函数积分学及其应用

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1、一 元 函 数 积 分 学 及 其 应 用 西 安 交 大 经 典 考 题 （ 爱 情 ）30 sinsintantanlim x xxx 30lim x xxx 30 sinsintantanlim)1 x xxx 030 sintanlim x xxx 30 sinsintantanlim)2 x xxx 2130 )cos1(tanlim x xxx 30 sinsintansintansintantanlim)3 x xxxxx x xx x 30 tan tansintantanlim 30 cos)sin(tanlim x xxx 12121 第 一 节 不 定 积 分第 二 节

2、定 积 分第 三 节 定 积 分 应 用第 四 节 反 常 积 分第 五 节 几 类 简 单 的 微 分 方 程 第 一 节 不 定 积 分1 两 个 概 念 : 1） 原 函 数 ： )()( xfxF 2） 不 定 积 分 ： CxFxxf )(d)(2 基 本 积 分 公 式 ：3 三 种 主 要 积 分 法1） 第 一 类 换 元 法 （ 凑 微 分 法 ） CxFxxxfCuFuuf )(d)()(,)(d)( 则 若 2） 第 二 类 换 元 法 ： CxFCtFdtttftxxxf )()()()()(d)( 1 taxax taxxatataxxa sec,iii) tan,i

3、i)cos(sin,i) 22 2222 3） 分 部 积 分 法 vduuvudv“适 用 两 类 不 同 函 数 相 乘 ”.sincos xxdxI xxxdxxxdxI sincoscossincos 2 dttttt dttdttx )1 11 1()1)(1(212 sin 22224 令【 例 1】【 解 】 xxdxx xd 22 sin1 sin2sin)sin1( sin例 题 选 讲 dxxxI 251 , tantx tdtdx 2sec )(sectan)sec(tantansecsectan 4425 ttddttttt tdttI )sec( )1()(sec)1

4、(sec 2222 tuduutdt 【 例 2 】【 解 1】 令 则 )1(121 24224 xdxxdxxI dxxxxx 2324 141【 解 2】 )1(11)1(21 22224 xdxxxx )(xF )(xf 0 x. )1(2)()( 2xxexfxF x .0)(,1)0( xFF ).(xf【 例 3】 设 为 的 原 函 数 ， 且 当 时 ，已 知 求 )1(2)(21)()( 22 xxexFxfxF x dxxedxxedxexxdxxxexF xxxx 2222 )1(1)1( 1)1( )1()( 【 解 1】 由 Cxedxxexde xxx 1)1(1

5、 2 xdxedxxxexF xx 11)()1()( 22 dxxxexxe xx 1 )1()1(【 解 2】 1. 定 义 ： nk kkba xfxxf 10 )(limd)( 2.可 积 性 ：1） 必 要 条 件 ： )(xf 有 界 ； 2） 充 分 条 件 ： )(xf 连 续 或 仅 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点 ； 3.计 算 ： 1) )()(d)( aFbFxxfba 2） 换 元 法3） 分 部 积 分 法 4） 利 用 奇 偶 性 ， 周 期 性5） 利 用 公 式 第 二 节 定 积 分 00 2020 d)(sin2d)(sin (2) ,32231

6、,221231dcosdsin(1) xxfxxfx nnnnn nnnnnxxxx nn 奇偶 xa ttf d)(,)( baxf 在 xa ttf d)( , ba).()d)( xfttfxa 4 变 上 限 积 分 ： 上 连 续 ， 则 在 上 可 导 且变 上 限 求 导 的 三 个 类 型 ： ttxxdttxf tf(txtF(x)dttxf xxfxxfdttf xba xxx xx d)sin(dd),(3) d)(:1),(2) )()()()()(1) 0 20)( )( )( )( :例2例 5。 性 质 ：1) 不 等 式 ： ),()( xgxf .d)(d)(

7、 xxgxxf baba (1) 若 则 )(xf , ba ).(d)()( abMxxfabm ba （ 2) 若 在 上 连 续 ， 则 （ 3) .d|)(|d)( xxfxxf baba 2) 中 值 定 理 ： )(xf , ba bcaabcfxxfba ),)(d)(（ 1） 若 在 上 连 续 ， 则)(),( xgxf , ba )(xg bcaxxgcfxxgxf baba ,d)()(d)()(（ 2） 若 在 上 连 续 ， 不 变 号 ， 则 22 223 ._dcos)sin( xxxx 8【 例 1】 ._220 2 dxxxx 2【 例 2】 ._2sin50

