有限脉冲响应数字滤波器

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1、有 限 脉 冲 响 应 FIR DF的 定 义 ： 如 果 一 个 DF的 输 出 y(n)， 仅 取决 于 有 限 个 过 去 的 和 现 在 的 输 入 x(n)， 则 称 这 种 DF为 FIR DF。 FIR DF的 系 统 转 移 函 数 为 ： h(n)各 个 样 点 值 与 滤 波 器 的 各 个 系 数 对 应 相 等 。H N-1n=0 -n（ z)= h(n)z FIR DF有 以 下 特 点 ： 1、 h(n)是 有 限 长 的 它 永 远 是 稳 定 的 2、 如 果 对 h(n)提 出 一 些 约 束 条 件 ， 很 容 易 使 H（ Z）具 有 线 性 相 位 。

2、一 、 线 性 相 位 条 件FIR DF的 系 统 函 数 为 ： 令 代 入 ， 得 ： 将 表 示 成 其 中 称 为 幅 度 特 性 ， 为 可 正 可 负 的 实 函 数 为 相 位 特 性H N-1n=0 -n（ z)= h(n)zjz e 10( ) ( )Nj j nnH e h n e ( )jH e ( )( ) ( )j jH e Hg e ( )Hg ( ) 如 果 相 位 ( ) 满 足 ： ( )=- , 为 常 数 则 称 具 有 线 性 相 位 或 ： 如 果 ( )满 足 下 式 ： ( )= 0- , 0是 起 始 相 位 ， 为 常 数 。 也 称 具 有

3、 线 性 相 位 特 性 严 格 地 说 ， 此 时 ( )不 具 有 线 性 相 位 ， 但 由 于 满 足群 时 延 是 一 个 常 数 ， 即 所 以 也 称 ( )= 0 - 为 近 似 线 性 相 位 ( )jH e ( )jH e ( )dd 下 面 讨 论 h(n)、 、 0要 满 足 什 么 条 件 ， 可 使 具 有 线 性 相 位 ： 两 式 相 除 得 ： ( )jH e 1 10 1 00 0 00( )( ) ( ) ( )( )cos( ) ( )cos( )( )sin( ) ( )sin( )N NNj j nn nnjH e Hg h n eHg h n nH

4、g h n ne 可 得 10 101 00 00 ( ) cos( )cos( )sin( ) ( ) sin( )( )sin( ) 0NNN nnn h n nh n nh n n 所 以 ， 如 果 h(n)是 以 为 中 心 作 偶 对 称 （ 即 h(n)=h(N-1-n) ） ,那 么 就 必 须 是 以 为 中 心 作 奇 对 称 。 这 等 效 地 要 求 ： 0=0, =. 反 之 ， 如 果 h(n)是 以 为 中 心 作 奇 对 称 （ 即 h(n)=-h(N-1-n)） ,则 要 求 是 以 为 中 心 的 偶 对 称 。 这 等 效 地 要 求 ： , 12N 12

5、N 12N 12N 12N 0 = 2 1= 2N 0sin( ) n 0sin( ) n 1 00 ( )sin( ) 0Nn h n n 所 以 ， 满 足 第 一 类 线 性 相 位 的 条 件 是 ： h(n)是 实 序 列且 对 (N-1)/2偶 对 称 ， 即 h(n)=h(N-n-1)。 满 足 第 二 类线 性 相 位 的 条 件 是 ： h(n)是 实 序 列 且 对 (N-1)/2奇 对 称 ，即 h(n)=-h(N-n-1) 相 对 于 N为 奇 数 和 偶 数 ， 线 性 相 位 FIR DF的 h(n)具 有四 种 形 式 ， 它 们 对 应 了 不 同 类 型 的

6、滤 波 器 。1、 偶 对 称 h(n)=h(N-1-n) N为 奇 数 2、 偶 对 称 h(n)=h(N-1-n) N为 偶 数3、 奇 对 称 h(n)=-h(N-1-n) N为 奇 数 4、 奇 对 称 h(n)=-h(N-1-n) N为 偶 数 01, 02N 01,2 2N 二 、 线 性 相 位 FIR DF幅 度 特 性 Hg( )的 特 点1、 h(n)=h(N-n-1), N=奇 数设 N=2M+1, 则 h(n)的 对 称 中 心 为 M= , 除 h(M)外 其 余 各 项 满 足 ： h(M-n)=h(M+n), 1 n M 12N 10 ( ) ( ) 1 11(

