向量值函数在定向曲面上的积分

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1、第 五 节 向 量 值 函 数 在 定 向 曲 面 上的 积 分 (第 二 类 曲 面 积 分 )一 、 第 二 类 曲 面 积 分 的 概 念 与 性 质二 、 第 二 类 曲 面 积 分 的 计 算 法 一 、 第 二 类 曲 面 积 分 的 概 念 与 性 质1、 定 向 曲 面 及 其 法 向 量观 察 以 下 曲 面 的 侧 (假 设 曲 面 是 光 滑 的 )曲 面 分 上 侧 和 下 侧 曲 面 分 内 侧 和 外 侧能 区 分 出 曲 面 的 侧 的 曲 面 叫 做 双 侧 曲 面 .(1) 曲 面 的 分 类 :1)双 侧 曲 面 ; 2)单 侧 曲 面 . n典型双侧曲面

2、曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 莫 比 乌 斯 带典 型 单 侧 曲 面 : 播 放 莫 比 乌 斯 带典 型 单 侧 曲 面 : 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧

3、 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 典 型 单 侧 曲 面 : 莫 比 乌 斯 带 在 双 侧 曲 面 上 选 定 某 一 侧 ， 这 种 选 定 了 侧 的双 侧 曲 面 称 为 定 向 曲 面 .用 表 示 选 定 了 某 个 侧 的 定 向 曲 面 ，则 选 定 其 相 反 侧 的 定 向 曲 面 用 表 示 .注 意 ： 与 是 不 同 的 曲 面 .

4、(2) 定 向 曲 面 由 方 程 z = z(x,y) 表 示 的 曲 面 分 上 侧 和 下 侧 ，由 方 程 x = x(y,z) 表 示 的 曲 面 分 前 侧 和 后 侧 ，由 方 程 y = y(z,x) 表 示 的 曲 面 分 左 侧 和 右 侧 ，封 闭 曲 面 分 内 侧 和 外 侧 . 曲 面 法 向 量 的 指 向 决 定 曲 面 的 侧 .规 定 :定 向 曲 面 上 任 一 点 处 的 法 向 量 的 方 向 总 是指 向 曲 面 取 定 的 一 侧 . ,),( yxzz 的 方 程 为 ：若 光 滑 曲 面 , 的 指 向 朝 上则 法 向 量取 上 侧 n ,)

5、1,),(,),( yxzyxzn yx 即 ： , 的 指 向 朝 下则 法 向 量取 下 侧 n ,)1,),(,),( yxzyxzn yx即 ： 类 似 地 ： ,),( zyxx 的 方 程 为 ：若 光 滑 曲 面 , 的 指 向 朝 前则 法 向 量取 前 侧 n ,),(,),(,1( zyxzyxn zy 即 ： , 的 指 向 朝 后则 法 向 量取 后 侧 n ,),(,),(,1( zyxzyxn zy即 ： ,),( xzyy的 方 程 为 ：若 光 滑 曲 面 , 的 指 向 朝 右则 法 向 量取 右 侧 n ,),(,1,),( xzyxzyn zx 即 ： ,

6、 的 指 向 朝 左则 法 向 量取 左 侧 n ,),(,1,),( xzyxzyn zx 即 ： 其方向用法向量指向方向余弦cos cos cos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 : 定 向 曲 面 的 投 影 : 面在 xoyS, 在 有 向 曲 面 上 取 一 小 块 .0cos0 0cos)( 0cos)()( 时当 时当 时当 xyxyxyS .)( 表 示 投 影 区 域 的 面 积其 中 xy 为上 的 投 影 xyS)( 曲 面 S .面 上 的 投 影、在类 似 可 定 义 zOxyOzS 2、 引 例实 例

7、 : 流 向 曲 面 一 侧 的 流 量 . 2、 引 例实 例 : 流 向 曲 面 一 侧 的 流 量 .A vne cos|vA 流 量 nevA （ 2） 设 稳 定 流 动 的 不 可 压 缩 流 体 (假 定 密 度 为 1) 的 速 度 场 由 kzyxRjzyxQizyxPzyxv ),(),(),(),( 给 出 , 是 速 度 场 中 的 一 片 有 向 曲 面 ,函 数),(),(),( zyxRzyxQzyxP 都 在 上 连 续 , 求 在 单 位 时 间 内 流 向 指 定 侧 的 流 体 的 质 量 . x yzo x yzo iS ),( iii ivin 把 曲

