ii nVv 解出 代入 ，则得 ),1( nici nu n i iin cu 1 njfc j n i iji ,2,1),(),( 1 Galerkin步骤为： 根据虚功原理构造相应于微分方程或物理问 题的变分方程； 取 作为 的一组基底，即用 近似代替无穷维空间 V； ),1( nii , 21 nn s pa nV nV 求解关于 的线性代数方程组。 ic njfc j n i iji ,2,1),(),( 1 n n i iin Vcu 1 ic n , 21 取 作为 v ，将 代 入变分方程，

54、得到 满足的方程组： 有限元法广泛应用的原因 Ritz-Galerkin方法应用的困难 基函数选取必须满足强加边界条件，因此 选取困难； 计算量、存储量巨大； 方程组求解病态严重。 充分发挥了变分形式和 Ritz-Galerkin方法的 优点； 摆脱了传统的基函数取法； 各种问题的结构程序格式统一。 有限元方法基于变分原理， 又具有差分方法 的一些特点，并且适于较复杂的区域和不同粗细 的网格。 二 椭圆型方程的有限元方法 差分法解偏微分方程，解得的结果就是准确 解 u在节点上的近似值； Ritz-Galerkin方法得到近似的解析解，但对一 般区域，却往往难以实现。 有限元方法与传统 Ritz

55、-Galerkin方法的差别在 于有限维函数空间的构造方法。 Ritz-Galerkin方法 选用的基函数在整个定解区域上整体光滑，有限 元则取分段或分片连续且局部非零的基函数 。 考虑两点边值问题： 1 一维问题的线性元 0)(,0)( )( buau bxafqu dx du p dx d Lu 将区间 a,b分割为 n个子区间 。 ),.2,1(, 1 nixx ii 第 i个单元记为 ，其长度 。 , 1 iii xxI 1 iii xxh （ 1）试探函数与试探函数空间 )( ),()()( 1 的多项式上为次数不超过在且 mIxu IHxuxuV ih Ehhh 设 则 称为试探函

56、数空间， 称为试探函数。 hV hh Vu （ 2） 用单元形状函数表示试探函数 设在节点上试探函数 在节点上的一组值为 hu 最简单的试探函数空间 由分段线性函数组成。 hV nuuuu ,.,0 210 在第 i个单元 上的线性插值函数为 , 1 iii xxI ii i i i i i h Ixuh xxu h xxxu 1 1)( ii ii i i ii i h Ixuxx xxu xx xxxu 1 1 1 1 )( 即 当 时， 的（线性）插值公式称 为（线性）单元形状函数。 iIx )(xuh 把每个单元形状函数合并起来，就得到整 个区间 a,b 上都有定义的函数 ： )(xu

57、 h nn n n n n n ii i i i i i ii i i i i i h Ixu h xx u h xx Ixu h xx u h xx Ixu h xx u h xx Ix h xx u h xx xu 1 1 11 11 1 1 1 1 1 0 0 1 1 )( nx1ixix1ix0 x 1x 1u iu 1iu 1iu nu 为使分段插值标准化，通常用仿射变换 显然 i i h xx 1,0把 变到 ，令 , 1 ii xxx 1)1(0)0(0)1(1)0( 1100 NNNN iiih IxuNuNxu )()()( 110 )(1)( 10 NN 则 ii i i

58、i i i h Ixuh xxu h xxxu 1 1)( 变为 或 1,0)()()( 110 iih uNuNu 定义基函数系 )(x i ,0 1,2,1, , )( 11 1 1 1 1 1 ii ii i i ii i i i xxx nixxx h xx xxx h xx x （ 3） 用节点基函数表示试探函数 ,0 , )( 10 10 1 1 0 xxx xxx h xx x ,0 , )( 1 1 1 nn nn n n n xxx xxx h xx x )() , . . . ,(),( 10 xxx n 线性无关，它们可组 成试探函数空间的基，常称为节点基函数。 几何形状

59、如图 )(0 x )(xi a )(xn 0 x 1,1 ni b 1x 1ix ix 1ix 1nx nx 任一试探函数 可表示为 hh Vu n i iih baxxuxu 0 ,)()( 用这类插值型基函数，可以构造出适合各 种边界条件的试探函数。 若借助前述放射变换 i i h xx 1 节点基函数可用变量 表示为 1. . . ,21 0 ,)( ,)( )( 1 10 1 11 ni h xx xxxN h xx xxxN x i i ii i i ii i ， 其它 其它0 ,)( )( 1 0 100 0 h xx xxxN x 别处0 ,)( )( 1 11 n n nn n

60、 h xx xxxN x 直接形成有限元方程 (a) 把表达式 代入泛函； n i iih xuu 1 )( （ 4）从 Ritz方法出发形成有限元方程 (b) 将泛函表达式中积分区间 a,b变到 0,1； (c) 由 达到极小值的条件 )( huJ njuuJ j h , . . . ,2,10)( 得到含 的 有限元方程 ),2,1(, 11 njuuu jjj ),2,1(0 1,11,1 njbuauaua jjjjjjjjjj 这儿 00 ,10 nnau ), . . . ,1( niui (d) 解出有限元方程的数值解 ，就 得到使二次泛函取极小的近似函数 (有限元解 ) )()