8、 dttxx 【 例 3】 例 题 选 讲一 、 定 积 分 计 算 100 . sin0 xdxxI n dxxxI n 0 sin dxxn 0 sin2 dxxn 20 sin 的 奇 数为 大 于为 正 偶 数1,32231 ,221231 nnnnn nnnnn 【 例 4 】【 解 】 ,sin)( 0 dtttxf x .)(0 dxxf【 例 5】 设 计 算0 )( dxxf dxxxxxxf 00 sin)(dttt 0 sin dxxxx 0 sin2sin0 xdx【 解 1】 0 )( dxxf 0 )()( xdxf dxx xxxfx 00 sin)()()( 2

9、sin0 xdx【 解 2】 ;)0(10 22 a adxxax,sintax 20 cossincos tt tdt 20 cossinsin tt tdt dttt tt20 cossin sincos21 421 20 dt【 例 6】 计 算 定 积 分【 解 】 令 则 原 式 )(xf x xxfxttxtf0 20 d)(,cos1d)( 求【 例 7】 已 知 连 续 ，的 值 . ,utx duufuxdttxtf xx )()()( 00 xx duuufduufx 00 )()( x xx duufxxfxxfduufdttxtfdxd 0 00 )()()()()(【

10、 解 】 令 得 xduufx sin)(0 2x 20 12sin)( duuf从 而 有令得 ： ;12111lim nnnnn 【 例 1】 求 极 限 nnnnnn 1 121 111 11lim 2ln)1ln(1 1010 xxdx【 解 】 原 式 = 二 、 与 定 积 分 有 关 的 综 合 题 ,)2()2)(1(1nn nnnny nnnnny nnn ln)2ln()2ln()1ln(1limlnlim )1ln()21ln()11ln(1lim nnnnnn 【 解 】 令 则 10 )1ln( dxx 12ln2 ee 412ln2 则 原 式 =【 例 2】 求

11、极 限 nn nnnnn )()2()1(1lim 2222 )(1 1)2(1 1)1(1 11 nnnnnn 41 110 2 dxx原 式【 例 3】 求 极 限 ;122111lim 222222 nn nnnnnnn 【 解 】 222222222 122111)(1 1)2(1 1)1(1 11 nn nnnnnnnnnnn 222 )(1 1)2(1 1)1(1 111 nnnnnnn 【 例 4】 求 极 限 .sin)11( d)1ln(lim 3 3sin00 2 xx ttxx 4sin00 31 )1ln(lim 2 x dttxx 320 34 cossin2)sin

12、1ln(lim x xxxx 2334 2lim 320 x xxx【 解 】 原 式 )(xf ,0)0( f.)( )()(lim 000 xxx dttxfx dttftx【 例 5】 设 函 数 连 续 ， 且 求 极 限 x dttxf0 )( x duuf0 )( )( utx xx xx dttfx dtttfdttfx 00 00 )( )()(lim xxx xxfdttf xxfxxfdttf 000 )()( )()()(lim【 解 】 原 式 = x xx xxfdttf dttf0 00 )()( )(lim )()( )(lim0 xxfcxf cxfx 21)0

13、()0( )0( ff f )(tf ).()(,0)( tftftf aa axadttftxxF .)(|)(【 例 6】 设 连 续 , 令)(xFy , aa1) 试 证 曲 线 在 上 是 凹 的 .x )(xF2) 当 为 何 值 时 , 取 得 最 小 值 . )(xF .1)( 2 aaf ).(tf3) 若 的 最 小 值 可 表 示 为 试 求 aa dttftxxF )()( xa ax dttfxtdttftx )()()()( xa xa ax ax dttfxdtttfdtttfdttfx )()()()( xa ax dttfxxfxxfxxfxxfdttfxF

14、)()()()()()()( xa ax dttfdttf )()( 0)(2)()()( xfxfxfxF【 解 】 1) xa ax dttfdttfxF 0)()()( ,0)0( F ,0)( xF)(xF 0 x2) 令得 又在 取 最 小 值 . aaa dtttfdttftF 0 )(2)()0( 1)()(2 0 2 a aafdtttf aafaaf 2)()(2 1)( 2 aCeaf,1)0( f 2C 12)( 2 tetf3) 又 则从 而 )(xf 1,0 .0)(10 dxxf【 例 7 】 设 在 上 连 续 ,且),1,0( ).()(0 fdxxf 求 证

15、:使 0)()(0 fdxxf x dttfxxF 0 )()( 0)1()0( FF ),1,0( 0)( F0)()(0 fdxxf【 证 】 只 要 证 明 令则由 罗 尔 定 理 知 使即 )(xf , ba ),0,0( ba),()()(2 2 )( 22 bfabdxxfebaa bx ),( ba .0)()(2 ff【 例 8】 (2012,1,14) 设 在 上 可 导且 满 足 证 明 ： 存 在使 )()( 2 xfexF x【 证 】 令 ),()(2 222 bfedxxfeab bbaa x ),()( 22 bfecfe bc )2,( baac )()( bF