8、 面 分 成 n小 块 Si (Si同 时 也 代 表 第 i小 块 曲 面 的 面 积 ), 在 Si上 任 取 一 点 ),( iii , 1. 分 割则 该 点 流 速 为 .iv法 向 量 为 .in 该 点 处 曲 面 的 单 位 法 向 量 kjie iiini coscoscos , 通 过 S i流 向 指 定 侧 的 流 量 的 近 似 值 为 ,),(),(),( ),( kRjQiPvv iiiiiiiii iiii 3. 求 和 通 过 流 向 指 定 侧 的 流 量 ).,2,1( niSev ini i ni ini Sev i1 2. 取 近 似 值4.取 极 限

9、 0 .的 精 确 值取 极 限 得 到 流 量 ni ini Sev i10lim x yzo dS ( , , )x y z( , , )v x y z( , , )ne x y zd ( , , ) ( , , )dnv x y z e x y z S 则 流 体 流 向 该 小 定 向 曲 面 指 定 一 侧 的 流 量 ， 即 流 量 元 素 为 ( , , ) ( , , )dnv x y z e x y z S 于 是 流 体 流 经 整 个 曲 面 指 定 一 侧 的 流 量 为若 记 kzyxRjzyxQizyxPzyxv ),(),(),(),( kjizyxen cosc

10、oscos),( 则 SzyxRzyxQzyxP dcos),(cos),(cos),( 3、 第 二 类 曲 面 积 分 的 定 义,( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ), ( , , ) cos cos cos( , , ) ,( , , )cos d ( , , )cos d( , , )cos d , ( , , )cosnF x y z P x y z i Q x y z j R x y z ke x y z i j kx y zP x y z S Q x y z SR x y z SP x y z Q 设 是 一 片 光 滑 的 定 向 曲 面 向 量 值

11、 函 数在 上 有 界是 定 向 曲 面 上 点 处 的 单 位 法 向 量若 积 分 、 、同 时 存 在 则 称 积 分( , , )cos ( , , )cos d( , , ), ( , , ) dx y z R x y z SF x y z F x y z S 为 向 量 值 函 数 在 定 向 曲 面 上 的 积 分 或 第二 类 曲 面 积 分 记 为 ： SzyxezyxF n d),(),( SzyxF d),( SzyxRzyxQzyxP dcos),(cos),(cos),( SzyxR SzyxQSzyxP dcos),( dcos),(dcos),( .定 向 曲 面

12、 元 素yxxzzy dd,dd,dd ,d 的 坐 标为 SSd .也 称 为 定 向 曲 面 的 投 影 元 素( , , ) (cos ,cos ,cos )( , , )ndS e x y z dS dS dS dSdydz dzdx dxdy 4. 第 二 类 曲 面 积 分 的 另 一 种 表 达 式 SzyxPzyzyxP dcos),(dd),(记 ： SzyxF d),( yxzyxRxzzyxQzyzyxP dd),(dd),(dd),( yxzyxRxzzyxQzyzyxP dd),(dd),(dd),( SzyxQxzzyxQ dcos),(dd),( SzyxRyxz

13、yxR dcos),(dd),( .分也 称 为 对 坐 标 的 曲 面 积.称 为 定 向 积 分 曲 面 . dd),(dd),(dd),(称 为 积 分 表 达 式 yxzyxRxzzyxQzyzyxP yxzyxRxzzyxQzyzyxP dd),(dd),(dd),( zyzyxP dd),( 简 称 y z 型 积 分 xzzyxQ dd),( 简 称 z x 型 积 分 yxzyxR dd),( 简 称 x y 型 积 分 5.若 是 封 闭 曲 面 ， 则 在 上 的 第 二 类 曲 面 积 分可 记 为6. 第 二 类 曲 面 积 分 存 在 的 条 件 : 当 ),(),(

