隐函数和参数方程所确定的函数的导数

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1、二 、 由 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 导 数 隐 函 数 和 由 参 数 方 程 所确 定 的 函 数 的 导 数 1. 定 义注 1 所 确 定是 由若 0),()()( yxFDxxyy ；则 )(0)(, DxxyxF 隐 函 数 ， 中可 由若 隐 函 数 0),()()( yxFDxxyy .1 3 xy可 显 化 ：如 ： 若 由 方 程 0),( yxF 可 确 定 y 是 x 的 函 数 ,函 数 y 为 由 此 方 程 所 确 定 的 隐 函 数 .则 称2 013 yx方 程 确 定 了 一 个 隐 函 数 ： y = y(x)解 出 ， 则 称 此 隐

2、函 数 可 显 化 ； .甚 至 不 能 显 化有 些 隐 函 数 不 易 显 化 ，3 .,013 yyx 求问 题 : 隐 函 数 不 易 显 化 或 不 能 显 化 如 何 求 导 ?3 1 xy 此 方 程 确 定 的 函 数 ： )1()1(31)1( 3231 xxxy .)1(31 32 x解 (方 法 1)(方 法 2) ).(xyy此 方 程 确 定 的 隐 函 数 ： 01)(3 xyx令)(xh 0)( xh另 一 方 面 ， )(xh 0)(1 3 xy )()(31 2 xyxy )( xyu 想0)()(31 2 xyxy .)1(31)(3 1)( 322 xxy

3、xy从 而一 方 面 ， 1)( 3 xyx 隐 函 数 求 导 方 法 : 0),( yxF 0),(dd yxFx两 边 对 x 求 导( 含 导 数 y 的 方 程 )用 复 合 函 数 求 导 法 则 ， 直 接 对 方 程 两 边 求 导 ，)( 隐 函 数的 函 数 视 为将 方 程 中 的xy xy .dddd 0 xxyxy 及解 xe 解 得 .eedd yxx yxy ,0, 0 yx 时0dd xxy .1求 由 方 程 0ee xyyx 所 确 定 的 隐 函 数 y的 导 数 方 程 两 边 对 x 求 导 ,由 原 方 程 知ye xydd )dd( xyxy ，0

4、00ee yxyxx y 先 在 方 程 两 边 取 对 数 , 然 后 利 用 隐 函数 的 求 导 方 法 求 出 导 数 .(1) 方 法 ).)(0)()( 可 导且设 xfxfxfy 不 易 求 导)(lnln xfy 易 求 导)(xh令xxhxy d )(dd )d(ln xyd )d(ln xyyy ddd )d(ln yy 1),(1 xhyy ).(xhyy .:)1 的 情 形幂 指 函 数 )()( xvxuy uvy lnln yy 1 uv ln )ln( uvuuvuy v vuuv ln uuv v 1按 指 数 函 数 求 导 公 式 按 幂 函 数 求 导

5、公 式注 意 : ,uvu取 对 数 得两 边 求 导 ： )0(sin xxy x 的 导 数 . 解 xxy lnsinln 两 边 对 x 求 导yy 1 xx lncos xxsin )sinlncos(sin xxxxxy x 求 幂 指 函 数 导 数用 对 数 求 导 法(方 法 1) 对 数 求 导 法两 边 取 对 数 , 化 为 隐 式 方 程 ： 复 合 函 数 求 导 法xxey lnsin )( sinxx )(e lnsin xx )ln(sin)(e lnsin xxxxxxsin )1sinln(cos xxxx 注 )( sin xx 1sin)(sin xx

6、x )( xx 1 xxx ? 为 常 数 ）（ () 1 xx .,)(0)(,)(ln yxfxfxfy 求可 导且其 中设解 0)(),(ln 0)(),(ln)(ln xfxf xfxfxfy )( )(xf xf(ln ( )y f x ( ) ( ( ) 0)( )f x f xf x 时 ，当 0)( xf )( )(xf xfy 时 ，当 0)( xf )()( 1 xfxfy xxy 1)(ln )0( x :)2 方多 个 函 数 乘 积 、 商 、 开k mn xgxg xfxfy )()( )()(11 .)4)(3( )2)(1( yxx xxy ， 求设 21ln