7、) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )cos( )( ) N M MMj j nnj M j n M j M nn nj M nj MH e h n eh M e h M n e h M n ee h M h M n nHg e 由 于 式 中 项 对 =0, ,2 皆 为 偶 对 称 ， 因 此 幅 度特 性 的 特 点 是 对 =0, ,2 是 偶 对 称 的 。 相 位 特 性 ： 显 然 ， 它 是 的 线 性 函 数 。 可 以 实 现 所 有 滤 波 特 性10( ) ( ) 2 ( )cos( )( )cos( )( ) 0( ) 2 ( ) 1MM nnHg h

8、M h M n na n nh M na n h M n n M 01( ) 21, 02 NM N cos( )n 2) h(n)=h(N-n-1), N=偶 数 设 N=2M, 则 h(n)的 对 称 中 心 为 ,h(n)的 对 称关 系 可 写 为 ： h(M-n)=h(M-1+n), 1 n M 1 12 2N M 1 1)2 1)20 ( 1 ) ( )1 1( 1( ) ( )( 1 ) ( )12 ( 1 )cos( ) )2( ) NM MMj j nn j M n j M nn nj M nj MH e h n eh M n e h M n ee h M n nHg e 可

9、 知 ： Hg( )对 = 点 呈 奇 对 称 ,且 在 = 处有 一 零 点 。 对 于 高 通 和 带 阻 不 适 合 11 1( ) 2 ( 1 )cos( ) )21( )cos( ) )2( ) 2 ( 1 ) 1MM nnHg h M n nb n nb n h M n n M 01 1( ) ( )2 21, 02 NMN 3) h(n)=-h(N-n-1), N=奇 数 设 N=2M+1， 则 h(n)的 对 称 中 心 为 M= , h(M)=0， 除 h(M)外 其 余 各 项 满 足 ：h(M-n)=-h(M+n), 1 n M可 证 明 ： Hg( )对 =0和 = 均

10、 呈 奇 对 称 。 只 能 实 现 带 通 滤 波 器 12N 2 0 ( )11( ) ( )( ) 2 ( ) sin( )( ) sin( )( ) 2 ( ) 1( ) 2, 2MM j Mj nnH e H g eH g h M n nc n nc n h M n n MMM 4) h(n)=-h(N-n-1), N=偶 数N=2M， 对 称 中 心 为 M-1/2 。 h(M-1+n)=-h(M-n) 关 于 =0、 =2 奇 对 称 ， = 偶 对 称 ， 不 能 实 现 低通 、 带 阻 1 n M 1)2 2 0 ( )11( ) ( ) 1( ) 2 ( 1 )sin(

11、) )21( )sin( ) )2( ) 2 ( 1 ) 11( ) ( )2 21,2 2MM j Mj nnH e Hg eHg h M n nd n nd n h M n n MMM 四 种 波 形 的 幅 度 特 性 和 相 位 特 性 如 表 所 示 ： 三 、 系 统 函 数 H（ Z） 的 零 极 点 分 布 令 m=N-n-1,则 有可 看 出 ， H（ Z-1） 的 零 点 也 是 H（ Z） 的 零 点 ， 反 之 亦 然 。1 10 0( ) ( ) ( 1)N Nn nn nH z h n z h N n z 1 1( 1) ( 1)0 0 ( 1) 1( ) ( )

12、( )( ) ( )N NN m N mm mNH z h m z z h m zH z z H z 一 般 情 况 下 ,如 果 是 H（ Z） 的零 点 ,则 : 也 是 H（ Z） 的 零 点 .iz1 * * 1, ,( )i i iz z z 设 H（ Z） 的 一 个 零 点 为 ： 、 取 不 同 的 值 , 处 于 不 同 的 位 置1、 , 处 于 单 位 圆 内2、 , 在 实 轴 上3、 , 在 单 位 圆 上4、 ， 在 单 位 圆 和 实 轴 的 交 点 上 。k kjkz r e kr k kz0 1k k和 ， r kz0 . 1k k, r kzkzkz0 1k

