中考数学动点问题题型方法归纳

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1、动点问题题型方法归纳动点问题题型方法归纳动态几何特点-问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点1、（ 2009 年齐齐哈尔市）直线y3A、B 两点，动点 P、 Q 同时从 O 点出发，x 6 与坐标轴分别交于4同时到达 A 点，运动停止点Q 沿线段 OA 运动，速度为每

2、秒1 个单yB位长度，点 P 沿路线 O B A 运动（ 1）直接写出 A、B 两点的坐标；P（ 2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， OPQ 的面积为 S ，求出 S 与 t 之间xOQA的函数关系式；48时，求出点 P 的坐标， 并直接写出以点 O、 P、 Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的（ 3）当 S5坐标解： 1、 A（ 8， 0）B（ 0， 6）22、当 0 t 3 时， S=t当 3 t 8 时， S=3 8(8-t)t提示：第（ 2）问按点P 到拐点 B 所有时间分段分类；第（ 3）问是分类讨论：已知三定点O、P、 Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类

3、- OP 为边、 OQ 为边， OP 为边、 OQ 为对角线， OP 为对角线、 OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。2、（ 2009 年衡阳市）如图， AB 是 O 的直径，弦BC=2cm ， ABC=60o（ 1）求 O 的直径；（ 2）若 D 是 AB 延长线上一点，连结 CD ，当 BD 长为多少时， CD 与 O 相切；（ 3）若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动，同时动点F 以 1cm/s 的速度从 B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t (s)(0 t2) ，连结 EF，当 t 为何值时， BEF 为直角三角形CCCEFFA

4、ABAOBOBOED注意：第（ 3图）（问1按）直角位置分类讨论图（ 2）图（ 3）32009重庆綦江） 如图，已知抛物线y a(x 1)2 3 3( a0)经过点A( 2， 0)，抛物线的顶点为D，、（过 O 作射线 OM AD 过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线OM于点 C ， B 在 x 轴正半轴上， 连结 BC 第1 页共 11 页动点问题题型方法归纳（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点 P 运动的时间为 t( s) 问当 t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？yM（ 3）

5、若 OC OB ，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒D1 个长度C单位和 2 个长度单位的速度沿OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随P之停止运动 设它们的运动的时间为 t (s) ，连接 PQ ，当 t 为何值时， 四边形 BCPQA的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长OQB x注意：发现并充分运用特殊角DAB=60当 OPQ 面积最大时，四边形 BCPQ 的面积最小。二、特殊四边形边上动点4、（ 2009 年吉林省）如图所示，菱形ABCD 的边长为6 厘米， B 60从初始时刻开始，点P 、 Q 同时从 A 点出发，点P 以1 厘米 /

6、 秒的速度沿ACB 的方向运动，点Q 以 2厘米 / 秒的速度沿ABCD 的方向运动，当点Q 运动到 D 点时， P 、 Q 两点同时停止运动，设P 、 Q 运动的时间为 x 秒时， APQ 与 ABC y平方厘米（这里规定： 点和线段是面积为O的三角形），重叠部分 的面积为DC解答下列问题：（ 1）点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是秒；PBA Q（ 2）点 P 、 Q 从开始运动到停止的过程中，当 APQ 是等边三角形时秒；x 的值是3y与x 之间的函数关系式（ ）求提示：第 (3) 问按点 Q 到拐点时间 B 、 C 所有时间分段分类； 提醒 -高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。

7、5、（ 2009 年哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（3 ， 4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线AC 交 y 轴于点 M ， AB 边交 y 轴于点 H （ 1）求直线 AC 的解析式；（ 2）连接 BM ，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点C 匀速运动，设 PMB 的面积为 S（ S0 ），点 P 的运动时间为t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；y（3）在（ 2）的条件下， y当 t 为何值时， MPB 与 BCO 互为余角，并求此时直线O

8、P 与直AH线 AC 所夹锐AH角的正切值BBMMxOCxOC图（ 2）图（1）注意：第（ 2）问按点P 到拐点 B 所用时间分段分类；第2 页共 11 页动点问题题型方法归纳第（ 3）问发现 MBC=90 ， BCO 与 ABM互余，画出点P 运动过程中， MPB= ABM 的两种情况，求出 t 值。利用 OB AC, 再求 OP 与 AC 夹角正切值 .6、 (2009 年温州 )如图，在平面直角坐标系中，点A(3 ， 0)， B(33 ，2) ，C（ 0， 2)动点 D 以每秒 1个单位的速度从点0 出发沿 OC 向终点 C 运动，同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿

