高阶常系数线性微分方程

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1、10-5 高 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 ( )d ( )dg y y f x x1.可 分 离 变 量 的 ：d (d )y yx x2.齐 次 型 : ( ) ( )y P x y Q x 3.一 阶 线 性 方 程 ：一 阶 方 程可 降 阶 的 高 阶 方 程 ( ) ( )ny f x ( , )y f x y ( ) ( )P x y y P x 令 则( , )y f y y d d( ) d dy PP y y Px y 令 则逐次积分求解 关 键 : 辨 别 方 程 类 型 , 掌 握 相 应 的 求 解 步 骤复 习 ( ) ( ) 0y P x y Q x y

2、 1.二 阶 齐 次 线 性 方 程 的 标 准 形 式( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x 2.二 阶 非 齐 次 线 性 方 程 的 标 准 形 式2211 yCyCy * 2211 yyCyCy 通 解 为 ：通 解 为 ： 21, yy其 中 线 性 无 关 ， 即 常 数 ，12yy 即 ).(12 xuyy 二 阶 线 性 微 分 方 程 的 标 准 形 式 及 解 的 性 质 ： 高 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 第 五 节 第十章 二、高阶常系数非齐次线性微分方程 一、高阶常系数非齐次线性微分方程 下 面 讨 论 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性

3、 微 分 方 程 的 求 解 方 法 .( ) ( 1)1 1( ) ( ) ( ) ( ) ,n n n nn y P x y P x y P x y f x 在 阶 线 性 方 程 中定 义 ( ), , , ,ny y y y 如 果 未 知 函 数 及 其 各 阶 导 数 的 系 数 全 都 是 常 数 时.则 称 该 方 程 为 常 系 数 线 性 微 分 方 程:一 般 形 式 ( ) ( 1) ( 2)1 2 1 ( ),n n n n ny p y p y p y p y f x 1 2 1: , , , , .n np p p p其 中 均 为 常 数0y py qy (p,

4、q为 常 数 ) 0y py qy 1.二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 的 标 准 形 式( )y py qy f x 2.二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 方 程 的 标 准 形 式(p,q为 常 数 )(p,q为 常 数 )2211 yCyCy * 2211 yyCyCy 通 解 为 ：通 解 为 ： 21, yy其 中 线 性 无 关 ， 即 常 数 ，12yy 即 ).(12 xuyy 一 、 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 的 标 准 形 式 及 解 的 性 质 ： 二 、 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 的 解 法将 其 代 入 上 方 程

5、 , 得 0)( 2 rxeqprr ,0rxe故 有 02 qprr 特 征 方 程 21,2 42p p qr 特 征 根 0y py qy (p,q为 常 数 ) rxery 2,rxrey 则rxey 是 方 程 的 解 .设 rxey 是 方 程 的 解设 2 0r r pr q 是 的 解 ,11 xrey ,22 xrey 两 个 线 性 无 关 的 特 解 ：得 齐 次 方 程 的 通 解 为 ;21 21 xrxr eCeCy 有 两 个 不 相 等 的 实 根 )0( 设 特 征 根 为 xrrxr xr eee )( 2121 023 yyy如 ：特 征 方 程 为 ，0

6、23 2 rr ,11 r21 2 .x xy C e C e ，21,rr 21 rr 且 常 数则 通 解 为 2 2 r rxey 是 方 程 的 解设 2 0r r pr q 是 的 解 ,11 xrey ,221 prr 有 两 个 相 等 的 实 根 )0( 一 特 解 为得 齐 次 方 程 的 通 解 为 ;)( 121 xrexCCy ,0)()2( 1211 uqprrupru ,)( 12 xrexuy 特 征 根 为 044 yyy如特 征 方 程 为 ，044 2 rr ，221 rr.)( 221 xexCCy )( 12 xuyy 222 yyy ，将 代 入 原

7、方 程 并 化 简 得,0u知 ,)( xxu 取 ,12 xrxey 则则 通 解 为设 另 一 特 解 为 ：rxey 是 方 程 的 解设 2 0r r pr q 是 的 解 ,1 ir ,2 ir xiey )(1 xiey )(2 有 一 对 共 轭 复 根 )0( 重 新 组 合 )(21 211 yyy ,cos xe x )(21 212 yyiy ,sin xe x 得 齐 次 方 程 的 通 解 为 ).sincos( 21 xCxCey x 设 特 征 根 为 0 yy如 特 征 方 程 为 ，01 2 r ,1 ir .sincos 21 xCxCy xix ee )s