7、y 2ln1ln xx 4ln3ln xx两 边 对 x 求 导 ： 21yy 11x 21x 31 x 41 x)4)(3( )2)(1(21 xx xxy 41312111 xxxx uuu )ln( 间 的 函 数 关 系 ，与确 定若 参 数 方 程 xyty tx )( )(例 如 ， ,22ty tx 2xt 22 )2(xty 42x .21 xy 故 消 去 参 数问 题 : 消 去 参 数 困 难 或 无 法 消 去 参 数 时 ， 如 何 求 导 数 ? t .程 所 确 定 的 函 数则 称 此 函 数 为 由 参 数 方 (参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 求

8、 导 公 式 ),(1 xt ),(tx 再 设 函 数某 个 区 间 上 具 有中 ， 设在 )()( )( txty tx ，)( 1 xy 且都 可 导 ,)(ty 则 由 参 数 方 程 所单 调 且 连 续 的 反 函 数 且 能 构 成 复 合确 定 的 函 数 )( 1 xy 可 导 ，,0)( txydd xtty dddd .)( )(tttxty dd1dd 函 数 ： 且 定 点 的 轨 迹 称 为 摆 线 ,计 算 由 摆 线 的 参 数 方 程 : ),sin( ttax )cos1( tay 所 确 定 的 函 数 y = y (x) 的 导 数 .ddxyxydd

9、 xtty dddd 解 )sin( )cos1( tta ta )cos1( sin ta ta txtydddd Z).,2( 2cot kktt 摆 线 简 介 ： ( sin )x a t t (1 cos )y a t cos( )2at x a t sin( )2y a a t 即半 径 为 a 的 圆 周 沿 直 线 无 滑 动 地 滚 动 时 ,M 的 轨 迹 即 为 摆 线 . 其 上 定 点 解 (0) 0 (0) 1 0,ye y (0) 1.y , 求 01sin 23 2yte ttxy .dd 0txy设 ， 得令 0t txddyetydd方 程 组 两 边 同

10、时 对 t 求 导 , 得26 ttydd tsin 0dd tyteycoste te yy sin1 cos 0dd txy tydd ，te te yy sin1 costxtydddd 0)26)(sin1( cos ty y tte te .2e0ttxdd ，26 t 1)0(0 yyt (0)2ye 直 接 对 方 程 两 边 求 导2. 对 数 求 导 法 : 适 用 于 幂 指 函 数 及 某 些 用 连 乘 ,连 除 ,乘 方 ,开 方 表 示 的 函 数3. 参 数 方 程 求 导 法 极 坐 标 方 程 求 导转 化1. 隐 函 数 求 导 法 则 解 .0dd0sin

11、 xx xyxy yeyxx 处 的 导 数在隐 函 数 所 确 定 的求 由 方 程 求 导 ：方 程 两 边 对 x ,ddd )sin(dsin xyex yxxyx x 于 是 .cos1 cossindd yxx eyxxyxxy x ,dd)cos(sin xyeyxxyx x x yxd )d( )dd1( x ，0 x，得 1y 0 x所 以 把 式 ， 得代 入与 )1(1y 。11sindd 0 xxy )1(cos1 cossindd yxx eyxxyxxy x 中 ， 令在 原 方 程 yeyxx x sin 1916 22 yx 在 点 )3,2( 23 处 的 切

12、 线 方 程 .解 椭 圆 方 程 两 边 对 x 求 导8x yy 92 0 43故 切 线 方 程 为 323y 43 )2( x即 03843 yxy 2 323xy yx169 2 323xy 032 75 xxyy)(xyy 在 x = 0 处 的 导 数 .0dd xxy解 方 程 两 边 对 x 求 导 )32(dd 75 xxyyx得 xyy dd5 4 xydd2 1 621x 025 211dd 4 6 y xxy由 原 方 程 得 x = 0 时 y = 0 , 故 210dd xxy0 确 定 的例 3-3 求 由 方 程隐 函 数 求 其 反 函 数 的 导 数 .,xexy 解 xydd yxdd(方 法 1) xe1xydd1 xe1 1(方 法 2) 等 式 两 边 同 时 对 求 导y1 yxdd xe yxdd yxdd xe1 1设 设解 142)1(3 111)4( 1)1( 23 xxxex xxy x等 式 两 边 取 对 数 得1lnln xy上 式 两 边 对 求 导 得x11 xyy ,)4( 1)1( 23 xex xxy .y求1ln31 x 4ln2 x x)1(3 1 x 142 x