14、),( zyxRzyxQzyxP 在 光 滑 或分 片 光 滑 的 定 向 曲 面 上 连 续 时 ,第 二 类 曲面 积 分 存 在 . yxzyxRxzzyxQzyzyxP dd),(dd),(dd),( 7.物 理 意 义 : yxzyxRxzzyxQzyzyxP dd),(dd),(dd),( 流 速 为 kzyxRjzyxQizyxPzyxv ),(),(),(),( 的 流 体 ， 在 单 位 时 间 内 流 向 指 定 侧 的 流 量 . 8. 第 二 类 曲 面 积 分 的 性 质 : 21 21 dddddddddddd dddddd)2 yxRxzQzyPyxRxzQzyP

15、 yxRxzQzyP即 第 二 类 曲 面 积 分 与 积 分 曲 面 的 方 向 有 关 .1) 线 性 性 质3) 设 的 反 侧 曲 面 记 为 ， 则 ： yxRxzQzyPyxRxzQzyP dddddddddddd 二 、 第 二 类 曲 面 积 分 的 计 算 法1. 分 面 投 影 法 (分 三 个 积 分 进 行 计 算 ) zyzyxP dd),( 简 称 y z 型 积 分 xzzyxQ dd),( 简 称 z x 型 积 分 yxzyxR dd),( 简 称 x y 型 积 分 设 积 分 曲 面 是由 方 程 ),( yxzz所 给 出 , 在 xoy面 上 的 投

16、影 区 域 为 xyD ,函 数 ),( yxzz 在xyD 上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ,被 积 函 数),( zyxR 在 上 连续 . ),( yxfzxyDx yzo下 面 计 算 x y 型 积 分 yxzyxR dd),( 4. 第 二 类 曲 面 积 分 的 另 一 种 表 达 式 SzyxPzyzyxP dcos),(dd),(记 ： SzyxF d),( yxzyxRxzzyxQzyzyxP dd),(dd),(dd),( SzyxQxzzyxQ dcos),(dd),( SzyxRyxzyxR dcos),(dd),( SzyxRzyxQzyxP dcos),(

17、cos),(cos),( ,0cos, 取 下 侧若 xyD yxyxzyxRyxzyxR dd),(,dd),( ,0cos, 取 上 侧若 xyD yxyxzyxRyxzyxR dd),(,dd),( SzyxRyxzyxR dcos),(dd),( yxxoyS ddd,|cos| dd 面 面 积 元 素在 (上正下负)“ 一 投 ,二 代 ,三 定 号 ” 则 有给 出由如 果 ,),( zyxx 取 后 侧 时 为取 前 侧 时 为其 中 的 符 号 当 , dd,),(dd),( yzD zyzyzyxPzyzyxP 则 有给 出由如 果 ,),( xzyy 取 左 侧 时 为取

18、 右 侧 时 为其 中 的 符 号 当 , dd),(,dd),( zxD xzzxzyxQxzzyxQ (前正后负)(右正左负) 例 1 计 算 xyzdxdy其 中 是 球 面 1222 zyx 外 侧在 0,0 yx 的 部 分 . x y z解 两 部 分和分 成把 21 ;,1: 2211 取 上 侧yxz .,1: 2222 取 下 侧yxz 解 两 部 分和分 成把 21 ;,1: 2211 取 上 侧yxz .,1: 2222 取 下 侧yxz 1 2 xoy 和 在 面 的 投 影 区 域 均 为,0,0,1: 22 yxyxDxy 21 dddddd yxxyzyxxyzy

19、xxyz 2 2 2 21 d d ( 1 )d dxy xyD Dxy x y x y xy x y x y xyD yxyxxy dd12 22 20 10 22 d1sincosd2 .152 注 意 :1. 0d0dcos),(dd),( ,0cos , SSzyxRyxzyxR xoy 故的 第 三 分 量 其 单 位 法 向 量面 的 柱 面 时是 垂 直 于如 果 0),(, 0),(, dzdxzyxPzox dydzzyxPyoz面 的 柱 面 时垂 直 于当 面 的 柱 面 时垂 直 于当 2. ., ,然 后 把 结 果 相 加积 分 则 应 分 片 计 算成 时由 几

