九年级数学性质定理与逆定理

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1、九 年 级 数 学 （ 上 册 ） 第 一 章 证 明 (二 )4.角 平 分 线 （ 1）性 质 定 理 与 逆 定 理 阳 泉 市 义 井 中 学 高 铁 牛 驶 向 胜 利的 彼 岸角 平 分 线w你 还 能 利 用 折 纸 的 方 法 得 到 角 平 分 线 及 角 平 分 线 上 的 点 吗 ?回 顾 思 考已 知 :如 图 ,OC是 AOB的 平 分 线 ,P是 OC上 任 意 一 点,PD OA,PE OB,垂 足 分 别 是 D,E.求 证 :PD=PE.而 OPD OPB的 条 件 由 已知 易 知 它 满 足 公 理 (AAS). 故 结 论 可 证 .老 师 期 望 :你

2、 能 写 出 规 范 的 证 明 过 程 .分 析 :要 证 明 PD=PE,只 要 证 明它 们 所 在 的 OPD OPB，w你 还 记 得 角 平 分 线 上 的 点 有 什 么 性 质 吗 ?w角 平 分 线 上 的 点 到 这 个 角 的 两 边 距 离 相 等 .w你 能 证 明 这 一 结 论 吗 ? O CB1 A2 PDE 驶 向 胜 利的 彼 岸 几 何 的 三 种 语 言w定 理 角 平 分 线 上 的 点 到 这 个 角 的 两 边 距 离 相 等 .老 师 提 示 :这 个 结 论 是 经 常 用 来证 明 两 条 线 段 相 等 的 根 据 之 一 .开 启 智 慧

3、w如 图 ,w OC是 AOB的 平 分 线 ,P是 OC上 任 意 一 点 ,PD OA,PE OB,垂 足 分 别 是 D,E(已 知 ) PD=PE(角 平 分 线 上 的 点 到 这个 角 的 两 边 距 离 相 等 ). O CB1 A2 PDE 进 步 的 标 志 驶 向 胜 利的 彼 岸 思考分析w你 能 写 出 “ 定 理 角 平 分 线 上 的 点 到这 个 角 的 两 边 距 离 相 等 ” 的 逆 命 题 吗 ?w逆 命 题 在 一 个 角 的 内 部 ,且 到 角 的 两 边 距 离 相 等 的点 ,在 这 个 角 的 平 分 线 上 .w它 是 真 命 题 吗 ?如

4、果 是 .请 你 证 明 它 .已 知 :如 图 ,PA=PB, PD OA,PE OB,垂 足 分 别 是 D,E.求 证 :点 P在 AOB的 平 分 线 上 .分 析 :要 证 明 点 P在 AOB的 平 分 线 上 ,可以 先 作 出 过 点 P的 射 线 OC,然 后 证 明 1= 2.老 师 期 望 :你 能 写 出 规 范 的 证 明 过 程 . O CB1 A2 PDE 驶 向 胜 利的 彼 岸 逆 定 理 我 能 行w逆 定 理 在 一 个 角 的 内 部 ,且 到 角 的 两 边 距 离 相 等的 点 ,在 这 个 角 的 平 分 线 上 .w如 图 ,w PA=PB, P

5、D OA,PE OB,垂 足分 别 是 D,E(已 知 ),w 点 P在 AOB的 平 分 线 上 .(在 一个 角 的 内 部 ,且 到 角 的 两 边 距 离 相等 的 点 ,在 这 个 角 的 平 分 线 上 ).老 师 提 示 :这 个 结 论 又 是 经 常 用来 证 明 点 在 直 线 上 (或 直 线 经 过 某 一点 )的 根 据 之 一 .从 这 个 结 果 出 发 ,你 还 能 联 想 到 什 么 ?O CB1 A2 PDE 驶 向 胜 利的 彼 岸 尺 规 作 图 做 一 做l已 知 : AOB,如 图 .l求 作 :射 线 OC,使 AOC= BOC.l作 法 :l用

