空间直线及其方程

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1、第六节 空间直线及其方程 x yzo 1 2定 义 空 间 直 线 可 看 成 两 平 面 的 交 线 0: 11111 DzCyBxA 0: 22222 DzCyBxA 002222 1111 DzCyBxA DzCyBxA空 间 直 线 的 一 般 方 程 L一、空间直线的一般方程 x yzo方 向 向 量 的 定 义 ： 如 果 一 非 零 向 量 平 行 于一 条 已 知 直 线 ， 这 个 向 量 称为 这 条 直 线 的 方 向 向 量 s L),( 0000 zyxM 0M M,LM ),( zyxM sMM 0 /, pnms , 0000 zzyyxxMM 二、空间直线的对称

2、式方程与参数方程 pzznyymxx 000 直 线 的 对 称 式 方 程tpzznyymxx 000令直线的一组方 向 数方向向量的余弦称为直线的方 向 余 弦 .说 明 : 某 些 分 母 为 零 时 , 其 分 子 也 理 解 为 零 . 00yy xx 直 线 方 程 为例 如 , 当 ,0,0 时 pnm 3. 参 数 式 方 程设得 参 数 式 方 程 : tpzznyymxx 000 tmxx 0 tnyy 0 tpzz 0 例 1.用 对 称 式 及 参 数 式 表 示 直 线解 :先 在 直 线 上 找 一 点 . 0432 01 zyx zyx 63 2 zy zy再 求

3、 直 线 的 方 向 向 量 2,0 zy令 x = 1, 解 方 程 组 ,得交 已 知 直 线 的 两 平 面 的 法 向 量 为是 直 线 上 一 点 .)2,0,1( 故 .s,)1,1,1(1 n )3,1,2(2 n21 ns,ns 21 nns 故 所 给 直 线 的 对 称 式 方 程 为参 数 式 方 程 为 tz ty tx 32 41 t41x 1 y 32 z解 题 思 路 : 先 找 直 线 上 一 点 ;再 找 直 线 的 方 向 向 量 . )3,1,4( 21 nns 312 111 kji 例 2 一直线过点)4,3,2( A，且和y轴垂直相交，求其方程.解

4、因为直线和y轴垂直相交, 所以交点为),0,3,0( B取BAs ),4,0,2(所求直线方程.440 32 2 zyx，则，、若2122221111 ),(),( MMLzyxMzyxM :L 12 112 112 1 zz zzyy yyxx xx 两 点 式方程。注 ： 例 3求过)3,1,2(M且与L: 12131 zyx垂直相交的直线方程. 解先作过点M且与已知直线 L 垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点N,，由 tz ty tx 12 13 LM N代入平面方程，得,73t交点)73,713,72( N取方向向量MN )373,1713,272(

5、 ),4,1,2(76 所求直线方程为.43112 2 zyx 另 解 : 1213 1: )3,1,2( 垂直的平面且与已知直线先做过点zyxL M LM )0,1,1(0 LM L)1,2,3()3,0,3(/ 0 sMMn s所求直线： 0)3()1(2)2(3 zyx 0)3()1(2)2( zyx）（1,2,16 再求过M与L的：0)3()1(2)2(: zyx .0)3()1(2)2(3 zyx :1L :2L 222222212121 21212121 |),cos( pnmpnm ppnnmmLL 两 直 线 的 方 向 向 量 的 夹 角 （ 锐 角 ） 称 为 两 直 线

6、的 夹 角 .两 直 线 的 夹 角 公 式 。三 、 两 直 线 的 夹 角两 直 线 的 位 置 关 系 ：21)1( LL ,0212121 ppnnmm21)2( LL / ,212121 ppnnmm ,1 11 11 1 pzzn yymxx ,2 22 22 2 pzzn yymxx 例 3 求过点)5,2,3(且与两平面34 zx和152 zyx 的交线平行的直线方程.解设所求直线的方向向量为, pnms 根据题意知,1ns ,2ns 取21 nns ,1,3,4 .15324 3 zyx所求直线的方程 当 直 线 与 平 面 垂 直 时 ,规 定 其 夹 角线 所 夹 锐 角

