隐函数和参数式函数的求导法

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1、一 、 隐 函 数 的 求 导 法三 、 参 数 式 函 数 的 求 导 法函 数 的 求 导 法 定 义 由 二 元 方 程)(xfy 0),( yxF )(xfy 1. 隐 函 数 的 定 义)(xyy 所 确 定 的 函 数0),( yxF称 为 隐 函 数 (implicit function).的 形 式 称 为 显 函 数 .隐 函 数 的013 yx 可 确 定 显 函 数 ;13 xy 例 ),10(sin yxy开 普 勒 方 程 开 普 勒 (J.Kepler)1571-1630德 国 数 学 家 ,天 文 学 家 . xy关 于的 隐 函 数 客 观 存 在 ,但 无 法

2、 将 y x表 达 成 的 显 式表 达 式 . 显 化 .一 、 隐 函 数 的 求 导 法 2. 隐 函 数 求 导 法隐 函 数 求 导 法 则 用 复 合 函 数 求 导 法 则 ,并 注 意 到 其 中 将 方 程 两 边 对 x求 导 .变 量 y是 x的 函 数 .隐 函 数 不 易 显 化 或 不 能 显 化 如 何 求 导 例解 0 yx eexy设 想 把 ., 00 x yxyyy eexy的 导 数 所 确 定 的 隐 函 数求 由 方 程 则 得 恒 等 式代 入 方 程 , )(xyy 所 确 定 的 函 数0)( )( xyx eexxy将 此 恒 等 式 两 边

3、 同 时 对 x求 导 ,得 xxy)( xxe )( xye )( )0( 因 为 y是 x的 函 数 , 是 x的 复 合 函 数 ,所 以 ye求 导 时 要 用 复 合 函 数 求 导 法 ,y yx xe ye y 0 .1 0,0 yx 000 yxyxx ex yey 虽 然 隐 函 数 没 解 出 来 ,但 它 的 导 数 求 出 来了 ,当 然 结 果 中 仍 含 有 变 量 y.允 许 在 的 表 达 式 中 含 有 变 量 y.y 一 般 来 说 ,隐 函 数求 导 , 求 隐 函 数 的 导 数 时 ,只 要 记 住 x是 自 变 量 ,将 方 程 两 边 同 时 对

4、x求 导 ,就 得 到 一 个 含 有 导 数从 中 解 出 即 可 .于 是 y的 函 数 便 是 x的 复 合 函 数 ,的 方 程 .y是 x的 函 数 ,y 例解 ,0sin yxey设 .xy求法 一 利 用 隐 函 数 求 导 法 .将 恒 等 式 两 边 对 x求 导 ,得ycos xy ye1 yex xy 0yyx xeyey cos解 出 ,xy 得法 二 从 原 方 程 中 解 出 ,x 得 ye yx sin ye y sin yee yx yy sinsin 先 求 x对 y的 导 数 ,得yx )sin(cos yye y ye yy sincos 再 利 用 反

5、函 数 求 导 法 则 ,得yx xy 1 yyxeye cos cossin)1( yeye yy 例 . ,23,23 ,333线 通 过 原 点 在 该 点 的 法并 证 明 曲 线的 切 线 方 程点 上求 过的 方 程 为设 曲 线 C CxyyxC 解 ,求 导方 程 两 边 对 x 23xxy xyy 2 2 .1切 线 方 程 )23(23 xy .03 yx即 2323 xy ,xy 即 23y y3 yx 3y法 线 方 程 通 过 原 点 . 23,23 23,23 利 用 隐 函 数 求 导 法 来 证 明 曲 线 族 的 正 交 问 题 .如 果 两 条 曲 线 在