13、 k和 ， r0 . 1k k, r 在 第 一 种 情 况 下 ， H（ Z-1） 的 零 点 也 是 H（ Z） 的 零 点 ， 它 与 是 以 单 位 圆 为 镜象 对 称 的 。 因 为 h(n)一 般 都 是 实 数 ， 所 以 H（ Z） 的 复数 零 点 为 共 轭 成 对 的 。 即 也 是 H（ Z） 的 零 点 。 所 以 如 果 H（ Z） 有 一 个 零 点 ，那 么 、 、 都 是 H（ Z） 的 零 点 ， 它 们 构 成一 个 四 阶 系 统 ， 其 系 统 函 数 H（ Z） 为 ： 1 1k kjkz er k kjkz r e * 1 * 1)k kk kj

14、 jk kz r e z er 及 （ kz 1kz *kz 1*( )kz 1 1 1 11 1 1( ) (1 )(1 )(1 )(1 )k k k kj j j jk k k kH Z z r e z r e z e z er r 在 第 二 种 情 况 下 ： , 它 无 共 轭 零 点 存 在 ， 但 有 镜 象 零 点 所 以 它 们 可 构 成 一 个 二 阶 系 统 ： 在 第 三 种 情 况 下 ： , 它 无 镜 象 零 点 ， 但 有 共 轭零 点 ， , 它 们 可 构 成 一 个 二 阶 系 统 ： kkz r 1 1kkz r 1 12 1( ) (1 )(1 )k

15、 kH Z z r z r kjkz e * kjkz e 1 13( ) (1 )(1 )k kj jH Z z e z e 在 第 四 种 情 况 下 ： 既 无 镜 象 零 点 ， 又 无 共 轭 零 点是 一 个 简 单 的 一 阶 系 统 这 样 ， 一 个 具 有 线 性 相 位 的 FIR DF， 其 系 统 函 数 可 表 达为 上 述 各 式 的 级 联 。 即 ： kz 4 1( ) (1 )H Z z 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )H Z H Z H Z H Z H Z 8.2 利 用 窗 函 数 法 设 计 FIR DF 一 、 窗 函 数 法 设

16、 计 FIR DF 设 所 希 望 设 计 的 滤 波 器 传 输 函 数 为 Hd(ej ), 则 其 DTFT变 换 对 为 :： 是 与 其 对 应 的 单 位 脉 冲 响 应 。 由 可 求 出 : ( ) dh n ( ) ( )1( ) ( )2j j nd dn j j nd dH e h n eh n H e e d ( ) ( ) nd dnH z h n z ( )dh n 一 般 Hd(ej )是 矩 形 频 率 特 性 , 所 以 hd(n )是 非 因 果的 ， 且 hd(n)从 ， 物 理 上 无 法 实 现 。 但 由 此 可得 到 一 个 逼 近 Hd(ej )

17、的 方 法 。 即 ： 将 hd(n)截 短 为 有 限项 ,设 为 N项 ， 则 ：窗 函 数 序 列 的 形 状 及 长 度 的 选 择 很 关 键 ( ) ( ) ( )dh n h n w n ( )w n 为 窗 函 数 以 一 个 理 想 低 通 为 例 来 说 明 ， 设 ： sin( ( )| |( ) 0 | |1( ) ) (2 )12 cc j j nd d j n c jj cc cj cd eH eh n H e e de d nne 其 波 形 如 图 所 示 ：中 心 点 在 的 偶 对 称 无 限 长 非 因 果 序 列信 号 特 点 ： 为 了 构 造 一 个

18、 长 度 为 N的 线 性 相 位 滤 波 器 ， 将 hd(n)截短 为 N长 ， 即 ： ( ) ( ) ( )dh n h n w n 为 窗 函 数( ) ( )Nw n R n如 取 矩 形 窗 ： ( )w nhd(n)必 须 是 对 称 的 ， 取 对 称 中 心 12N 如 图 8.2.1所 示 ： 图 8.2.1 理 想 低 通 的 单 位 脉 冲 响 应 及 矩 形 窗 由 h(n)求 得 H（ Z） ：对 应 的 频 响 特 性 为 ： 上 述 设 计 方 法 由 于 所 设 计 的 线 性 相 位 FIR DF的 h(n)是 由 Hd(ej )的 傅 立 叶 级 数 的

19、 系 数 hd(n)， 截 短 后 得 到 的 ，所 以 称 为 傅 立 叶 级 数 法 。 同 时 又 可 将 hd(n)截 短 的 过 程 视为 h d(n)乘 以 矩 形 窗 口 序 列 ， 又 称 为 矩 形 窗 口 法 。 10( ) ( )N nnH Z h n z 10( ) ( )Nj j nnH e h n e ( ) ( ) ( )dh n h n w n ( ) ( )Nw n R n加 窗 截 断 的 影 响 ：( ) ( )* ( )j j jdH e H e W e 取 矩 形 窗 函 数 ： 则 ：其 中 ： sin 2( ) sin 2R NW 12N 1 10