16、cF ),( ba 0)( F使 )(),( xgxf 1,0 )1,0(,)(3)( 13210 dxxfdxxf )1,0(, ).()()()( ffgf 【 例 9】 设 在 上 连 续 ， 在 内 可 导 ， 且试 证 存 在 两 个 不 同 的 点使 得 )(xf 1,0,0)0( f ,1,0 .)(2)( 10 dxxff 【 例 10】 设 函 数 在 上 有 连 续 一 阶 导 数 ， 且试 证 至 少 存 在 一 点 使xcffxfxf )()0()()( ),0( xc【 证 1】 由 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 )(xf 1,0 M.m又 在 上 连 续 ，

17、则 必 有 其 最 大 值 和 最 小 值则 Mcfm )( Mxxfmx )( 101010 )( xdxMdxxfxdxm 2)(2 1 0 Mdxxfm Mdxxfm 10 )(2 10 )(2)()( dxxfxxfxF,0)0( F 10101010 )(2)()( dxxfxdxdxxfdxxF【 证 2】 令则 0)()( 1010 dxxfdxxf ),1,0(c 0)()(10 cFdxxF 由 积 分 中 值 定 理 得 ， 使 得 ),0( c ,0)( F .)(2)( 10 dxxff 由 罗 尔 定 理 得 ， 使 得 ,)( 2 baCxf , ba ba fab

18、bafabdxxf )()(241)2()()( 3 【 例 11】 (2009,1,19) 设 试 证 存 在使【 证 1】 由 Taylor定 理 得 2)2(!2 )()2)(2()2()( baxfbaxbafbafxf dxbaxfbafabdxxfba ba 2)2)(21)2()()( ,)( 2 baCxf 由 得 Mxfm )( dxbaxMdxbaxfdxbaxm bababa 222 )2()2)()2( 12)()2)(12)( 323 abMdxbaxfabm ba )(xf 2,0 ,0)( xf 20 .0cos)( xdxxf 2020 20 sin)(sin)

19、(cos)( xdxxfxxfxdxxf 20 sin)( xdxxf 2020 cos)(cos)( xdxxfxxf【 例 12】 设 在 上 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且证 明 ：【 证 明 】 20 cos)()0()2( xdxxfff 20 .0)cos1)( dxxxf )(xf 1,0 1)(0 , 0)0( xff 10 310 2 )()( dxxfdxxf【 例 13】 设 在 上 可 导 ,且求 证 : xx dttfdttfxF 0 320 )()()( x xfdttfxfxF 0 3 )()()(2)( )()(2)( 20 xfdttfxf x 【 证

20、 】 令 x xfdttfx 0 2 )()(2)( 0)(1)(2)()(2)(2)( xfxfxfxfxfx令 )(xf 1 ,0 ,0)0( f 10 10 22 )(21)( dxxfdxxf【 例 14】 设 在 上 有 连 续 导 数 ,且 求 证 : x dttfxf 0 )()( 202 )()( x dttfxf x dttfx 0 2 )( 10 210 21010 2 )(21)()( dttfdttfxdxdxxf【 证 】 xx dttfdt 0 20 2 )(1 10 2 )( dttfx 一 。 几 何 应 用 ;1.平 面 域 的 面 积 ： （ 直 角 ； 极

21、 坐 标 ； 参 数 方 程 ）2 体 积 ： 1） 已 知 横 截 面 面 积 的 体 积 ba dxxSV )(dxxfV bax )(2 bay dxxxfV )(2 2） 旋 转 体 的 体 积 二 物 理 应 用1.压 力 ； 3.引 力 。 2.变 力 做 功 ； 第 三 节 定 积 分 应 用 xey xey y .DD ;AD y【 例 1】 过 原 点 作 曲 线 的 切 线及 轴 围 成 平 面 域 为1） 求 的 面 积2） 求 分 别 绕 ,kxy xxek ekx,1 ekx 【 解 】 1) 设 过 原 点 的 切 线 为 则 由 此 得 10 12 edxexeS

22、 x )31(22 101 edxexexV x 2） 该 切 线 与 曲 线,L旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 体 积轴 和 ey dxeeeV x 10 222 )(3 2xy y,72 3m ,64 3m【 例 2】 一 容 器 的 内 侧 是 由 曲 线 绕曲 面 ,其 容 积 为 其 中 盛 满 水 ,器 的 顶 部 抽 出 至 少 需 做 多 少 功 ? hydydyxdV 2 20 2hydyV h 【 解 】 设 容 器 深 度 为72V ,272 2h 12h 86472 V ,28 2h 4h当 时 ，当 时 ，ydyygdW )12(103 gdyyygW 31064