6、它 们 的 交 点 处 的 切 线 互 相 垂 直 ,正 交 轨 线 .称 这 两 条 曲 线 是 正 交 的 .如 果 一 个 曲 线 族 中 的 每 条 曲 线 与 另 一 个 曲 线 族中 的 所 有 与 它 相 交 的 曲 线 均 正 交 , 称 这是 正 交 的 两 个 曲 线 族或 互 为正 交 曲 线 族 在 很 多 物 理 现 象 中 出 现 ,例 如 ,静 电 场 中 的 电 力 线 与 等 电 位 线 正 交 ,热 力 学 中 的等 温 线 与 热 流 线 正 交 , 等 等 . ).()2,2( 2282 222 正 交处 垂 直 相 交在 点 与 曲 线试 证 曲 线

7、yxyx 证 :82 22 求 导 得两 边 关 于对 xyx ,042 yyx )2,2(y :22 2 求 导 得两 边 关 于再 对 xyx ,222 yx )2,2(y 即 证 .两 条 曲 线 在 该 点 的 现 只 须 证 明切 线 斜 率 互 为 负 倒 数 .21.2 ,)2,2( 是 两 曲 线 的 交 点易 验 证 点 .)()2( )(xvxu幂 指 函 数作 为 隐 函 数 求 导 法 的 一 个 简 单 应 用 , 介 绍(1) 许 多 因 子 相 乘 除 、 乘 方 、 开 方 的 函 数 .,)4( 1)1( 23 xex xxy 如对 数 求 导 法 ,它 可

8、以 利 用 对 数 性 质 使 某 些 函 数 的求 导 变 得 更 为 简 单 . .sin xxy 适用于方 法 先 在 方 程 两 边 取 对 数 , -对 数 求 导 法 然 后 利 用 隐 函 数 的求 导 法 求 出 导 数 .二 、 对 数 求 导 法 例解 yln 求 导 得上 式 两 边 对 xy1 .,)4( 1)1( 23 yex xxy x 求设 142)1(3 111 xxxy等 式 两 边 取 对 数 得 142)1(3 111)4( 1)1( 23 xxxex xxy x)1ln( x x)1ln(31 x )4ln(2 x 隐 函 数 )(xu )( )()()

9、(ln)()()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv )(ln)()(ln xuxvxf 两 边 对 x求 导 得)(xf :幂 指 函 数 )(xf )(xv )0)( xu等 式 两 边 取 对 数 得 )( )()( xu xuxv )(xf )(ln)( xuxv 例解 .),0(sin yxxy x 求设 xxy lnsinln 求 导 得上 式 两 边 对 x xxxxyy 1sinlncos1 )1sinln(cos xxxxyy )sinln(cossin xxxxx x 等 式 两 边 取 对 数 得 注 复 合 函 数 )0)()( )( xuxuy xv 改 写

10、 成 )(ln)( xuxvey .),0(sin yxxy x 求如 上 例 ),0( sin xxy x将 则xxey lnsin xx ln(cos )sinxx只 要 将 ,lnsin xxey 改 写 成幂 指 函 数 也 可 以 利 用 对 数 性 质 化 为 :再 求 导 , 有 些 显 函 数 用 对 数 求 导 法 很 方 便 .例 如 , )1,0,0( babaaxxbbay bax两 边 取 对 数yln两 边 对 x求 导yy baln xa xbxabaaxxbbay bax lnbaxln lnln xba lnln axb xb .,1.1 2sin yxxy

11、x 求设解 答 求 导 得上 式 两 边 对 x )1ln(lnln 2sin xxy x )1ln(lnsin 2xxx 21 2sinlncos xxxxxxyy )1 2sinln(cos 2xxxxxxyy 等 式 两 边 取 对 数 .,.2 yyx xy 求设解 答 ,lnln yxxy ,lnln yyxyxyxy .lnln 22xxxy yyxyy .3 yxy x ， 求设 三 、 参 数 式 函 数 的 求 导 法 . ,)( )( 定 的 函 数称 此 为 由 参 数 方 程 所 确 间 的 函 数 关 系与确 定若 参 数 方 程 xyty tx 例 如 ,22ty