20、 012( ) ( )sin( /2) ( )sin( /2)N Nj j n j nR Nn nNj jRW e R n e eNe W e ( )RW 的 波 形 如 图 所 示信 号 特 点 ：有 主 瓣 和 旁 瓣 ， 主 瓣 宽 度 为 4N 正 是 这 些 主 瓣 和 旁 瓣 的 影 响 产 生 了 吉 伯 斯 现 象 。该 现 象 引 起 通 带 内 和 阻 带 内 的 波 动 性 ， 尤 其 使 阻 带的 衰 减 小 ， 从 而 满 足 不 了 技 术 上 的 要 求 。 ( )H ( )( )1( ) ( )* ( ) ( ) ( )21 ( ) ( )2 1 ( ) ( )

21、2( )j j j j jR Rj jRj Rjd dd dH e H e W e H e W e dH e W e de H W dH e ( ) ( )1 | |( ) 0 | |j jd d cd cH e H eH 也 表 示 为 ：( )jdH e 则 ： 1( ) ( ) ( )2 RdH H W d 卷 积 过 程 如图 8.2.2所 示 1( ) ( ) ( )2 RdH H W d 2、 ， 一 半 重 叠 ，c 1、 ， H（ 0） 值 可近 似 看 作 的 全 部积 分 面 积 0 ( )RW ( ) 0.5(0)cHH 图 8.2.2 矩 形 窗 对 理 想 低 通 幅

22、 度 特 性 的 影 响3、 ，最 大 旁 瓣 在 外 ， 卷 积结 果 出 现 最 大 肩 峰 值2 /c N 4、 2 /c N 卷 积 结 果 达 到 最 负值 ， 出 现 负 的 肩 峰 小 结 ： 加 窗 处 理 后 对 原 理 想 低 通 Hd(ej )的 影 响 ： (1)在 理 想 特 性 不 连 续 点 = c附 近 形 成 过 渡 带 。 过 渡 带的 宽 度 近 似 为 4 /N （ WR( )主 瓣 宽 度 ）(2)通 带 内 增 加 了 波 动 ， 最 大 的 峰 值 在 处 。阻 带 内 产 生 了 余 振 ， 最 大 的 负 峰 在 处 。 以 上 两 点 就 是

23、 对 hd(n) 用 矩 形 窗 截 断 后 在 频 域 的 反 映 。称 为 吉 伯 斯 现 象 。. 2 /c N 2 /c N 增 加 截 取 长 度 N， 则 矩 形 窗 幅 度 谱 ：sin( /2)( ) sin( /2)sin( /2) sin /2/2R NW N xN x Nx 1、 增 加 N， 主 瓣 宽 度 变 窄可 得 出 ：2、 当 x增 大 （ N增 大 ） 时 ， 主 瓣 幅 度 增 大 但 同 时 旁 瓣幅 度 也 增 加 ， 保 持 主 瓣 和 旁 瓣 幅 度 相 对 值 不 变总 结 ： N增 大 ， 的 幅 度 波 动 并 没 有 改 善 ， 如 矩 形

24、 窗 时最 大 肩 峰 值 比 H （ 0） 高 8.95%， 最 大 负 峰 比 0值 小 8.95%( )H 为 了 减 小 吉 伯 斯 现 象 ， 可 用 一 些 旁 瓣 较 小 的 窗 口 来 代替 矩 形 窗 口 几 种 常 用 的 窗 函 数设 h(n)=hd(n)w(n) w(n)表 示 窗 函 数 。1. 矩 形 窗 (Rectangle Window) WR(n)=RN(n) 其 频 率 响 应 为其 主 瓣 宽 度 为 4 /N，第 一 副 瓣 比 主 瓣 低 13dB 1( 1)2sin( /2)( ) sin( /2) j NjR NW e e 2. 三 角 形 窗 (