9、AB 向终点 B 运动过点E 作 EF 上 AB ，交 BC于点 F，连结 DA 、DF 设运动时间为 t 秒(1) 求 ABC 的度数；(2) 当 t 为何值时， AB DF ；(3) 设四边形 AEFD 的面积为 S求 S 关于 t 的函数关系式；若一抛物线 y=x 2+mx 经过动点 E，当 S2 3 时，求 m 的取值范围 (写出答案即可 ) 注意：发现特殊性，DE OA7、（ 07 黄冈）已知：如图，在平面直角坐标系中， 四边形 ABCOy是菱形，且B AOC=60 ，点 B 的坐标是(0,8 3) ，点 P 从点 C 开始以每秒1 个单位长度的速度在线段CB 上向点 B 移动，同时

10、，点Q 从P点 O 开始以每秒 a（ 1a3）个单位长度的速度沿射线OA 方向移动，设 t (0 t8) 秒后，直线 PQ 交 OB 于点 D.CDA（ 1）求 AOB 的度数及线段 OA 的长；Q（ 2）求经过 A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；（ 3）当 a 3, OD4PQ 的解析3 时，求 t 的值及此时直线x3O式；（ 4）当 a 为何值时， 以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与OAB相似？当 a 为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与OAB 不相似？请给出你的结论，并加以证明.8、（ 08 黄冈）已知：如图，在直角梯形 COAB 中，OC AB ，以 O 为原点建立平面

11、直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)， B(810)， C (0，4) ，点 D 为线段 BC 的中点，动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒（ 1）求直线 BC 的解析式；（ 2）若动点 P 在线段 OA 上移动，当 t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形 COAB 面积的2 ？7（ 3）动点 P 从点 O 出发，沿折线 OABD 的路线移动过程中， 设 OPD 的面积为 S ，请直接写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围；（ 4）当动点 P 在线段 AB 上移动时，能否在线段OA上找到一点Q

12、 ，使四边形 CQPD 为矩形？请求出此时动点 P 的坐标；若不能，请说明理由BByDyDCC第OPAxOAx3 页共 11页（此题备用）动点问题题型方法归纳9 、 (09 年黄 冈 市 ) 如图 , 在 平 面 直 角 坐 标系xoy中 , 抛 物 线y1 x24 x 10 与 x 轴的交点为点 A, 与 y 轴的交点为点 B.189过点 B 作 x 轴的平行线BC, 交抛物线于点C,连结 AC 现有两动点 P,Q 分别从 O,C 两点同时出发 ,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿OA 向终点 A 移动 ,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿CB 向点 B 移动 ,点 P 停止运动时 ,点 Q

13、 也同时停止运动,线段 OC,PQ 相交于点D,过点 D 作 DE OA, 交 CA 于点 E,射线 QE 交 x 轴于点 F设动点 P,Q 移动的时间为 t(单位 :秒 )(1) 求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2) 当 t 为何值时 ,四边形 PQCA 为平行四边形 ?请写出计算过程 ;(3) 当 0t 9 时 , PQF 的面积是否总为定值?若是 ,求出此定值 ,若不是 ,请说明理由 ;2(4) 当 t 为何值时 , PQF 为等腰三角形 ?请写出解答过程提示：第（ 3）问用相似比的代换，得 PF=OA （定值）。第（ 4）问按哪两边相等分类讨论 PQ=PF, PQ=F

14、Q, QF=PF.三、直线上动点82009年湖南长沙）如图，二次函数yax2bxc（a 0）的图象与x 轴交于A、 B两点，与y轴、（相交于点 C 连结 AC、BC，A、C 两点的坐标分别为A(3，0) 、 C (0， 3)，且当 x4 和 x 2 时二次函数的函数值 y 相等（ 1）求实数 a，b， c 的值；（ 2）若点 M 、N 同时从 B 点出发， 均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BA、BC 边运动， 其中一个点到达终点时， 另一点也随之停止运动 当运动时间为 t 秒时，连结 MN ，将 BMN 沿 MN 翻折， B点恰好落在 AC 边上的 P 处，求 t 的值及点 P 的坐标；（

15、 3）在（ 2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q ，使得以 B， N， Q 为项点的三角形与 ABC 相似？如果存在，请求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由yPCN提示：第（ 2）问发现特殊角 CAB=30 , CBA=60AM O Bx特殊图形四边形BNPM 为菱形；第 (3)问注意到 ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与ABC 相似的 BNQ，再判断是否在对称轴上。9、（ 2009 眉山）如图，已知直线 y11 与 y 轴交于点 A ，与 x 轴交于x1 x22点 D，抛物线 ybx c 与直线交于A 、 E 两点，与 x 轴交于 B、 C2第4 页共 11