20、片 定 向 光 滑 曲 面 组当 计 算 第 二 类 曲 面 积 分 ,还 必 须 注 意 曲 面 所 取 的 侧 .3. 例 2、 计 算 yxyzxzxyzyzx dddddd ， 其 中 是 x2 + y2 =1， z =1及 三 坐 标 面 围 成 的 第 一 卦限 立 体 曲 面 的 外 侧 。 解 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ， 其 中1 ： z =0， Dxy： x2 + y2 1 ， x 0， y 0， 取 下 侧 ， 2 ： x =0， Dyz： 0 y 1 ， 0 z 1， 取 后 侧 ， 3 ： y =0， Dxz： 0 x 1 ， 0 z 1， 取 左 侧

21、， 4 ： z =1， Dxy： x2 + y2 1 ， x 0， y 0， 取 上 侧 ， 5 : x2 + y2 =1， Dxz： 0 x 1 ， 0 z 1， 取 外 侧 . yxyzxzxyzyzx dddddd yxyzxzxyzyzx dddddd 54321 54 dddddd xzxyzyzxyxyz zxyzxy DDD xzxxzyyzyxy dd1dd1dd 22 10 10 210 10 210 10 d1dd1ddd 2 zxxxyyzyyyx x 831831 yxyzxzxyzyzx dddddd yxyzxzxyzyzx dddddd 54321 54 dddd

22、dd xzxyzyzxyxyz zxyzxy DDD xzxxzyyzyxy dd1dd1dd 22 10 10 210 10 210 10 d1dd1ddd 2 zxxxyyzyyyx x 83231831 两 类 曲 面 积 分 之 间 的 关 系 ：( , , )d d ( , , )cos dP x y z y z P x y z S SzyxF d),( yxzyxRxzzyxQzyzyxP dd),(dd),(dd),( SzyxQxzzyxQ dcos),(dd),( SzyxRyxzyxR dcos),(dd),( SzyxRzyxQzyxP dcos),(cos),(cos)

23、,( ( , ) ,z z x y 如 果 由 给 出 取 上 侧 ， 则 有 ( , , 1)x yn z z 0 2 2 2 2 2 2(cos ,cos ,cos ) 1( , , )1 1 1yxx y x y x yn zzz z z z z z coscos coscosdydz dS dS 则 xz dxdycoscos coscosdzdx dS dS yz dxdy2. 合 一 投 影 法 (适 用 于 定 向 曲 面 上 各点 处 的 法 向 量 有 统 一 的 表 达 式 ) 则 有给 出由如 果 ,),( yxzz yxzyxRxzzyxQzyzyxP dd),(dd)

24、,(dd),( yxyxzyxR yxzyxzyxQ yxzyxzyxPxyD yx dd),(,( ),(),(,( ),(),(,( ., 取 下 侧 时 为取 上 侧 时 为积 分 号 前 的 符 号 当 解 ：原 式 ,xzx ,yzy yxyxD dd)(218 22 则 有给 出由如 果 ,),( xzyy 取 左 侧 时 为取 右 侧 时 为积 分 号 前 的 符 号 当 , dd),(),(,( ),(,( ),(),(,( dd),(dd),(dd),( xzxzyzxzyxR zxzyxQ xzyzxzyxP yxzyxRxzzyxQzyzyxP zxD zx 则 有给 出

25、由如 果 ,),( zyxx 取 后 侧 时 为取 前 侧 时 为积 分 号 前 的 符 号 当 , dd),(),),( ),(),),( ),),( dd),(dd),(dd),( zyzyxzyzyxR zyxzyzyxQ zyzyxP yxzyxRxzzyxQzyzyxP yzD zy 解 xzx yzy 4),( 22 yxyxDxy yxzzyxz dddd)( 2 xyD yxyxx dd)(21 222 20 22220 d)21cos(d .8 xyD yxyxxxyx dd)(21)()(41 22222 ( , , ) (cos ,cos ,cos )( , , )ndS