12、tx 2xt 22 )2(xty 42x xy 21 消 去 参 数问 题 : 消 参 困 难 或 无 法 消 参 如 何 求 导 ? t ,)(),( 都 可 导再 设 函 数 tytx xydd tydd )( )(tt txtyxy dddddd 即,)( )( 中在 方 程 ty tx 具 有设 函 数 )(tx 所 以 ,tydd xtdd ),(1 xt 单 调 连 续 的 反 函 数由 复 合 函 数 及 反 函 数 的 求 导 法 则 得txdd1 ,0)( t且y )(1 x 例解 txtyxy dddddd ttcos1 sintaa ta cossin 2cos1 2si

13、ndd 2 txy .1.方 程 处 的 切 线在求 摆 线 2)cos1( )sin( ttay ttax ,2 时当 t 所 求 切 线 方 程 为 )12( axay )22( axy即 )cos1( )sin( tay ttax),12( ax .ay 设 由 方 程 )10(1sin 22 2 yyt ttx确 定 函 数 ,)(xyy 求 .ddxy方 程 组 两 边 对 t 求 导 ,得故 xydd )cos1)(1( yt t txdd t2 ytcos1 222 t ycos tydd 0例解 txddtxddtydd tydd tydd )1(2 t 若 曲 线 由 极 坐

14、 标 方 程 )(rr 给 出 ,利 用可 化 为 极 角 参 数 方 程 ,因 此 曲 线y sin)( r cos)(r cos)(rddy ddx )(rr 切 线 的 斜 率 为 o AM r,cos)( rx sin)(ry sin)(r 例 .42sin 处 的 法 线 方 程在求 曲 线 ar解 将 曲 线 的 极 坐 标 方 程 转 换 成 cos)(rx cos2sina sin)(ry sin2sina )( 为 参 数则 曲 线 的 切 线 斜 率 为xydd cos2sinsin2cos2 aa 1所 以 法 线 斜 率 为 又 切 点 为 4 4 ,224 ax ay

15、 224 sin2sincos2cos2 aa 故 法 线 方 程 为 axay 2222 即 0 yx ,1 参 数 方 程 这 种 将 极 坐 标 方 程 化 为 参 数 方 程 ,借 助参 数 方 程 处 理 问 题 的 方 法 ,在 高 等 数 学 中 将多 次 遇 到 . )(,)( tyytxx 为 两 可 导 函 数yx , 之 间 有 联 系 tytx dd,dd 之 间 也 有 联 系 称 为相 关 变 化 率 解 法 三 步 骤找 出 相 关 变 量 的 关 系 式对 t 求 导相 关 变 化 率求 出 未 知 的 相 关 变 化 率四 、 相 关 变 化 率 相 关 变

16、化 率0),( yxFtytx dddd 和 之 间 的 关 系 式 代 入 指 定 时 刻 的 变 量 值 及 已 知 变 化 率 ,(1)(2)(3) 例解 ,秒 后设 气 球 上 升 t500tan h 求 导 得两 边 对 t 2sec 0),( hF (1)(2) ? ,500./140 ,500多 少员 视 线 的 仰 角 增 加 率 是 观 察米 时当 气 球 高 度 为秒米其 速 率 为 米 处 离 地 面 铅 直 上 升一 气 球 从 离 开 观 察 员 ),(th其 高 度 为 则的 仰 角 为观 察 员 视 线 ),(t tdd 5001 thdd,/140dd 秒米th

17、 tdd 仰 角 增 加 率(3) 2sec2 140500121 )/(14.0 分弧 度 h 500,1tan,500 时当 h 22 tan1sec 例解 ,21sin ,cos, ,200 0gttvy tvx v 其 运 动 方 程 为发 射 炮 弹 发 射 角以 初 速 度不 计 空 气 的 阻 力 ,0时 刻 的 切 线 方 向轨 迹 在 t ;)1( 0的 运 动 方 向炮 弹 在 时 刻求 t .)2( 0的 速 度 大 小炮 弹 在 时 刻 t可 由 切 线 的 斜 率 来 反 映 .即 xyO 0v时 刻 的 运 动 方 向在 0)1( t xydd cossin00 v