16、 页动点问题题型方法归纳两点，且 B 点坐标为(1， 0)。求该抛物线的解析式；动点 P 在 x 轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标 P。在抛物线的对称轴上找一点M，使 | AMMC |的值最大，求出点M 的坐标。提示：第（ 2）问按直角位置分类讨论后画出图形- P 为直角顶点AE 为斜边时，以AE 为直径画圆与x轴交点即为所求点 P， A 为直角顶点时，过点 A 作 AE 垂线交 x 轴于点 P， E 为直角顶点时，作法同；第（ 3）问，三角形两边之差小于第三边，那么等于第三边时差值最大。10、（ 2009 年兰州）如图，正方形ABCD 中，点 A 、B 的坐标分别为（0，

17、10），（ 8， 4）， 点 C 在第一象限 动点 P 在正方形ABCD 的边上， 从点 A 出发沿 A B C D 匀速运动， 同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达 D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒(1) 当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标 x （长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；(2) 求正方形边长及顶点C 的坐标；(3) 在（ 1）中当 t 为何值时， OPQ 的面积最大，并求此时 P 点的坐标；(4) 如果点 P、Q 保持原速度不变， 当点 P 沿 A B CD 匀速运动时，

18、 OP 与 PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由注意：第（ 4）问按点 P 分别在 AB 、BC、 CD 边上分类讨论；求t 值时，灵活运用等腰三角形“三线合一 ”。11、（2009 年北京市）如图，在平面直角坐标系xOy 中， ABC 三个顶点的坐标分别为A6,0 ， B 6,0 ， C 0,4 3 ，延长 AC 到点 D,使 CD= 1 AC ,过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于2点 E.（ 1）求 D 点的坐标；（ 2）作 C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF，若过 B 点的直线ykxb 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边

19、形，确定此直线的解析式；（ 3）设 G 为 y 轴上一点，点P 从直线 ykxb 与 y 轴的交点出发，先沿y 轴到达 G 点，再沿GA 到达A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置， 使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。 （要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明）提示：第（）问，平分周长时，直线过菱形的中心；第5 页共 11 页动点问题题型方法归纳第（）问，转化为点到的距离加到（）中直线的距离和最小；发现（）中直线与轴夹角为 .见“最短路线问题 ”专题。2、 (2009 年上海市 )APDAPDADP已知 AB

20、C=90 ， AB=2 ，BC=3 ，QBAD BC，P 为线段 BD 上的动BCB（ Q） 图 2CC 点，点 Q 在射线 AB 上，且图 1图 3PQADQ满足（如图 1 所示）PCAB（ 1）当 AD=2 ，且点 Q 与点 B 重合时（如图2 所示），求线段 PC 的长；（ 2）在图 8 中，联结当AD3QABB、QSAPQy，其AP，且点在线段上时，设点之间的距离为 x ，SPBC2中 SAPQ表示 APQ 的面积，PBC表示 PBC 的面积， 求 y 关于 x 的函数解析式， 并写出函数定义域；S（ 3）当 ADAB ，且点 Q 在线段 AB 的延长线上时（如图3 所示），求QPC

21、的大小注意：第（ 2）问，求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。 当 PCBD 时，点 Q、B 重合， x 获得最小值；当 P 与 D 重合时， x 获得最大值。第（ 3）问，灵活运用SSA 判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用SSA 来判定两个三角形相似；或者用同一法；或者证BQP BCP，得 B 、Q、C、P 四点共圆也可求解。第6 页共 11 页动点问题题型方法归纳13、（ 08 宜昌）如图，在Rt ABC 中， AB AC ， P 是边 AB （含端点）上的动点过P 作 BC 的垂线

22、 PR，R 为垂足， PRB 的平分线与AB 相交于点 S，在线段 RS 上存在一点T ，若以线段 PT 为一边作正方形PTEF，其顶点 E， F 恰好分别在边BC ， AC 上（ 1） ABC 与 SBR 是否相似，说明理由；（ 2）请你探索线段 TS 与 PA 的长度之间的关系；（ 3）设边 AB 1，当 P 在边 AB（含端点） 上运动时， 请你探索正方形PTEF 的面积 y 的最小值和最大值BBRTSRTSEEPPCFACFA(第 13 题 )(第 13 题)提示：第（ 3）问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当p 运动到使 T 与 R 重合时， PA=TS为最大；当 P 与

23、 A 重合时， PA 最小。此问与上题中求取值范围类似。14、 (2009 年河北 )如图，在 Rt ABC 中， C=90， AC = 3 ， AB = 5 点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点B 匀速运动伴随着P、Q 的运动， DE 保持垂直平分PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、 Q 同时出发，当点Q 到达点 B 时停止运动，点P 也随之停止设点P、 Q运动的时间是t 秒（ t 0）（ 1）当 t = 2 时，

24、AP =，点 Q 到 AC 的距离是；（ 2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式； （不必写出t 的取值范围）（ 3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值若不能，请说明理由；（ 4）当 DE 经过点 C 时，请直接 写出 t 的值BEQDAPC提示：（）按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出t 值；有二种成立的情形，；（）按点P 运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出t 值；有二种情形，t 时，时第7 页共 11 页动点问题题型方法归纳15、（2009 年包头）已知二次函