23、0)12(10 3 1243 m ,/ 2smg 33 /10 mkg（ 长 度 单 位 ： 重 力 加 速 度 为 水 的 密 度 ）轴 旋 转 而 成 的若 将 容 器 中 的 水 从 容 第 四 节 反 常 积 分 AaAa dxxfdxxf )(lim)()1 .)(lim)()2 aAAa dxxfdxxf1 无 限 区 间 a dxxf )( a dxxf )( dxxf )(3） 若 和 都 收 敛 ， 则 称收 敛 。 发 散收 敛11;1 PPdxxa P )0( a常 用 结 论 ： 2.无 界 函 数 a )(xf baba dxxfdxxf )(lim)( 0设 为 的

24、 无 界 点 ， 常 用 结 论 ： 发 散收 敛11)( 1 PPdxaxba P dxexe xx 0 2)1( dxexe xx 0 2)1( 0 1 1 xexd 00 11 xx edxex 2ln)1ln(1 00 xxx edxee 【 例 1 】 计 算 【 解 】 原 式 例 题 选 讲 一 、 反 常 积 分 计 算 【 例 2】 求 证 : ,1 11 0 40 42 dxxdxxx 并 求 其 值 . )1( tx 0 420 420 42 1 1111 11 dttdttttdxxx 0 20 22 20 42 2)1( )1(21111211 121 dxxx xx

25、ddxxx xdxxx 2221arctan2121 0 xx【 解 】 原 式 【 例 1】 判 定 反 常 积 分 0 sin dxxx x 的 敛 散 性 . 二 、 反 常 积 分 敛 散 性 判 定 1 一 阶 方 程1） 可 分 离 变 量 )()( ygxfy )(xyfy )( uxy 2） 齐 次 3） 线 性 )()( xQyxPy 通 解 ： CdxexQey dxxpdxxp )()( )( )1()()( yxQyxPy )( 1 uy ),( yxfy 2. 可 降 阶 方 程 : 2) 1) )(xfy ),( dxdPyPy ),( dydPPyPy 3) ),

26、( yyfy 第 五 节 几 类 简 单 的 微 分 方 程 4) Bernoulli )0(2)2 xxyyyx 31)3 yxyy 【 例 1】 求 解 下 列 一 阶 微 分 方 程 xyxyy 1)1 22 xyxxyy tan1sec 22 00 xy5) 求 方 程 满 足 条 件 的 特 解 . 0tan)sin( ydxdyyx ._的 通 解 为4） 方 程解 应 填 yCyx sin1sin21 2 例 题 选 讲 )(xf xx dttxtfxdttf 00 )()( )(xf【 例 2】 设 连 续 ,且 满 足 求)( utx x x duufuxdttxtf0 0

27、)()()(【 解 】 x x duuufduufx 0 0 )()( x x x duuufduufxxdttf0 0 0 )()()( x xxfxxfduufxf 0 )()()(1)( x duufxf 0 )(1)( ),()( xfxf xCexf )(从 而 有 ,1)0( f ,1C xexf )( )(xf ),( ,2)0( f yx,),()()( xfeyfeyxf yx ).(xf【 例 3】 设 在 上 有 定 义 ， 对 任 意 的求x xfxxfxf x )()(lim)( 0 x xfxfexfe xxx )()()(lim0 )()(lim0 xfxxfe

28、xx )0)0()()0( fxffex )(2 xfex xxexf 2)( 【 解 】 ,0 x )(xfy )(,( xfxy ,)(1 0 x dttfx ).(xf【 例 4】 设 对 任 意 曲 线 上 点处 的 切 线 在 轴 上 的 截 距 等 于 求)()( xXxfxfY 0X )()( xfxxfY x dttfxxfxxf 0 )(1)()( x dttfxfxxxf 02 )()()( )()()(2)()( 2 xfxfxxfxxfxxf 【 解 】 令 得 ， 0)()( xfxfx 0)( xfx 1)( Cxfx xCxf 1)( 21ln)( CxCxf )

29、0( )( xxy 1)0( 0)( yxy)(xyy ),( yxP xx 1S ,0 x)(xyy 2S .12 21 SS【 例 5】 设 二 阶 可 导 ,且 .过上 任 意 点 作 该 曲 线 的 切 线 及上 述 二 直 线 与 轴 所 围 三 角 形 面 积 记 为 ,区 间上 以 为 曲 边 的 曲 边 梯 形 面 积 记 为 ,且 轴 的 垂 线 ,求 ).(xy )( xXyyY x)0,( yyx 【 解 】 设 切 线 方 程 为 ,则 它 与 轴 交 点 为 x dttySyyyyxxyS 0221 )( 2)(21 x yyydttyyySS 0 2221 )(1)(12