25、Bartlett Window)其 频 率 响 应 为 其 主 瓣 宽 度 为 8 /N，第 一 副 瓣 比 主 瓣 低 26dB2 1, 0 ( 1)1 2( ) 2 12 , ( 1) 11 2Br n n NNn n N n NN 12 2sin( )2 4( ) sin( /2) NjjBr NW e eN 3. 汉 宁 (Hanning)窗 升 余 弦 窗 当 N1时 ， N-1 N， 其 主 瓣 宽 度 为 8 /N ,能 量 更 集 中 在 主 瓣 中 。 如 图 8.2.3所 示 121 12 22( ) 0.51 cos( ) ( )1( ) ( ) ( ) 2( ) ( )

26、 0.5 ( ) 0.25 ( )12( ) ( )1Hn N NjjR N RjHn Hn R RN Nj jR Hnnn R nNW e FT R n W eW e FT W n W W NW e W eN 2 2( ) 0.5 ( ) 0.25 ( ) ( )Hn R R RW W W WN N 图 8.2.3 汉 宁 窗 的 幅 度 特 性 4. 哈 明 (Hamming)窗 改 进 的 升 余 弦 窗其 频 域 函 数 WHm (e j )为 其 幅 度 函 数 WHm( )为当 N1时 ， 可 近 似 表 示 为这 种 改 进 的 升 余 弦 窗 能 量 更 加 集 中 在 主 瓣

27、 中 ， 主 瓣 的 能量 约 占 99.96% 2( ) 0.54 0.46cos( ) ( )1Hm Nnn R nN 2 2( ) ( )1 1( ) 0.54 ( ) 0.23 ( ) 0.23 ( )2 2( ) 0.54 ( ) 0.23 ( ) 0.23 ( )1 1j jj j N NHm R R R jHm R R RW e W e W e W eW W e W WN N 2 2( ) 0.54 ( ) 0.23 ( ) 0.23 ( )Hm R R RW W W WN N 图 7.2.4 常 用 的 窗 函 数 表 7.2.2 六 种 窗 函 数 的 基 本 参 数 用 窗

28、 函 数 法 设 计 FIR DF 的 步 骤 ：1、 根 据 技 术 要 求 确 定 待 求 滤 波 器 的 单 位 脉 冲 响 应 ( )dh n1( ) ( )2 j j nd dh n H e e d 0 2 如 果 复 杂 ， 可 对 从 采 样 M个 点 ，采 样 值 为 ， 则 ：( )jdH e ( )jdH e 2( ) 0, , 1j kM dH e k M 2 2101( ) ( )M j k j knM MdkMh n H e eM 根 据 频 率 采 样 定 理 ：( ) ( )drMh n h n rM 当 M足 够 大 时 是 的 有 效 逼 近( )Mh n (

29、 )dh n 2、 根 据 对 过 渡 带 及 阻 带 衰 减 的 要 求 ， 选 择 窗 函 数 的 形 式 ，并 估 计 窗 口 宽 度 N， 设 要 求 的 过 渡 带 宽 为 ， 则3、 计 算 滤 波 器 的 单 位 脉 冲 响 应 ( ) ( ) ( )dh n h n w n4、 验 证 技 术 指 标 是 否 满 足 要 求 10( ) ( )Nj j nnH e h n e /N A 如 矩 形 窗 ， A=4 例 ： 设 计 一 个 N=13的 线 性 相 位 FIR DF， 使 其 幅 频 特 性 接近 理 想 低 通 滤 波 器 ， 理 想 低 通 滤 波 器 的 截

30、频 fc=100Hz， 取 样 频 率 fs=1000Hz解 ： 理 想 低 通 DF： 62 2 51 62 | | 5( ) 0 | |5j jd cc c sff T fN eH e 55 61( ) ( )2 ( 6)sin( )1 52 ( 6)1 ( 6)( )5 5 j j nj nd djh n H e e d ne e d nnSa 13 131 ( 6)( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 50.0312 ( ) ( 12) 0.0468 ( 2) ( 10)0.1010 ( 3) ( 9) 0.1514 ( 4) ( 8)0.1871 ( 5) ( 7) 0.2 (

31、6)d nh n h n R n Sa R nn n n nn n n nn n n 120 12 2 103 9 4 85 7 6( ) ( ) ( )0.0312(1 ) 0.0468( )0.1010( ) 0.1514( )0.1871( ) 0.2nnH z Z h n h n zz z zz z z zz z z 8.3 用 频 率 采 样 法 设 计 FIR滤 波 器 一 、 基 本 设 计 思 想 设 ： 所 要 设 计 的 FIR DF的 频 率 响 应 为 ， 它 是 频 域的 周 期 函 数 ， 周 期 为 ， 对 它 在 间 进 行 等 间 隔采 样 N点 ， 得 ：

