非正弦周期电压和

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1、4.9 非 正 弦 周 期 电 压 和 电 流（ a） 矩 形 波 电 压 （ b） 三 角 波 电 压 （ c） 锯 齿 波 电 压 （ d） 全 波 整 流 波 形 一 、 非 正 弦 周 期 量 的 傅 里 叶 级 数 展 开一 个 呈 周 期 性 变 化 的 非 正 弦 电 压 、 电 流 或 信 号 ， 可 以 用 一个 周 期 函 数 表 示 为 )()( Tktftf 式 中 T 为 周 期 函 数 f (t) 的 周 期 ， k = 0,1,2。一 个 角 频 率 为 的 非 正 弦 周 期 函 数 f (t) ， 如 果 满 足 狄 里赫 利 条 件 ， 可 以 展 开 成

2、一 个 收 敛 的 傅 里 叶 三 角 级 数 表 示 式 )2sin()sin()( 22110 tAtAAtf mm 10 )sin(k kkm tkAA 式 中 ， A0 - 为 恒 定 分 量 （ 或 直 流 分 量 ） ， 是 函 数 f (t) 在 一 个 周 期 T 内 的 平 均 值 。第 二 项 - 与 周 期 函 数 f (t) 同 频 率 ，)sin( 11 tA m称 为 基 波 ， 也 称 为 一 次 谐 波 。 周 期 函 数 f (t) 的 傅 里 叶 级 数 展 开 式 ， 可 写 为 另 外 一 种 表示 形 式 ， 即 )cossinsin(cos 1110

3、 ttAA m )2cossin2sin(cos 222 ttA m )cossinsin(cos10 tktkAA kkkmk 110 cossin k kk k tkbtkaA 10 )sin()( k kkm tkAAtf 其 余 k = 2 , 3各 项 的 频 率 是 周 期 函 数 f (t) 的 频 率 的 整 数倍 ， 分 别 称 为 二 次 谐 波 、 三 次 谐 波 ， 也 统 称 为 高 次 谐 波 。 T tdtfdttfTA 0 200 )()(21)(1 Tk dttktfTa 0 )sin()(2 级 数 展 开 式 中 的 各 项 系 数 ， 可 按 下 列 公

4、 式 计 算 ：式 中 kkmk Aa cos 20 )()sin()(1 tdtktf kkmk Ab sin 22 kkkm baA kkk abarctg Tk dttktfTb 0 )cos()(2 20 )()cos()(1 tdtktf例 如 ， 图 (a)所 示 矩 形 波 电 压 在 一个 周 期 内 的 表 示 式 为u mU mU t0 2 t求 得 傅 里 叶 级 数 展 开 式 中 的 各 项 系 数 为 0200 )(21)(21 tdUtudA m0)()(21 2 tdUm （ a） 矩 形 波 电 压 t2uUm0 Um 20 )()sin(1 tdtkuak

5、0 )()sin(1 tdtkUm 2 )()sin()(1 tdtkUm 0 )()sin(2 tdtkUm 1)cos(2 kkUm 0 （ k 为 偶 数 ）kUm4 （ k 为 奇 数 ） 0)cos(2 tkkUm 0)()cos(1 20 tdtkubk则 ， 图 (a)所 示 矩 形 波 电 压 的 傅 里 叶 级 数 展 开 式 为 110 cossin k kk k tkbtkaAu )5sin513sin31(sin4 tttUm 为 奇 数k k tka sin 类 似 于 矩 形 波 的 分 析 ， 可 得 图 (b)三 角 波 形 电 压 的 傅 里 叶 级 数 展

6、开 式 为图 (c)锯 齿 波 形 电 压 的 傅 里 叶 级数 展 开 式 为 ttUu m 3sin91(sin8 2 )5sin251 t tUu m sin121( )3sin312sin21 tt t2uUm0 （ b） 三 角 波 电 压 t2uUm0 4（ c） 锯 齿 波 电 压 图 (d)全 波 整 流 波 形 电 压 的 傅 里 叶 级 数 展 开 式 为tUu m 2sin321(2 )4sin152 t频 谱 图 - 将 傅 里 叶 级 数 展 开 式 中 的 恒 定 分 量 和 各 次 谐 波 的幅 值 ， 用 相 应 长 度 的 谱 线 表 示 ， 各 谱 线 在

7、横 坐 标上 的 位 置 是 相 应 谐 波 的 角 频 率 。0 2 42Um 34Um 154Umu/V 全 波 整 流 波 形 的 幅 度 频 谱 图t2uUm0 （ d） 全 波 整 流 波 形 二 、 非 正 弦 周 期 量 的 有 效 值 和 平 均 值任 一 周 期 电 流 i 的 有 效 值 I 已 经 定 义 为 T dtiTI 0 21设 一 非 正 弦 周 期 电 流 i 已 经 展 开 为 傅 里 叶 级 数 10 )sin(k kkm tkIIi 则 ， 电 流 i 的 有 效 值 I 为 T k kkm dttkIITI 0 210 )sin(1 上 式 根 号 内

8、 的 积 分 展 开 后 将 含 有 下 列 各 项 ：200 201 IdtIT T 220 22 21)(sin1 kkmT kkm IIdttkIT 0)sin(21 0 0 T kkm dttkIIT 0)sin()sin(21 0 T qqmkkm dttqItkIT )( qk 其 中 ： 3,2,1k 3,2,1q 得 非 正 弦 周 期 电 流 i 的 有 效 值 I 为 1 220222120 k kIIIIII 同 理 可 得 非 正 弦 周 期 电 压 u 的 有 效 值 U 为 1 220222120 k kUUUUUU 分 别 是 基 波 、 二 次 谐 波 等 各