25、数yax2bxc （ a0 ）的图象经过点A(10)， ， B(2，0) ， C (0， 2) ，直线 xm （ m2 ）与 x 轴交于点 D （ 1）求二次函数的解析式；（ 2 ）在直线 x m （ m 2 ）上有一点 E （点 E 在第四象限） ，使得 E、D、B 为顶点的三角形与以A、 O、C 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示） ；（ 3）在（ 2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出 m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由提示：第（ 2）问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；第（ 3）问，四

26、边形ABEF 为平行四边形时，E、F 两点纵坐标相等，且AB=EF ，对第（ 2）问中两种情形分别讨论。第8 页共 11 页动点问题题型方法归纳四、抛物线上动点16、（ 2009 年湖北十堰市）如图，已知抛物线yax2bx3（a0）与 x 轴交于点 A(1 ，0)和点 B ( 3， 0)，与 y 轴交于点C(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使 CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3) 如图，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE ，求四边形 BOCE 面积的

27、最大值，并求此时 E 点的坐标注意：第（ 2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标 - C 为顶点时，以C 为圆心 CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P， M 为顶点时，以M 为圆心 MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P， P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第（ 3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。17、（ 2009 年黄石市）正方形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，A 在 x 轴正半轴上，D 在 y 轴的负半

28、轴上，AB 交 y 轴正半轴于 E，BC 交 x 轴负半轴于 F ， OE1，抛物线 yax 2bx4 过A、 D、F 三点（ 1）求抛物线的解析式；（ 2） Q 是抛物线上D、F 间的一点，过 Q 点作平行于 x 轴的直线交边AD 于 M ，交 BC 所在直线于 N ，若 S四边形AFQM 3SFQN ，则判断四边形 AFQM 的形状；2（ 3）在射线 DB 上是否存在动点 P ，在射线 CB 上是否存在动点H ，使得 AP PH 且 APPH ，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由yBEFOAxC注意：第（ 2）问，发D 现并利用好 NM FA 且 NM FA;第（ 3）问，将此问

29、题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先画出合适的图形，再证明。第9 页共 11 页动点问题题型方法归纳近 三年 黄 冈 中 考 数 学“坐 标 几 何 题 ”（ 动 点 问 题 ） 分 析0 7080 9动点两个一个两 个个数问 题特殊菱形两边特 殊 直 角抛 物 线 中 特 殊背 景上 移 动梯 形 三 边直 角 梯 形 底 边上移动上移动考 查探究相似三角探 究 三 角探 究 等 腰 三 角难点形形面积函形数关系式菱 形 性 质求 直 线求 抛 物 线 顶特殊角三角解 析 式点 坐 标考函 数四边 形探 究 平 行 四求 直 线 、 抛 物面 积 的 表边 形点线 解 析

30、式示探 究 动 三 角相 似 三 角 形动 三 角形 面 积 是 定 值不 等 式形 面 积 函探 究 等 腰 三数矩形角形存 在性性质菱 形 是 含6 0 观 察 图直 角 梯 形 是的 特 殊 菱 形 ；形 构 造 特特 殊 的 （ 一 底 A O B 是 底 角为征 适 当 割角 是4 5 ）3 0 的 等 腰 三 角补 表 示 面点 动 带 动 线形。积动特一个动点速动 点 按线 动 中 的 特度 是 参 数 字 母。到 拐 点 时殊 性 （ 两 个 交探究相似三间 分 段 分点D 、 E是 定角 形 时 ， 按 对应类点 ； 动 线 段P F点角不同分类讨画 出 矩长 度 是 定 值

31、 ，论 ； 先 画 图 ， 再形 必 备 条P F = O A ）探 究 。件 的 图 形通 过 相 似 三通过相似三探 究 其 存角 形 过 度 ， 转角 形 过 度 ， 转化在 性化 相 似 比 得 出相似比得出方方程。程。探究 等腰三利 用a 、 t范角 形 时 ， 先 画围 ， 运 用 不 等 式图 ， 再 探 究 （ 按求 出a 、 t的 值 。边 相 等 分 类 讨论）三年共同点：第 10 页 共 11 页动点问题题型方法归纳特殊四边形 为 背 景 ；点 动 带 线 动 得 出 动 三 角 形 ；探 究 动 三 角 形 问 题 （ 相 似 、 等 腰 三 角 形 、 面 积函数关系式 ）；求 直 线 、 抛 物 线 解 析 式 ；探 究 存 在 性 问 题 时 ， 先 画 出 图 形 ， 再 根 据 图 形性质探究答 案 。大趋势：第 11 页 共 11 页