18、 gtv ,21sin ,cos 200 gttvy tvx .cossin0 00 v gtv t ttv gttv )cos( )21sin( 0 20 xydd 0tt 轴 方 向 的 分 速 度 为时 刻 沿炮 弹 在 yxt ,)2( 0 0dd ttx txv 0dd tty tyv 00 sin gtv 时 刻 炮 弹 的 速 度 为在 0t 22 yx vvv 2020020 sin2 tggtvv ,21sin ,cos 200 gttvy tvx cos0v0)cos( 0 tttv 0)21sin( 20 ttgttv xyO 0v v xvyv ).( ,10, 100

19、假 定 气 体 压 力 不 变加 的 速 率 气 球 半 径 增厘 米 时求 在 半 径 为的 气 球 的 速 率 注 入 球 状秒立 方 厘 米设 气 体 以设 自 开 始 充 气 以 来 的 时 间 t,334)1( rV ,)2( 求 导两 边 对 t 秒立 方 厘 米100dd)3( tV解 体 积 为 在 t时 刻 气 体 的半 径 为 trrtV dd334dd 2得),(tVV ),(trr )(41 秒厘 米trdd 10r 小 结隐 函 数 求 导 法 则 工 具 :复 合 函 数 链 导 法 则 ;对 数 求 导 法对 方 程 两 边 取 对 数 ,按 隐 函 数 的 求

20、导 法 则 求 导 .参 数 方 程 求 导注 意 :变 量 y是 x的 函 数 .将 方 程 两 边 对 x求 导 .工 具 :复 合 函 数 链 导 法 则 、 反 函 数 的 求 导 法 则 .相 关 变 化 率 通 过 函 数 关 系 确 定 两 个 变 化 率 之 间 的解 法 : 三 个 步 骤 .关 系 ,从 其 中 一 个 变 化 率 (已 知 )求 出 一 个 变 化 率 ; 一 般 地 )0)()()( )( xuxuxf xv )( )()()(ln)()()( )( xu xuxvxuxvxuxf xv )(ln)()(ln xuxvxf 1.对 数 求 导 法可 得2

21、.写 为 指 数 形 式 )(ln)()()()( xuxvxv exuxf 按 复 合 函 数 求 导 法 则 求 导 思 考 题 (是 非 题 )正 确 解 答 试 问 )ln()ln()()( 2ln xxxxxxex xxxx xxxxxx )ln2( xxxx xx 对 吗 ?非 )( xxx ln)ln( 1 xxx xxxxxx x ln)ln1( 1 xxx xxxxx x ln)( 1 xxx xxxx x ln)( 1ln xxxx xxex x )ln( xxx xxx)( ln xxxe ,)( )( 二 阶 可 导若 函 数 ty tx xyxxy dddddd 22

22、 )( )(dd ttt )(1)( )()()()( 2 tt tttt .)( )()()()(dd 322 t ttttxy 即 xtdd 如 : 33ddxy注 求 二 阶 导 数 不 必 死 套 公 式 ,只 要 理 解 其 含 义 ,这 样 对 求 更 高 阶 的 导 数 也 容 易 处 理 . 22dddd xyx txydddd 22 dtxtxyddddd 22 xtdd 例解 .sincos33 表 示 的 函 数 的 二 阶 导 数求 由 方 程 tay taxtxtyxy dddddd )sin(cos3 cossin3 2 2 tta tta ttan)dd(dddd 22 xyxxy )cos( )tan( 3 ta t tta tsincos3 sec22 ta tsin3sec4