9、次 谐 波 的 有 效 值 电 流 。式 中 ： ,2,2 2211 mm IIII 分 别 是 基 波 、 二 次 谐 波 等 各 次 谐 波 的 有 效 值 电 压式 中 ： ,2,2 2211 mm UUUU 非 正 弦 周 期 电 压 u 的 平 均 值 定 义 为T dtuT 01def0U非 正 弦 周 期 电 流 i 的 平 均 值 定 义 为T dtiT 01def0I注 ： 在 一 些 教 材 中 ， 非 正 弦 周 期 电 流 i 和 电 压 u 的 平 均值 分 别 定 义 为 T dtuT 01defavUT dtiT 01defavI ， 三 、 非 正 弦 周 期

10、电 流 电 路 的 平 均 功 率非 正 弦 周 期 电 路 的 平 均 功 率 （ 有 功 功 率 ） ， 仍 定 义 为 TT uidtTpdtTP 00 11设 非 正 弦 周 期 电 压 和 非 正 弦 周 期 电 流 为 10 )sin(k ukkm tkUUu 10 )sin(k ikkm tkIIi 记 ikukk （ 第 k 次 谐 波 电 压 与 电 流 的 相 位 差 ） +u i 则 ， 非 正 弦 周 期 电 路 的 平 均 功 率 或 有 功 功 率 为 TT uidtTpdtTP 00 11 100 cosk kkkIUIU 210 PPP 10 k kPP可 见

11、， 非 正 弦 周 期 电 流 电 路 的 平 均 功 率 （ 有 功 功 率 ）等 于 恒 定 分 量 和 各 次 谐 波 分 量 的 平 均 功 率 之 和 。 四 、 非 正 弦 周 期 电 路 的 分 析 法非 正 弦 周 期 电 流 电 路 的 分 析 方 法 是 基 于 正 弦 交 流 电 路 的相 量 分 析 法 和 叠 加 定 理 ， 称 为 谐 波 分 析 法 。（ 1） 运 用 傅 里 叶 级 数 将 给 定 的 非 正 弦 周 期 电 流 或 电 压展 开 为 直 流 分 量 和 各 次 谐 波 分 量 。（ 2） 应 用 相 量 分 析 法 分 别 计 算 直 流 分

12、量 及 各 次 谐 波 分量 单 独 作 用 时 的 响 应 ；（ 3） 应 用 叠 加 定 理 将 直 流 分 量 及 各 次 谐 波 分 量 的 响 应在 时 域 叠 加 ， 得 到 用 时 间 函 数 表 示 的 总 响 应 。2.分 析 时 应 注 意 到 以 下 几 点（ 1） 电 感 和 电 容 元 件 对 不 同 频 率 的 谐 波 分 量 呈 现 出 不 同 的 感 抗 和 容 抗 值 。1.分 析 步 骤 （ 2） 对 直 流 分 量 ， 电 感 看 作 短 路 ， 电 容 看 作 开 路 。（ 3） 总 响 应 是 各 次 谐 波 响 应 在 时 域 中 的 叠 加 。 不

13、 同 次 谐波 分 量 的 相 量 叠 加 是 没 有 意 义 的 ， 即 不 同 频 率 正 弦 量 的 叠 加只 能 用 三 角 函 数 式 或 波 形 图 ， 不 能 用 相 量 叠 加 。CkxCk 1LkxLk ；（ 4） 不 同 频 率 的 电 压 和 电 流 不 构 成 平 均 功 率 。 210 PPPP 22211100 coscos IUIUIU21 , 是 各 次 谐 波 分 量 的 电 压 与 电 流 的 相 位 差 其 中 ， k = 1， 2， 3 例 题 将 一 电 感 L 为 H的 电 感 线 圈 接 到 矩 形 波电 源 电 压 上 ， 电 源 电 压 的 幅

14、 值 为 10V， 基 波 频 率 为 10Hz， 试 求电 路 中 电 流 的 有 效 值 。 )21( )5sin513sin31(sin4 tttUu m 解 ： 矩 形 波 电 压 的 傅 立 叶 级 数 展 开 式 为基 波 的 角 频 率 为 202 f Hz则 ， 矩 形 波 电 源 电 压 的 表 示 式 可 写 成 )100sin5160sin3120(sin40 tttu 基 波 感 抗 1021201 LxL三 次 谐 波 感 抗 302120333 LxL五 次 谐 波 感 抗 502120555 LxL基 波 电 压 有 效 值 V92401 U三 次 谐 波 电 压

15、 有 效 值 V3312403 U五 次 谐 波 电 压 有 效 值 V8.1512405 U 电 流 总 有 效 值 为 252321 IIII 252321 III A91.0036.01.09.0 222 A9.0109111 LxUI基 波 电 流 有 效 值 A1.0303333 LxUI三 次 谐 波 电 流 有 效 值 A036.0508.1555 LxUI五 次 谐 波 电 流 有 效 值 A909.0109111 jjxUI L A901.0303333 jjxUI L A90036.0508.1 555 jjxUI L 各 次 谐 波 电 流 相 量 为各 次 谐 波 瞬 时 电 流 的 表 示 式 为 )90sin(2 11 tIi )9020sin(29.0 tA)20cos(29.0 t )903sin(2 33 tIi )9060sin(21.0 t A)60cos(21.0 t )905sin(2 55 tIi )90100sin(2036.0 t A)100cos(2036.0 t总 瞬 时 电 流 的 表 示 式 为 531 iiii )20cos(9.02 t )60cos(1.0 t A)100cos(036.0 t