32、( )jdH e 2 0 2 2 2( ) ( ) 0, 1, , -1 k j kj Nd d dkNH k H e H e k N 对 求 IDFT， 可 得 ： ( )dH k 10 21( ) ( )Nk j knNdh n H k eN n=0, 1, 2, , N-1 求 其 Z变 换 ,得 系 统 函 数 ： 10 )()( Nn nznhzH 同 样 ， 由 频 域 内 插 公 式 利 用 这 N个 频 域 采 样 值 Hd(k)也可 求 得 FIR滤 波 器 的 系 统 函 数 H(z) 1 10 ( )1( ) 1N N kk NdH kzH z N W z 基 本 思 想

33、 ： 使 所 设 计 的 FIR数 字 滤 波 器 的 频 率 特 性 在 某 些离 散 频 率 点 上 的 值 准 确 地 等 于 所 需 滤 波 器 在 这 些 频 率 点 处 的值 ， 在 其 它 频 率 处 的 特 性 则 有 较 好 的 逼 近 。 2 ( )( ) ( )dkj IDFTj Nd d NN h ndH e H e H k h n H z 频 率 取 样 点点 不 同 于确 定 内 插 公 式 二 、 线 性 相 位 约 束 条 件 为 了 设 计 线 性 相 位 的 FIR滤 波 器 ， 采 样 值 要 满 足 一定 的 约 束 条 件 。 n=0, 1, 2, ,

34、 N-1 已 知 ： 10 21( ) ( )Nk j knNdh n H k eN 对 其 取 共 轭 ， 得 ： 1* *0 ( )*1 1* * 1 0 2 22 21( ) ( )1 ( )1 1( ) ( )Nk N N rrN Nr r r r j knN j nNj n j nN Nd dd dh n H k eNk N r H N r eNH N r e H N r eN N 令 ： ( )dH k 因 为 为 实 函 数 ， 则 有 ( )h n *( ) ( )h n h n可 求 得 ： *( ) ( )d dH k H N k 将 表 示 为 ：( )dH k ( )(

35、 ) ( ) j kgdH k H k e ( )dH k 的 取 值 应 使 具 有 线 性 相 位 1 0 ( )Nj n j nH e h n e 可 求 得 ： ( )( ) 0,1, ,( )gg gH N k NH k k MH N k N 为 奇 数为 偶 数式 中 ： 12 12N NM N N 为 偶 数为 奇 数 1( ) 0,1, , 1Nk k k NN 当 满 足 上 述 条 件 时 ， jH e 具 有 线 性 相 位注 意 ： 当 N为 偶 数 时 ， 由 于 ， 故 ：*( ) ( )2 2d dN NH H( ) 02d NH 所 以 ， 用 频 率 采 样

36、法 设 计 高 通 和 带 阻 滤 波 器 时 ， N不 能 取 偶 数 。 三 、 逼 近 误 差 分 析 由 上 述 方 法 求 得 现 分 析 与 的 逼 近 程 度 ( ) ( ) jdH k h n H e H 或 （ z） jeH jd eH已 知 频 域 采 样 内 插 公 式 :1 0 2( ) ( )Nj k dH e H k kN 式 中 , ( )是 内 插 函 数 2/)1()2/sin( )2/sin()( NjeN N 由 ( )的 幅 度 谱 可 看 出 , 在 各 频 率 采 样 点 =2 k/N，k=0, 1, 2, , N-1上 , ( -2 k/N)=1

37、( ) 内 插 公 式 表 明 ： 在 各 采 样 点 上 ， ,逼 近 误 差 为 零 ， 频 率 响 应 严 格 地 与 理 想 频 响 的 采 样 值 Hd(k)相 等 ； 在 采 样 点 之 间 ， 频 率 响 应 由 各 采 样 点 的 内 插 函 数 延 伸 迭 加而 形 成 ， 因 而 有 一 定 的 逼 近 误 差 ， 误 差 大 小 与 理 想 频 率 响 应的 曲 线 形 状 有 关 ， 理 想 特 性 越 平 滑 ， 则 内 插 值 越 接 近 理 想 值 ，逼 近 误 差 越 小 ， 如 图 a所 示 ； 反 之 ， 如 果 采 样 点 之 间 的 理 想 频率 特 性

