常数项级数的概念和基本性质

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1、无 穷 级 数无 穷 级 数 是 研 究 函 数 的 工 具 表 示 函 数研 究 函 数 性 质数 值 计 算数 项 级 数幂 级 数付 氏 级 数第 九 章 无 穷 级 数 第 一 节 常 数 项 级 数 的 概 念 与 基本 性 质一 、 级 数 的 概 念二 、 级 数 的 基 本 性 质三 、 级 数 收 敛 的 必 要 条 件 一 尺 之 椎 ， 日 取 其 半 ， 永 世 不 竭 . ,21 ,212 ,213 ,21n , , n21 32 212121 一 、 级 数 的 概 念1. 级 数 的 定 义 :称 为 (实 )常 数 项 无 穷 级 数 . 简 称 (实 数 项

2、)级 数 . )( Rai ,1n na记 为 .)()2( 或 通 项叫 做 级 数 的 一 般 项项第 nan 1 2 3 na a a a nn n aaaaa 3211即 1 2 3, , , , , ,na a a a (1)一 般 的 ， 如 果 给 定 一 个 数 列由 这 数 列 构 成 的 无 穷 和 式 (4) sn 称 为 级 数 的 部 分 和 数 列 .称 为 级 数 的 前 n 项 部 分 和 . 1 2 1(3) nn n iis a a a a 问 题 ： 上 述 级 数 定 义 中 的 “ 和 式 ” 只 是 形 式 上 的 ，该 如 何 理 解 无 穷 多

3、个 数 量 相 加 呢 ？ 2. 级 数 的 收 敛 与 发 散 :(1) 若 级 数 的 部 分 和 数 列 sn 有 极 限 s , ,lim ssnn 即 (有 限 数 ),1 收 敛称 级 数 n na ,为 级 数 的 和并 称 s .1 n nas记 为(2) 若 部 分 和 数 列 sn没 有 极 限 , .1 发 散称 级 数 n na nn slim常 数 项 级 数 收 敛 存 在 (不 存 在 )(发 散 ) 1 ,nn a s 若 级 数(3) 余 项 nss .11 的 余 项 级 数为 级 数称 n ni in aa )0lim( nn r 21 nn aanr显

4、然 ， 级 数 收 敛 则 其 每 个 余 项 收 敛 ； 级 数 是 以 “ 和 ” 的 形 式 出 现 的 一 个 特 殊 数 列 (部 分和 数 列 )的 极 限 ， 本 质 上 是 一 个 极 限 . ssn 讨 论 级 数 的 敛 散 性 , 可 以 先 求 sn , 再 求 . 1n na nn slim例 1 讨 论 等 比 级 数 (几 何 级 数 ) nn n aqaqaqaaq 20 )0( a 的 收 敛 性 . 发 散时当 收 敛时当 ,1| ,1|0 qqaqn n 例 1 讨 论 等 比 级 数 (几 何 级 数 ) nn n aqaqaqaaq 20 )0( a

5、的 收 敛 性 . 解 ,1时当 q ,1时当 q nasn 级 数 发 散 ;ns ,0 , 为 偶 数为 奇 数nna,lim 不 存 在nn s 级 数 发 散 ;,1| 时当 q 12 nn aqaqaqas ,1 )1( qqa n,1时当 q ,1lim qasnn ,1时当 q ,lim nn s 级 数 收 敛 ;级 数 发 散 . 综 上 发 散时当 收 敛时当 ,1| ,1|0 qqaqn n 的 收 敛 性 . )12()12( 1531311 nn例 2 判 别 无 穷 级 数解 )12)(12( 1 nnan ),12 112 1(21 nn )12()12( 153

6、1311 nnsn )12 112 1(21)5131(21)311(21 nn )12 11(21limlim ns nnn ),12 11(21 n,21 .21, 和 为级 数 收 敛技 巧 可 利 用 将 通 项 a n 拆 项 以 求 出 sn . 解 311ln nan ,ln)1ln(3 nn 333 11ln211ln2ln nsn ln)1ln(32ln3ln32ln3 nn 1 311lnn n例 3 判 别 无 穷 级 数 的 收 敛 性 . )1ln(3 n nn slim .级 数 发 散技 巧 可 利 用 对 数 运 算 性 质 求 出 sn . 1 1n n例 4

