信源编码PCM抽样与标量量化

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1、 六、连续信源的限失真编码模拟信号的数字传输：模拟信号的数字化（PCM）： 1）抽样：对信号在时域上进行离散化； 2）量化：是对信号在取值上进行离散化； 3）编码：将离散的量化值进行编码，使其变成二进制序列 PCM抽样定理抽样的过程：抽样定理：如果对一带宽有限的时间连续信号进行抽样，且抽样率达到一定数值时，那么根据这些抽样值就能准确地确定原信号1）低通抽样定理：对频带限定在（0，f H）内的信号2）带通抽样定理：对频带限定在（ fL ，fH）内的信号 低通抽样定理：一个频带限定在（0，fH）内的连续模拟信号x(t)，如果以 秒的间隔对其进行等间隔抽样，则x(t)将被所得到的抽样值完全确定脉冲序

2、列信号 ：间隔为Ts的一串脉冲，即为一个周期信号 12s HT f ( )sT t( ) ( ) sT skt t kT 1( ) ( ) sT sksf f kfT 2s Hf f 抽样序列：频域上：定理要求 ，若不满足则会发生频谱的混叠，导致混叠失真( ) ( ) ( ) ( ) ( )ss T s skx t x t t x kT t kT ( ) ( ) ( )1( ) ( )1 ( )ss f sks sksX f X f fX f f kfTX f kfT 2s Hf f 信号的重建过程：采用一个截止频率为fH的理想低通滤波器，就可恢复出原始信号低通滤波器的传递函数及冲激响应：重建

3、信号： 1 ,2( ) 0, HH Hf ffH f f f sin 2( ) 2 HHf th t f t( ) ( ) ( )sin 2 ( ) ( )2 sin 2 ( )( ) 2 ( )s H s skH H ssk H sx t x t h tf t x kT t kTf t f t kTx kT f t kT 带通抽样定理：一个受限于（ fL ，fH）的带通模拟信号，其带宽为B = ( fH - fL )，则：其中R必为一个正实数，则其可被表示为R = m + k，其中k为一个不大于R的最大整数，则m必为 0, 1)之间的一个小数，因此：那么保证不失真的最低采样速率f s 为：H

4、f RB ( )Hf RB m k B mB kB min 2 2( ) 2(1 )Hs f m k B mf Bk k k ( ) 22(1 )Hsf m k B kmf Bk 2H skf f 2L skf f B 模拟信号能否数字化的基本要求就是不能发生混叠失真，即不失真的要求就是信号的频谱不能重叠在一起，可以从这个角度证明带通抽样定理fL 、fH与fs 之间的关系： 22 2(1 ) 2s m mf B B B Bk k min 2 2( ) 2(1 )Hs f m k B mf Bk k k PCM标量量化标量量化：对抽样序列的逐个样值独立地进行量化 1）将量化器的量化区间分成若干个

5、相邻的段落； 2）每个段落内取一个固定值作为量化输出则量化过程可被表示为： 1( ) , ( , ), 1,2, , k k kQ x y y x x x k M 1k k kx x 量化误差，又称量化噪声： ( )q ke x t y 衡量量化器的指标：量化信噪比，即输出信号的平均功率与量化噪声平均功率之比由于量化误差eq是随机变量，就可以用它的统计特性来描述，则它的平均功率：其中p(x)为输入信号的概率密度函数，将积分区域分为M个量化区间：量化信噪比： 2 2( ) ( )q q kN E e x y p x dx 12 21 ( ) ( )kkM xq q kxkN E e x y p

6、x dx 11 22 12 21 ( )( ) ( )kkkkM x kxkq kM xq q kxk y p x dxE ySN E e x y p x dx 因此，对于量化器来说，其输出的量化噪声越小，量化信噪比越大对于上式，当量化级数确定，即M确定后， Nq的大小与分层电平xk和量化电平yk有关，可将Nq分别看成是xk和yk的函数，则通过下式可求得Nq的最小值：此即为Lloyd-Max条件，是标量量化器最优化的必要条件， 利用上式计算出来的量化器即为最佳量化器12 21 ( ) ( )kkM xq q kxkN E e x y p x dx 0, 1,2, ,0, 1,2, , qkqk

7、N k MxN k My 将计算Nq的公式代入Lloyd-Max条件表达式计算即可求得：计算步骤： 1）首先确定量化噪声的门限值N、量化级数M，以及x 1和y1的初始值； 2）利用Lloyd-Max条件（1式）计算出yk ； 3）利用Lloyd-Max条件（2式）计算出xk ； 4）重复2、3步，直到计算出所有的量化电平和分成电平，然后计算量化噪声，若大于门限值，则改变初始值x1和y1再重复上述步骤； 5）若始终无法满足门限值N，则改变量化级数M，再重复上述步骤，直到满足门限条件 ,1,1, 1, , 1 ( ), 1,2, , 10, 1,2, , 2 ( ) , 1,2, ,0, 1,2,

8、 , ( )optoptoptoptopt opt optopt kk kkq k k kxk xq k xk xN x y y k Mk Mx xp x dxN y k Mk My p x dx 均匀量化器：将量化器的量化区间等分成M段，量化间隔为：最佳的量化电平为两个分层电平的中点，即：若输入信号均匀分布在（-V，V）区间上，则其概率密度函数则分层电平： 2( , ), , 1,2, , k Vx V V k MM 12k kk x xy 1( ) 2p x V 2 , 1,2, , k k kVx V k V k MM 11 2 222 21 22 21 ( 1)( ) 12 ( 1)(