38、 变 化 越 陡 ， 则 内 插 值 与 理 想 值 的 误 差 就 越 大 ， 因 而 在理 想 频 率 特 性 的 不 连 续 点 附 近 ， 就 会 产 生 肩 峰 和 起 伏 。 使 阻带 衰 减 减 小 。 如 图 b所 示 . N增 大 ， 则 采 样 点 变 密 ， 逼 近 误 差 减 小 。 ( ) ( )kj dH e H k )( jeH )(ejH N2 H(k) (a) (b) o o )(ejd H )(ejH)(e jH )(ejH N2 H(k) (a) (b) o o )(ejd H )(ejH)(e jH 图 a图 b 改 进 措 施 : 在 频 率 响 应

39、间 断 点 附 近 区 间 内 插 入 一 个 或 几 个 过 渡 采样 点 ， 使 不 连 续 点 变 成 缓 慢 过 渡 ， 即 人 为 地 加 一 过 渡 带 。如 下 图 所 示 。 这 样 就 减 小 了 频 带 边 缘 的 突 变 ， 减 小 了 通带 和 阻 带 的 波 动 ， 因 而 增 大 了 阻 带 最 小 衰 减 。 （ a） 一 点 过 渡 带 ; (b) 二 点 过 渡 带 ; (c) 三 点 过 渡 带 cccooo (a) (b) Hc1 Hc1 Hc2 Hc1 Hc2 Hc3 Hd() , Hk Hd() , Hk Hd() , Hk (c) 例 :用 频 率

40、采 样 法 设 计 一 个 带 通 数 字 滤 波 器 ,其 通 带 频 率 是500Hz700Hz,采 样 频 率 为 fs=3300Hz,使 用 阶 次 N=33解 :对 应 的 数 字 通 带 频 率 :22 500 700/33002 5 7/33w fT 33( ) ( ) g gNH k H N k 为 奇 数-1 32- - 33 5,6,7,26,27,28( ) 0 0 4,8 25,29 32Nj k j kNd kH k k e e= ( ) ( ( )dh n IDFT H k求 ： 得 :(0) (32) 0.505,(1) (31) 0.0079,(2) (30)

41、0.0452h hh hh h H(ej )的 幅 频 特 性 及 衰 减 特性 分 别 如 图 所 示 :显 然 其 通 带 及阻 带 内 都 有 较 大 的 波 纹 . 增 加 两 个 过 渡 点 ,令(4) (8)d dH H和 的 幅 值 为 0.5, 重 新 求 出 H(ej )的 幅 频特 性 及 衰 减 特 性 如 图 中 红线 所 示 :显 然 ,特 性 得 到 了 较 大 的 改 善 8.4 FIR滤 波 器 和 IIR滤 波 器 的 比 较l 从 性 能 上 说 ， IIR滤 波 器 可 以 用 较 少 的 阶 数 获 得 很 高 的选 择 特 性 ， 这 样 一 来 ，

42、所 用 存 储 单 元 少 ， 运 算 次 数 少 ，较 为 经 济 而 且 效 率 高 。 但 是 这 个 高 效 率 的 代 价 是 以 相 位的 非 线 性 得 来 的 。 FIR滤 波 器 可 以 得 到 严 格 的 线 性 相 位 。 但 是 ， 如 果 需 要获 得 一 定 的 选 择 性 ， 则 阶 数 比 较 高 ,成 本 也 高 ， 信 号 延 时较 大 。 如 果 按 相 同 的 选 择 性 和 相 同 的 相 位 线 性 要 求 的 话 ， 那 么 ，IIR滤 波 器 就 必 须 加 全 通 网 络 来 进 行 相 位 校 正 ， 因 此 同 样要 大 大 增 加 滤 波

43、 器 的 节 数 和 复 杂 性 。 所 以 如 果 相 位 要 求 严 格 一 点 ， 那 么 采 用 FIR滤 波 器 不 仅 在 性 能 上 而 且 在 经 济上 都 将 优 于 IIR。 l 从 结 构 上 看 ， IIR必 须 采 用 递 归 型 结 构 ， 极 点 位 置 必 须 在单 位 圆 内 ; 否 则 , 系 统 将 不 稳 定 。 此 外 ， 在 这 种 结 构 中 ，由 于 运 算 过 程 中 对 序 列 的 四 舍 五 入 处 理 ， 有 时 会 引 起 微弱 的 寄 生 振 荡 。 相 反 ， FIR滤 波 器 主 要 采 用 非 递 归 结 构 ，不 论 在 理