7、 称 为 直 线 与 平 面 间 的 夹 角 ; L2. 直 线 与 平 面 的 夹 角当 直 线 与 平 面 不 垂 直 时 ,设 直 线 L 的 方 向 向 量 为 平 面 的 法 向 量 为则 直 线 与 平 面 夹 角 满 足 .2 222222 CBApnm pCnBmA 直 线 和 它 在 平 面 上 的 投 影 直),( pnms ),( CBAn),cos(sin ns ns ns sn 特 别 有 :L)1( /)2( L 0 pCnBmA pCnBmA ns/ns解 : 取 已 知 平 面 的 法 向 量 421 zyx则 直 线 的 对 称 式 方 程 为 0432 zy

8、x直 的 直 线 方 程 . 为 所 求 直 线 的 方 向 向 量 . 132 垂 )1,3,2( n n例 3. 求 过 点 (1, 2 , 4) 且 与 平 面 *例 4 设直线:L 21121 zyx，平面: 32 zyx，求直线与平面的夹角. 解 ),2,1,1( n ),2,1,2( s 222222 |sin pnmCBA CpBnAm 96 |22)1()1(21| .637637arcsin 为所求夹角 四 、 平 面 束 介 绍设 直 线 L的 方 程 为 1 1 1 12 2 2 2 0,0A x B y C z DA x B y C z D 其 中 系 数 1A 1B

9、1C、 、 与 、 、 不 成 比 例 .2A 2B 2C 1 1 1 1 2 2 2 2 0A x B y C z D A x B y C z D 表 示 通 过 直 线 的 平 面 束 (通 过 直 线 的 平 面 的 全 体 ),L是 任 意 常 数 . 其 中 方 程方程称为通过直线L的平面束方程。可知方程是通过直线L的. 对于不同的,方程表示通过直线L的不同平面.反之,凡是通过直线L的平面必定在方程中。 例 4.求 直 线解 :过 直 线 1 0,4 0 x y zx y z 该 平 面 与 平 面 在 平 面 0 x y z 上 的 投 影 直 线 方 程 . 1 0,4 0 x

10、y zx y z 的 平 面 束 方 程 为 1 4 0 (1)x y z x y z 即 (1 ) (1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0 x y z 0 x y z 垂 直 的 条 件 是 ,n n 即 (1 ) 1 (1 ) 1 ( 1 ) 1 0 1. 解 出 得 代 入 (1)得 故 所 求 投 影 直 线 方 程 为 1 0,0.y zx y z 2 2 2 0 1 0y z y z 例9 求过两个平面x+2y-z+1=0与2x-3y+z=0的交线且过点(1,2,3)的平面方程)4(0)32()12( zyxzyx 解 设直线L通过平面方程 01277)32(3)12( zyxzyx

11、zyxx+2y-z+1=0与2x-3y+z=0的交线且过点(1,2,3)把点M(1,2,3)的坐标代入方程(4)我们得到3-=0,我们取=1, 则=3.代入方程(4)得到(1 2 2 3 1) (2 3 2 3) 0 3 0 1. 空 间 直 线 方 程一 般 式对 称 式参 数 式 002222 1111 DzCyBxA DzCyBxA tpzz tnyy tmxx 000 pzznyymxx 000 )0( 222 pnm 内 容 小 结 ,1 11 11 11 p zzn yymxxL ：直 线 0212121 ppnnmm ,2 22 22 22 p zzn yymxxL ： 2121

12、21 ppnnmm 2. 线 与 线 的 关 系直 线夹 角 公 式 : ),( 1111 pnms ),( 2222 pnms 021 ss21 LL 21/LL 021 ss 21 21cos ss ss ,0 DzCyBxA CpBnAm 平 面 :L L / 夹 角 公 式 ： 0 CpBnAmsin ,pzzn yymxx 3. 面 与 线 间 的 关 系直 线 L : ),( CBAn ),( pnms 0ns 0ns ns ns L 1 1 1 1 2 2 2 2 0A x B y C z D A x B y C z D 4.平 面 束不 含 平 面 2 2 2 2 0A x B y C z D