6、尺 规 作 角 的 平 分 线 .l1.在 OAT和 OB上 分 别 截 取 OD,OE,使 OD=OE.l2.分 别 以 点 D和 E为 圆 心 ,以 大 于 DE/2长为 半 径 作 弧 ,两 弧 在 AOB内 交 于 点 C.l3.作 射 线 OC.请 你 说 明 OC为 什 么 是 AOB的 平 分 线 ,并 与 同 伴 进 行 交 流 .老 师 提 示 : 作 角 平 分 线 是 最 基 本 的 尺 规 作 图 ,这 种 方 法要 确 实 掌 握 . A BO Cl则 射 线 OC就 是 AOB的 平 分 线 . DE 挑 战 自 我 随 堂 练 习 驶 向 胜 利的 彼 岸l如 图

7、 ,AD,AE分 别 是 ABC中 A的 内 角 平 分 线 外 角 平分 线 ,它 们 有 什 么 关 系 ?老 师 期 望 :你 能 说 出 结 论 并 能 证 明 它 . ED AB C F 梦 想 成 真 随 堂 练 习2.如 图 ,一 目 标 在 A区 ,到 期 公 路 ,铁 路 距 离 相 等 ,离 公路 与 铁 路 的 交 叉 处 500m .在 图 上 标 出 它 的 位 置 (比 例尺 1:20 000).A区 回 味 无 穷w 定 理 角 平 分 线 上 的 点 到 这 个 角 的 两 边距 离 相 等 .w OC是 AOB的 平 分 线 ,P是 OC上 任 意 一点 ,P

8、D OA,PE OB,垂 足 分 别 是 D,E(已知 ) PD=PE(角 平 分 线 上 的 点 到 这 个 角 的 两 边距 离 相 等 ).w 逆 定 理 在 一 个 角 的 内 部 ,且 到 角 的 两 边距 离 相 等 的 点 ,在 这 个 角 的 平 分 线 上 .w PA=PB, PD OA,PE OB,垂 足 分 别 是D,E(已 知 ),w 点 P在 AOB的 平 分 线 上 .(在 一 个 角 的内 部 ,且 到 角 的 两 边 距 离 相 等 的 点 ,在 这个 角 的 平 分 线 上 ).w 用 尺 规 作 角 的 平 分 线 .w 邻 补 角 的 角 平 分 线 之

9、间 的 关 系 . w 如 小 结 拓 展 O CB1 A2 PDE 知 识 的 升 华独 立作 业 P9习 题 1.8 1,2,3题 .祝 你 成 功 ！ 习 题 1.8 独 立 作 业 驶 向 胜 利的 彼 岸w1.利 用 尺 规 作 出 三 角 形 三 个 内 角 的 平 分 线 . w老 师 期 望 :w先 分 别 作 出 不 同 形 状 的 三 角 形 ,再 按 要 求 去 作 图 .w你 发 现 了 什 么 ？ 习 题 1.8 独 立 作 业 驶 向 胜 利的 彼 岸 w2. 如 图 ,求 作 一 点 P,使 PC=PD,并 且 点 P到 AOB的 两 边 的 距 离 相 等 .

10、老 师 期 望 :养 成 用 数 学 解 释 生 活 的 习 惯 . C D ABO 习 题 1.8 独 立 作 业 驶 向 胜 利的 彼 岸w3.已 知 :如 图 ,在 ABC中 ,AD是 它 的 角 平 分 线 ,且BD=CD,DE AB,DF AC,垂 足 分 别 是 E,F.w求 证 :EB=FC. 老 师 期 望 :做 完 题 目 后 ,一 定 要 “ 悟 ” 到 点 东西 ,纳 入 到 自 己 的 认 知 结 构 中 去 . B AE D CF 结 束 寄 语 严 格 性 之 于 数 学 家 ,犹 如 道 德 之于 人 . 证 明 的 规 范 性 在 于 ： 条 理 清 晰， 因 果 相 应 ,言 必 有 据 .这 是 初学 证 明 者 谨 记 和 遵 循 的 原 则 .下 课 了 !