7、 证 明 调 和 级 数 发 散 . 课 本 Page 230 例 3 证 明 假 设 调 和 级 数 收 敛 于 S , 则 有0)(lim 2 nnn SS nn2nnnn 21312111 但 nn SS2矛 盾 ! 所 以 假 设 不 真 . 211 1n n故 调 和 级 数 发 散 . 解 ,2232221 32 nn ns 1 2n nn练 习 ： 判 别 无 穷 级 数 的 收 敛 性 . ,22 1222121 132 nnn nns nnn sss 2121 132 221212121 nn n ,2211 1 nn n,2212 1 nnn ns ),2212(limli

8、m 1 nnnnn ns ,2 .2, 和 为级 数 收 敛 02lim,02ln2 1lim2lim nnxxxx nx nn s lim技 巧 可 利 用 等 比 数 列 求 和 公 式 求 出 s n . 二 、 级 数 的 基 本 性 质性 质 1 级 数 1n na 与 任 一 余 项 级 数 1kn na )1( k 有 相 同 的 敛 散 性 . 证 明 nkkk aaa 21 nkkkn aaa 21 ,kkn ss knknnnn ss limlimlim则 .kss在 级 数 前 面 加 上 或 去 掉 有 限 项 不 影 响 级 数 的 敛 散 性 . 1kn na 性

9、质 2 如 果 级 数 1n na 收 敛 ,其 和 为 s,则 对 任 意 常 数 k, 级 数 1n nka 亦 收 敛 且 其 和 为 ks. 结 论 : 级 数 的 每 一 项 同 乘 一 个 非 零 常 数 ,敛 散 性 不 变 . 性 质 3 设 两 收 敛 级 数 san n 1 , 1n nb ,则 级 数 1 )(n nn ba 收 敛 ,其 和 为 s . 结 论 : 收 敛 级 数 可 以 逐 项 相 加 或 逐 项 相 减 . 思 考 :1. 若 级 数 1n na 与 1n nb 一 个 收 敛 一 个 发 散 ,级 数 1 )(n nn ba 敛 散 性 如 何 ?

10、 级 数 1 )(n nn ba 必 发 散 . 2. 若 级 数 1n na 与 1n nb 均 发 散 ,级 数 1 )(n nn ba 敛 散性 如 何 ? .)(1 可 能 收 敛 也 可 能 发 散级 数 n nn ba 注 意 收 敛 级 数 去 括 号 后 所 成 的 级 数 不 一 定 收 敛 .1 ( 1) , (1 1) (1 1)nn 例 如 加 括 号 后 的 级 数1 ( 1) 1 1 1 1nn 但 收 敛 发 散推 论 如 果 加 括 号 后 所 成 的 级 数 发 散 , 则 原 来 级数 也 发 散 .性 质 4 收 敛 级 数 任 意 加 括 号 后 所 成

11、 的 级 数 仍 然收 敛 于 原 来 的 和 . 例 1 判 断 下 列 级 数 的 敛 散 性 . ,3221)1( 1 n nn .41101)2( 1 n nn注 当 级 数 的 通 项 为 若 干 项 之 和 时 , 可 分 别 考 虑 以 其中 每 一 项 为 通 项 的 级 数 的 敛 散 性 , 再 利 用 级 数 逐 项相 加 (减 )的 性 质 . (收 敛 ) (发 散 ) 例 2 判 断 下 列 级 数 的 敛 散 性 . 141141131131121121解 考 虑 加 括 号 后 的 级 数 )141141()131131()121121( 1111 nnan 1