61、( 1 xuxu i n i ih 有限元方程可用矩阵表示为 buK 其中 称为总刚矩阵。 nnnn aa aaa aa K ,1 322212 2111 工程中形成有限元方程时，通常先在每个 单元上形成单元矩阵（称为单元刚度矩阵）， 然后由单元刚度矩阵形成总刚度矩阵（称为总 体合成）。 用单元刚度分析形成有限元方程 (a) 把 按单元组织，则在第 i个单元上，令 )( huJ )( , )( 1, )( ,1 )( 1,1)( i ii i ii i ii i iii aa aak )( )( 1)(1)()( 1, )( ,1 i i i ii i iii ii i ii f f f u

62、u uaa 其中 称为单元刚度矩阵。各元素可计算 得到。 )(ik )( , )( 1, )( ,1 )( 1,1)( i ii i ii i ii i iii aa aa K 再把 扩展成 nn矩阵，使其第 i1行、第 i行 和第 i1列、第 i列交叉位置的元素就是单元刚度矩 阵的四个元素，其余全为零（ 只是第一行，第 一列元素非零）。即 )(ik )1(k TnTn bbbbuuuu ),.,(),.,( 2121 记 则 ),(),(2121)( ubuuKbuuKuuJ TTn n i iKK 1 )( 其中 称为总刚矩阵。 (b) 由 达到极小值的条件 )( huJ njuuJ j

63、h , . . . ,2,10)( ), . . . ,1( niui (c) 解出有限元方程的数值解 ，就 得到使二次泛函取极小的近似函数 (有限元解 ) )()( 1 xuxu i n i ih 得到 有限元方程 。 buK （ 5）从 Galerkin方法出发形成有限元方程 把表达式 代入变分方程 n i iih xuu 1 )( 对前面的两点边值问题，变分方程变为 njdxfu b a ji n i ji , . . . ,2,1),( 1 dxqu vvupvu ba )(),(其中 与 Ritz方法相比， Galerkin方法形成的有限 元方程其系数矩阵就是总刚矩阵。 该方程即为

64、Galerkin法形成的 有限元方程 。 由 Galerkin方法推导有限元方程更加方便直 接，且适用面广。 若希望在每个单元上提高逼近的精确度，则 可通过提高插值多项式次数来实现， 在单元 上可构造一、二、三及高 次插值多项式，其 方法有两种 ： , 1 iii xxI 2 一维问题的高次元 整个问题计算的全过程除分析单元插值外， 均与前面框架类似。 Lagrange型 ：在单元内部增加一些插值节点。 Hermite型 ：在节点引进一阶、二阶乃至更高 阶导数。 线性元 (Lagrange型 ) 要求 ：在每一个单元上是一次多项式，在单元 节点处连续。 插值条件 ：在单元的两个端点取指定值。

65、二次元 (Lagrange型 ) 要求 ：在每一个单元上是二次多项式，在单元 节点处连续。 插值条件 ：在单元的两个端点及单元中点取指 定值。 三次元（ Hermite型） 要求 ：在每一个单元上是三次多项式，在单元 节点处连续。 插值条件 ：在两个端点取指定的函数值和一阶 导数值。 采用高次元，有限元方程形成的方法和线性 元类似，但工作量增加。一是计算积分的复杂性 增加，二是矩阵的带宽增加。 高次元的主要优点是收敛阶高，且提高了函 数逼近的光滑性。 假定区域 G可以分割成有限个矩形的和，且 每个小矩形（单元）的边和坐标轴平行。 1,0;1,0II yyyxxx ii /)(/)( 3 二维问

66、题的矩形元 ; yyyyxxxxR jjiiij 通过仿射变换 采用矩形剖分后，任一个矩形 总可变成单位正方形 如果在 上造出单元形状函数，就可得到试 探函数 。而 上的形状函数可通过先在 上造出形状函数，再通过仿射变化而得到。 II ijR ijR )(xuh II 在 上构造形状函数，也采用 Lagrange型 和 Hermite型插值。 Lagrange型 ： 根据若干插值节点处的函数 值决定插值函数。 Hermite型： 根据若干插值节点处的函数值、 一阶偏导数乃至更高阶偏导数决定插值函数。 （ 1） Lagrange型公式 双一次插值 插值条件 ：给定 顶点上的函数值 II 11100100 , uuuu 求 ：双线性函数 321011 ),( ccccp 1111101101110011 )1,1(,)0,1(,)1,0(,)0,0( upupupup 满足 设 111110101101000011 ),(),(),(),(),( uNuNuNuNp 令 0)0,1()1,0()0,0(,1)1,1( 0)1,1()1,0()0,0(,1)0,1( 0)1,1()0,1(