大学空间向量解析几何

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1、第六节一 、 空 间 直 线 方 程 二 、 线 面 间 的 位 置 关 系 空间直线及其方程三 、 实 例 分 析 一 、 空 间 直 线 方 程 x yzO01111 DzCyBxA 02222 DzCyBxA 1 2 L因 此 其 一 般 式 方 程1. 一 般 式 方 程 直 线 可 视 为 两 平 面 交 线 ，(不 唯 一 ) z yx 0 x 0yO ),( 0000 zyxM2. 对 称 式 方 程故 有说 明 : 某 些 分 母 为 零 时 , 其 分 子 也 理 解 为 零 .mxx 0 00yy xx设 直 线 上 的 动 点 为 则 ),( zyxMnyy 0 pzz

2、0此 式 称 为 直 线 的 对 称 式 方 程 (也 称 为 点 向 式 方 程 )直 线 方 程 为已 知 直 线 上 一 点 ),( 0000 zyxM ),( zyxM例 如 , 当 ,0,0 时 pnm 和 它 的 方 向 向 量 ,),( pnms sMM /0 s 3. 参 数 式 方 程设得 参 数 式 方 程 : tpzznyymxx 000 tmxx 0 tnyy 0 tpzz 0 例 1.用 对 称 式 及 参 数 式 表 示 直 线解 :先 在 直 线 上 找 一 点 . 0432 01 zyx zyx 63 2 zy zy再 求 直 线 的 方 向 向 量 2,0 z

3、y令 x = 1, 解 方 程 组 ,得交 已 知 直 线 的 两 平 面 的 法 向 量 为是 直 线 上 一 点 .)2,0,1( 故 .s,)1,1,1(1 n )3,1,2(2 n21 ns,ns 21 nns 故 所 给 直 线 的 对 称 式 方 程 为参 数 式 方 程 为 tz ty tx 32 41 t41x 1 y 32 z解 题 思 路 : 先 找 直 线 上 一 点 ;再 找 直 线 的 方 向 向 量 . )3,1,4( 21 nns 312 111 kji 是 直 线 上 一 点)2,0,1( 2L1L二 、 线 面 间 的 位 置 关 系1. 两 直 线 的 夹

4、角 则 两 直 线 夹 角 满 足设 直 线 L1, L2 的 方 向 向 量 分 别 为 两 直 线 的 夹 角 指 其 方 向 向 量 间 的 夹 角 (通 常 取 锐 角 )212121 ppnnmm 212121 pnm 222222 pnm ),(,),( 22221111 pnmspnms 21 21cos ss ss 1s 2s 特 别 有 :21)1( LL 21/)2( LL 0212121 ppnnmm 212121 ppnnmm 21 ss 21/ss ),( ),( 2222 1111 pnms pnms 2L1L 1s 2s 2L1L1s2s 例 2. 求 以 下 两

5、 直 线 的 夹 角解 : 直 线 L1的 方 向 向 量 为直 线 L2的 方 向 向 量 为二 直 线 夹 角 的 余 弦 为 13411:1 zyxL 02 02:2 zx yxL cos 22从 而 4 )1,2,2( )1(1)2()4(21 222 1)4(1 222 )1()2(2 )1,4,1(1 s 201 0112 kjis 当 直 线 与 平 面 垂 直 时 ,规 定 其 夹 角 为线 所 夹 锐 角 称 为 直 线 与 平 面 间 的 夹 角 ; L2. 直 线 与 平 面 的 夹 角当 直 线 与 平 面 不 垂 直 时 ,设 直 线 L 的 方 向 向 量 为 平

6、面 的 法 向 量 为则 直 线 与 平 面 夹 角 满 足 .2 222222 CBApnm pCnBmA 直 线 和 它 在 平 面 上 的 投 影 直),( pnms ),( CBAn ),cos(sin ns ns ns sn 特 别 有 :L)1( /)2( L 0 pCnBmA pCnBmA ns/ns解 : 取 已 知 平 面 的 法 向 量 421 zyx则 直 线 的 对 称 式 方 程 为 0432 zyx直 的 直 线 方 程 . 为 所 求 直 线 的 方 向 向 量 . 132 垂 )1,3,2( n n例 3. 求 过 点 (1, 2 , 4) 且 与 平 面 3.

7、 相 关 的 几 个 问 题(1) 过 直 线 00: 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxAL的 平 面 束 )( 1111 DzCyBxA 0)( 2222 DzCyBxA方 程 0, 21 不 全 为1 2 kji),( 0000 zyxM 到 直 线的 距 离 pzznyymxxL 111: 为(2) 点 222 1 pnm 010101 zzyyxx pnm d s sMMd 10 ),( pnms ),( 1111 zyxM ),( 0000 zyxML 三 、 实 例 分 析例 1. 求 与 两 平 面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的 交 线提

8、示 : 所 求 直 线 的 方 向 向 量 可 取 为利 用 点 向 式 可 得 方 程43x )1,3,4( 401 512 32 y 15 z平 行 , 且 过 点 (3 , 2 , 5) 的 直 线 方 程 . kji21 nns 241312 zyx例 2. 求 直 线 与 平 面062 zyx的 交 点 . 提 示 : 化 直 线 方 程 为 参 数 方 程代 入 平 面 方 程 得 1t从 而 确 定 交 点 为 （ 1， 2， 2） . tz ty tx 2432 t 例 3. 求 过 点 ( 2 , 1 , 3 ) 且 与 直 线 12131 zyx垂 直 相 交 的 直 线

9、方 程 .提 示 : 先 求 二 直 线 交 点 P. 0)3()1(2)2(3 zyx化 已 知 直 线 方 程 为 参 数 方 程 , 代 入 式 , 可 得 交 点),( 7371372 P最 后 利 用 点 向 式 得 所 求 直 线 方 程431122 zyx的 平 面 的 法 向 量 为 故 其 方 程 为 ),( 312 ),( 011 )1,2,3( s过 已 知 点 且 垂 直 于 已 知 直 线,)1,2,3( P 例 4. 求 直 线 01 01zyx zyx 在 平 面上 的 投 影 直 线 方 程 .提 示 ： 过 已 知 直 线 的 平 面 束 方 程从 中 选 择

10、 使 其 与 已 知 平 面 垂 直 , 01)1(1)1(1)1( 得 001zyx zy 这 是 投 影 平 面 0)1()1()1()1( zyx 0)1(1 zyxzyx 即 0 zyx从 而 得 投 影 直 线 方 程,1 故 应 有 ：这 是 给 定 的 平 面 1. 空 间 直 线 方 程一 般 式对 称 式参 数 式 002222 1111 DzCyBxA DzCyBxA tpzz tnyy tmxx 000 pzznyymxx 000 内 容 小 结 ,1 11 11 11 pzznyymxxL ：直 线 0212121 ppnnmm ,2 22 22 22 pzznyymxxL ： 212121 ppnnmm 2. 线 与 线 的 关 系直 线夹 角 公 式 : ),( 1111 pnms ),( 2222 pnms 021 ss21 LL 21/LL 021 ss 21 21cos ss ss ,0 DzCyBxA CpBnAm 平 面 :L L / 夹 角 公 式 ： 0 CpBnAmsin ,pzznyymxx 3. 面 与 线 间 的 关 系直 线 L : ),( CBAn ),( pnms0ns 0ns ns ns L 作 业 习 题 六 1， 2， 3， 7