12、2 nnn a 2 发 散 ,从 而 原 级 数 发 散 .nn 12 1 三 、 级 数 收 敛 的 必 要 条 件如 果 级 数 1n na 收 敛 ,则 0lim nn a . 证 明 ,1 n nas设 ,1 nnn ssa则 1limlimlim nnnnnn ssa ss .0 例 若 级 数 1 )100(n na 收 敛 ,则 _lim nn a . 100 可 见 : 若 级 数 的 一 般 项 不 趋 于 0 , 则 级 数 必 发 散 . 1433221 nn例 如 级 数 发 散 .1 nnan ,1 n注 意 0lim nn a 并 非 级 数 收 敛 的 充 分 条

13、 件 .,01limlim na nnn有 nnn 13121111例 如 调 和 级 数 但 此 级 数 发 散 . 例 1 判 断 下 列 级 数 的 敛 散 性 . ;101)1( 1n n ;)1()2( 1 n nnnn ;1)1()3( 1 2 n n nn(三 个 级 数 均 发 散 )注 ,lim 来 判 断 收 敛 性 较 困 难若 通 过 求 nn s .,0lim ;,0lim .则 该 级 数 发 散若 性则 用 其 他 方 法 判 断 收 敛若 限可 先 分 析 级 数 通 项 的 极 nn nn aa(4) 判 断 级 数 的 敛 散 性 . 2 ln1n n n

14、(发 散 ) 四 、 小 结1. 当 0lim nn a ,则 级 数 发 散 ; 常 数 项 级 数 的 基 本 概 念级 数 的 基 本 审 敛 法 2. 由 定 义 ,若 ssnn lim ,则 级 数 收 敛 ; 3. 按 基 本 性 质 . 杂 例 ： 1 1)(n nn aa判 别例 1 ,lim mann 已 知 的 收 敛 性 . 1 1 )11(n nn bb判 别例 2 ,lim nn b已 知 的 收 敛 性 . .)(1 1 n nn aa求例 3 ,1 san n 已 知 .1n na求例 4 ,5,2)1( 1 121 1 n nn nn aa已 知 练 习 ;!)

15、1( 1n nnnne解 : (1) 令 .231)2( 1 23 n nnn,!nnn nneu 则nnuu 1 nne )1( 1 ),2,1(1 n故 euuu nn 11 从 而 ,0lim nn u 这 说 明 级 数 (1) 发 散 . 111 )1()1( nnnn e11 )1( !)1( nnn ne nnnne !判 断 下 列 级 数 的 敛 散 性 , 若 收 敛 求 其 和 : 1 23 231)2( n nnn因 nnn 23123 )2)(1( )2(21 nnn nn )2)(1( 1)1( 121 nnnn ),2,1( n nkn kkkS 1 23 231

16、 nk kkkk1 )2)(1( 1)1( 121 进 行 拆 项 相 消,41lim nn S 这 说 明 原 级 数 收 敛 , .41)2)(1( 1 nnn 其 和 为 )2)(1( 121121 nn(2) 一 、 填 空 题 :1、 若 nnan 242 )12(31 ,则 51n na =_； 2、 若 nn nna ! ,则 51n na =_； 3、 若 级 数 为 642422 xxxx 则 na _； 4、 若 级 数 为 9753 5432 aaaa 则 na _； 5、 若 级 数 为 615413211 则 当 n _时 na _； 当 n _时 na _； 6、

17、等 比 级 数 0n naq ,当 _时 收 敛 ； 当 _时 发 散 . 练 习 题 三 、 由 定 义 判 别 级 数 )12)(12( 1751531311 nn 的 收 敛 性 . 四 、 判 别 下 列 级 数 的 收 敛 性 :1、 n31916131 ； 2、 )3121()3121()3121()3121( 3322 nn ； 3、 nn 101212014110121 .五 、 利 用 柯 西 收 敛 原 理 判 别 级 数 61514131211 的 敛 散 性 . 练 习 题 答 案 一 、 1、 108642 975318642 7531642 53142 2121 ； 2、 54321 5!54!43!32!21!1 ； 3、 )2(642 2 nxn ； 4、 12)1( 11 nann ； 5、 kkkk 21,2,12.12 ； 6、 1,1 qq .三 、 收 敛 . 四 、 1、 发 散 ； 2、 收 敛 ； 3、 发 散 、 nk kn ks 12 )10121( .五 、 发 散 .取 np 2