26、 e x y z dS dS dS dSdydz dxdz dxdy cos , cos , cosdydz dS dxdz dS dxdy dS ( , , )d d ( , , )d d ( , , )d dP x y z y z Q x y z z x R x y z x y ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos dP x y z Q x y z R x y z S 3. 化 为 第 一 类 曲 面 积 分 计 算 (一 般 适 用于 积 分 曲 面 是 定 向 平 面 ) ( , , ) d d 2 ( , , ) d d ( , , ) d d , ( ,

27、 , ) ,1 .f x y z x y z f x y z y x yf x y z z x y f x y zx y z 例 2：计 算 其 中 为 连 续 函 数为 平 面 在 第 四 卦 限 部 分 的 上 侧2 2 2( ) , .x z dxdy x z ax y a 例 1：计 算 其 中 为 平 面 含 在 柱 面那 一 部 分 的 上 侧 ,),( Czyxf是平面1 zyx在第四卦限部分的上侧 , 计算 zyxzyxfI dd),( xzyzyxf dd),(2 yxzzyxf dd),( 提示:求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分 SzyxI d)(31 Sd31yx

28、 x d3d 0 11031 21 . ( , , ) 2 ( , , ) f x y z x dydz f x y z y dzdx 例 计 算解 利 用 第 一 类 曲 面 积 分 计 算 cos cos cos I P Q R ds : 1, x y z 1 1 1( ) 3 .23 3 xyDx y z ds dxdy ( , , ) , ( , , ) ,f x y z z dxdy f x y z 其 中 为 连 续 函 数 是1 .x y z 平 面 在 第 四 卦 限 部 分 的 上 侧0 1(cos ,cos ,cos ) (1, 1,1),3n 三 、 小 结1、 物 理

29、意 义2、 计 算 时 应 注 意 以 下 两 点曲 面 的 侧“ 一 投 ,二 代 ,三 定 号 ” 思 考 题 设 为 球 面 1222 zyx ， 若 以 其球 面 的 外 侧 为 正 侧 ， 试 问 221 zxy 之 左 侧 （ 即 oy轴 与 其 法 线 成 钝 角 的 一 侧 ）是 正 侧 吗 ？ 那 么 221 zxy 的 左 侧 是 正 侧 吗 ？ 思 考 题 解 答此 时 的 左 侧 为 负 侧 ，221 zxy 而 的 左 侧 为 正 侧 .221 zxy 一 、 填 空 题 :1、 dzdxzyxQdzdxzyxQ ),(),( =_.2、 第 二 类 曲 面 积 分

30、dxdyRQdzdxPdydz 化 成 第 一 类 曲 面 积 分 是 _， 其 中 , 为 有 向 曲 面 上 点 ),( zyx 处 的 _的 方 向 角 . 二 、 计 算 下 列 对 坐 标 的 曲 面 积 分 : 1、 ydzdxxdydzzdxdy ,其 中 是 柱 面 122 yx 被 平 面 0z 及 3z 所 截 得 的 在 第 一 卦 限 内 的 部 分 的 前 侧 ； 练 习 题 2、 yzdzdxxydydzxzdxdy ,其 中 是 平 面 1,0,0,0 zyxzyx 所 围 成 的 空 间 区 域 的 整 个 边 界 曲 面 的 外 侧 ； 3、 dxdyyxez 22 ,其 中 为 锥 面 22 yxz 和 2,1 zz 所 围 立 体 整 个 表 面 的 外 侧 .三 、 把 对 坐 标 的 曲 面 积 分 dzdxzyxQdydzzyxP ),(),( dxdyzyxR ),( 化成 对 面 积 的 曲 面 积 分 ,其 中 是 平 面63223 zyx 在 第 一 卦 限 的 部 分 的 上 侧 . 练 习 题 答 案 一 、 1、 0； 2、 dSRQP )coscoscos( ,法 向 量 . 二 、 1、 23 ； 2、 81； 3、 22 e . 三 、 dSRQP )5325253( .