8、in(cos xixe x xix ee )sin(cos xixe x 则 通 解 为 . 2 ir 21 tan y xy 常 数 02 qprr0y py qy ，定 义 由 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 的 特 征 方 程 的 根 确 定 其总 之 xrxr eCeCy 21 21 rxexCCy )( 21 )sincos( 21 xCxCey x 通 解 的 表 达 式特 征 根 情 况21 rr 实 根 rrr 21实 根 ir 2,1复 根 通 解 的 方 法 称 为 特 征 方 程 法 . 解 特 征 方 程 为 ,0522 rr解 得 ,212,1 ir 故 所 求

9、通 解 为 ).2sin2cos( 21 xCxCey x 解 特 征 方 程 为 ,0122 rr解 得 ,121 rr故 所 求 通 解 为 .)( 21 xexCCy 02 yyy例 1 求 方 程 的 通 解 .052 yyy例 2 求 方 程 的 通 解 .特 征 方 程 为 2 3 0r r 1 20 3r r ，故 所 求 通 解 为例 3 求 03 yy 的 通 解 .解 . 321 xeCCy 135 321 21 CC CC解 得 ,2,1 21 CC故 所 求 特 解 为 5 32 .x xs e e 解 特 征 方 程 为 ,01522 rr解 得 ,3,5 21 rr

10、 故 所 求 通 解 为5 31 2 .x xs C e C e .35 3251 xx eCeCs 1)0(,3)0( ss由 得 ：2 2d d2 15 0 (0) 3, (0) 1 .d d4 s s s s sx x 求 微 分 方 程 足例 满 的 特 解 例5由通解式可知特征方程的根为故特征方程为因此微分方程为练习：为某二阶常系数齐次方程的通解,则该方程 为 解: 由通解式可知特征方程的根为 1 2 1 ,r i ，故特征方程为2 2 2 0r r 因此微分方程为2 2 0.y y y 21 2 x xy C e C e 求 以 为 通 解 的 微 分 方 程 .1 21, 2,r

11、 r 解 ( 1)( 2) 0,r r 2 3 2 0,r r 即3 2 0.y y y 1 2 1 1( sin cos )xy e C x C x C C 设 ( 、 为 任 意 常 数 ) 特征方程: 推广: ( ) ( 1)1 1 0 ( )n n n n ky p y p y p y p 均 为 常 数11 1 0,n n n nr p r p r p 特 征 方 程 的 根 微 分 方 程 通 解 中 的 对 应 项rxCe单 实 根 r 给 出 一 项 :1,2r i 1 2( cos sin )xe C x C x 11 2( )k rxkC C x C x e 1,2r i

12、11 2( )cosx kke C C x C x x 11 2( )sin kkD D x D x x 一 对 单 虚 数 根 给 出 两 项 :k重 实 根 r 给 出 k项 :一 对 k重 虚 数 根 给 出 2k项 :( , )i iC D以 上 均 为 任 意 常 数 特 征 根 为 ,1 54321 irrirrr 故 所 求 通 解 为 .sin)(cos)( 54321 xxCCxxCCeCy x 解 ,0122 2345 rrrrr特 征 方 程 为 ,0)1)(1( 22 rr注 意 ： n次 代 数 方 程 有 n个 根 , . 2211 nnyCyCyCy 且 每 一

13、项 各 一 个 任 意 常 数对 应 着 通 解 中 的 一 项 , 而 特 征 方 程 的 每 一 个 根 都 022 )3()4()5( yyyyyy例 6 求 方 程 的 通 解 . 四 、 小 结二 阶 常 系 数 齐 次 微 分 方 程 求 通 解 的 一 般 步 骤 :（ 1） 写 出 相 应 的 特 征 方 程 ; 02 qprr 0y py qy 21 rr xrxr eCeCy 21 21 rrr 21 ir 2,1 rxexCCy )( 21 )sincos( 21 xCxCey x 通 解 的 表 达 式特 征 根 情 况实 根实 根复 根（ 2） 求 出 特 征 根 ;

14、（ 3） 根 据 特 征 根 的 不 同 情 况 ,得 到 相 应 的 通 解 .基 本 思 路 : 求 解 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 求 特 征 方 程 (代 数 方 程 )之 根转 化 思 考 与 练 习答 案 : 通 解 为通 解 为通 解 为0 .y a y 求 方 程 的 通 解0:a 1 2y C C x 0:a 1 2cos siny C a x C a x 1 2 .a x a xy C e C e 2 0r a 思考题：1 2 3, 2 , cos2 ,x xy e y xe y x 求 一 个 以 4 3sin2y x为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解: 根据给定的特解知特征方程有根 : 1 2 1,r r 3,4 2r i因此特征方程为2)1( r 0)4( 2 r即04852 234 rrrr 04852)4( yyyyy故所求方程为其通解为xCxCexCCy x 2sin2cos)( 4321