44、论 上 还 是 在 实 际 的 有 限 精 度 运 算 中 都 不 存 在 稳 定性 问 题 ， 运 算 误 差 也 较 小 。 此 外 ， FIR滤 波 器 可 以 采 用 快速 傅 里 叶 变 换 算 法 ， 在 相 同 阶 数 的 条 件 下 ， 运 算 速 度 可 以快 得 多 。 l 从 设 计 来 看 ， IIR滤 波 器 可 以 借 助 模 拟 滤 波 器 的 成 果 ，一 般 都 有 有 效 的 封 闭 函 数 的 设 计 公 式 可 供 准 确 的 计 算 。 又 有许 多 数 据 和 表 格 可 查 ， 设 计 计 算 的 工 作 量 比 较 小 ， 对 计 算工 具 的

45、要 求 不 高 。 FIR滤 波 器 设 计 则 一 般 没 有 封 闭 函 数 的 设计 公 式 。 窗 口 法 虽 然 仅 仅 对 窗 口 函 数 可 以 给 出 计 算 公 式 ，但 计 算 通 阻 带 衰 减 等 仍 无 显 式 表 达 式 。 一 般 ， FIR滤 波 器 设计 只 有 计 算 程 序 可 循 ， 因 此 对 计 算 工 具 要 求 较 高 。 l 此 外 ， IIR滤 波 器 主 要 是 用 于 设 计 具 有 片 段 常 数 特 性 的 滤波 器 ， 如 低 、 高 、 带 通 及 带 阻 等 ， 往 往 脱 离 不 了 模 拟 滤 波 器的 格 局 。 而 FI

46、R滤 波 器 则 要 灵 活 的 多 ， 尤 其 是 频 率 采 样 设 计 法更 容 易 适 应 各 种 幅 度 特 性 和 相 位 特 性 的 要 求 ， 可 以 设 计 出 理 想的 正 交 变 换 、 理 想 微 分 、 线 性 调 频 等 各 种 重 要 网 络 。 因 而 有 更大 适 应 性 。 l 从 以 上 简 单 比 较 我 们 可 以 看 到 IIR滤 波 器 与 FIR滤 波 器 各有 所 长 ， 在 实 际 应 用 时 要 从 多 方 面 考 虑 来 加 以 选 择 。 从 使 用 要求 来 看 ， 如 对 相 位 要 求 不 敏 感 的 语 言 通 讯 等 ， 选

47、用 IIR较 为合 适 。 而 对 图 像 信 号 处 理 、 数 据 传 输 等 以 波 形 携 带 信 息 的 系 统 ，一 般 对 线 性 相 位 要 求 较 高 ， 这 时 采 用 FIR滤 波 器 较 好 。 当 然 , 在 实 际 设 计 中 , 还 应 综 合 考 虑 经 济 上 的 要 求 以 及 计 算 工 具 的条 件 等 多 方 面 的 因 素 。 FIR DF的 窗 函 数 设 计 法函 数 Fir1( )采 用 经 典 窗 函 数 法 设 计 FIR DF调 用 格 式 ： 1( , , , )b fir n wn ftype windown： FIR DF的 阶 数

48、Wn： 滤 波 器 的 截 止 频 率 ， 01window窗 函 数 ， 缺 省 时 ， 自 动 取 哈 明 窗b:为 滤 波 器 的 系 数 向 量 ,FIR具 有 下 列 形 式 :Matlab应 用window 为 窗 函 数 ,列 向 量 ,其 长 度 为 N+1.Matlab提 供 的 窗 函 数 有 :boxcar,hanning,hamming,bartlett,blackmann,kaiser等 1 2( ) (1) (2) (3) ( 1) nb z b b z b z b n z 例 ： 用 窗 函 数 法 设 计 一 个 线 性 相 位 FIR LP DF， 并 满 足 性 能 指 标 ：0.5 , 0.66 , 3 , 40 ;wp ws ap dB as dB 阻 带 衰 减 不 小 于 40dB， 所 以 取 汉 宁 窗wp=0.5*pi;ws=0.66*pi;ap=3;as=40;wdelta=ws-wp;N=ceil(8*pi/wdelta)Wn=(0.55+0.66)*pi/2;b=fir1(N,wn/pi,hanning(N+1)Freqz(b,1,512)