9、 ) ( ) 12kkkkM x kxkq kM xq q kxk My p x dxE yS MN E e x y p x dx 非均匀量化若输入信号的概率特性p(x)是非均匀的，此时需采用非均匀量化器：分布密集的区域采用较小的量化间隔；分布分散的区域采用较大的量化间隔实现的方法：1）对非均匀信号x进行非线性变换f(x) = z 变换成均匀信号2）再对均匀信号z进行均匀量化；3）接收端对 z 进行一次反变换x = f -1(z)，即可恢复x； 非均匀量化对数量化器理想的非线性变换函数：对于这个函数当x 0时，c(x)-，在物理上很难实现实际中用到的压缩函数： ln( ) xc x B ln(

10、1 )( ) ,0 1ln(1 )Axc x xA 1, 01 ln( ) 1 ln 1, 11 ln Ax xA Ac x Ax xA A 其中A称为压缩系数，由压缩函数表达式可知：1）在 的范围内，c(x)是一段直线；2）在 的范围内， c(x)是一条对数特性曲线在实际中一般采用折线的方法来近似表示对数特性10 x A 1 1xA 11 xc(x) A = 87.6A = 5 A = 1O O xy 11 11 PCM编码把量化后信号电平值转换成二进制码组的过程成为编码常见的二进制码组：1）自然二进制码组NBC码2）折叠二进制码组FBC码3）格雷二进制码组RBC码 CCITT建议的电话PC

11、M编码1）电话语音信号限制在300Hz3400Hz；2）抽样频率为8000Hz；3）先用对数A律特性将量化范围分成16个段落（对数量化）；4）每个段落内再分成16个小段落（均匀量化）5）每个量化值用8位二进制为进行编码c 1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 编码规则（正极性部分）： 段落0(000)：031份，段内分为16个小段，每小段2份； 段落1(001)：3263份，段内分为16个小段，每小段2份； 段落2(010)：64127份，段内分为16个小段，每小段4份； 段落3(011)：128255份，段内分为16个小段，每小段8份； 段落4(100)：256511份，段内分为16

12、个小段，每小段16份； 段落5(101)：5121023份，段内分为16个小段，每小段32份； 段落6(110)：10242047份，段内分为16个小段，每小段64份； 段落7(111)：20484095份，段内分为16个小段，每小段128份；其中：每一份为一个量化单位； 每小段的中点为量化电平 例如：A律13折线PCM编码器的设计输入范围在-6V, 6V，若抽样脉冲幅度x = -2.4V。求编码器的输出码组；解码器输出的量化电平值，计算量化误差；写出对应于PCM码组的线性PCM的13为码组1）首先对抽样值归一化：2）计算归一化的抽样值具有多少个量化单位，即看它落在哪一个线段内：则x落在编号为

13、“110”的线段内，该线段被分成16小段，每小段含64个量化单位。则可计算该抽样值落在哪一个小段上：即落在第10小段上，则其CCITT标准的编码为：0 110 10013）解码：110第七段（含1024个单位），1001第10小段（含64 个单位）则1001表示964 = 576个单位，因量化电平为每段中点，因此还要加上半段的量化单位0.564 = 32个单位，总共1024+576+32 = 1632个单位，则输出电平值： 量化误差：2.4 - 2.390625 = -0.009375V 2.4 0.46 6x VV V 0.4 4096 1638.4 1638.4 1024 614.4 9.

14、664 64 1632 6 2.3906254096 V V 4）对数PCM码组的线性PCM的编码：4096个单位可用12位的二进制码组表示，再加一位极性表示位，共13位二进制位： 1632 = 210 + 29 + 26 + 25则对应的二进制编码（折叠码）为：0011001100000 量化误差，又称量化噪声： ( )q ke x t y 衡量量化器的指标：量化信噪比，即输出信号的平均功率与量化噪声平均功率之比由于量化误差eq是随机变量，就可以用它的统计特性来描述，则它的平均功率：其中p(x)为输入信号的概率密度函数，将积分区域分为M个量化区间：量化信噪比： 2 2( ) ( )q q k

15、N E e x y p x dx 12 21 ( ) ( )kkM xq q kxkN E e x y p x dx 11 22 12 21 ( )( ) ( )kkkkM x kxkq kM xq q kxk y p x dxE ySN E e x y p x dx 非均匀量化对数量化器理想的非线性变换函数：对于这个函数当x 0时，c(x)-，在物理上很难实现实际中用到的压缩函数： ln( ) xc x B ln(1 )( ) ,0 1ln(1 )Axc x xA 1, 01 ln( ) 1 ln 1, 11 ln Ax xA Ac x Ax xA A 其中A称为压缩系数，由压缩函数表达式可

16、知：1）在 的范围内，c(x)是一段直线；2）在 的范围内， c(x)是一条对数特性曲线在实际中一般采用折线的方法来近似表示对数特性10 x A 1 1xA 11 xc(x) A = 87.6A = 5 A = 1O 编码规则（正极性部分）： 段落0(000)：031份，段内分为16个小段，每小段2份； 段落1(001)：3263份，段内分为16个小段，每小段2份； 段落2(010)：64127份，段内分为16个小段，每小段4份； 段落3(011)：128255份，段内分为16个小段，每小段8份； 段落4(100)：256511份，段内分为16个小段，每小段16份； 段落5(101)：5121023份，段内分为16个小段，每小段32份； 段落6(110)：10242047份，段内分为16个小段，每小段64份； 段落7(111)：20484095份，段内分为16个小段，每小段128份；其中：每一份为一个量化单位； 每小段的中点为量化电平 4）对数PCM码组的线性PCM的编码：4096个单位可用12位的二进制码组表示，再加一位极性表示位，共13位二进制位： 1632 = 210 + 29 + 26 + 25则对应的二进制编码（折叠码）为：0011001100000