函数的最大值与最小值

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1、 (B)引 例 ： 求 函 数 f(x)=x3-3x2-9x+5在 -2， 6上 的 极 值 .解 ： (1)f(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3)(2)令 f(x)=0， 3x,1x 21 解 之 得 驻 点 为(3)列 表 考 察 f(x)的 符 号xf(x)f(x) (-2， -1)+ (-1， 3) (3， 6)300-1 +-(4)极 小 值 f(3)=-22,极 大 值 f(-1)=10草 图 ： 由 图 知 ， 极 大 值 为 10但 不 是 最 大 值 。问 题 ： 求 f(x)=x 3-3x2-9x+5 在 -2， 6上 的 最 大 (小 )

2、值 .(-2,3) -1-2 10 6(3,-22)3(-1,10) (6,59)极 大 值 10 极 小 值 -22xy0 新 课 讲 解函 数 最 大 值 和 最 小 值 的 一 般 求 法 ：(一 ) y=f(x) x a,b(1)求 出 f(x)的 导 数 f(x)； 令 f(x)=0， 求 出 驻 点 ；(2)求 出 驻 点 处 的 函 数 值 以 及 端 点 处 的 函 数 值 ；(3)比 较 这 些 值 的 大 小 ， 其 中 最 大 的 就 是 函 数 的 最 大 值 ， 最 小 的 就 是 最 大 值 . 例 题 与 练 习 . 181)(.1)( 最 大 值 和 最 小 值

3、 上 的，在 闭 区 间求 函 数例 xxxfA解 ： (1).f(x)的 定 义 域 为 (-， 1)， -8， 1 (-， +1(2). x12 11)x(f (3).令 f (x)=0， 解 之 得 驻 点 为 43x (5).比 较 大 小 得 ， 在 -8， 1上 的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 -5.45(4). 1)1(f,5)8(f,45)43(f (A)练 习 ： 求 函 数 y=x 2-4x+6在 闭 区 间 -3， 10上 的 最 大 值 和 最 小 值 (A)例 2.求 函 数 f(x)=x2-2x+6的 最 值 .(1).f(x)的 定 义 域 为 (-， +

4、).解 ： (2).f (x)=2x-2=2(x-1)(3).令 f (x)=0， 解 之 得 驻 点 为 x=1.当 x (-， 1)时 ， f(x)0,单 调 递 增 . .5)1(f1x 小 值 为是 函 数 的 最 小 值 点 ， 最(二 )若 函 数 在 一 个 开 区 间 或 无 穷 区 间 (-， +)内 可 导 ， 且 有 唯 一 的 极 值 点 .0 x .)x(f)x(f 00 就 是 该 区 间 上 的 最 大 值是 极 大 值 时 ，那 么 当 .)x(f)x(f 00 就 是 该 区 间 上 的 最 小 值是 极 小 值 时 ，那 么 当 (B)例 3.在 半 径 为

5、 R的 半 圆 内 作 内 接 梯 形 ， 使 其 底 为 直 径 其 他 三 边 为 圆 的 弦 ， 问 应 这 样 设 计 ， 才 能 使 梯 形 的 面 积 最 大 ？解 ： 22 xRhx2 ， 则 高设 梯 形 的 上 底 为 )Rx0(xR)Rx( 22 22 222222 xR x2RxRxR )xR(xxRS 2Rx0S ， 得令.2Rx 大 值 存 在是 唯 一 驻 点 ， 又 面 积 最 .2Rx 就 是 最 大 值 点.SR 梯 形 最 大时 ，即 当 上 底 长 为(三 )： 解 决 实 际 问 题 中 的 最 大 值 问 题 的 步 骤 ：(1).根 据 题 意 建

6、立 函 数 关 系 式 .(2).确 定 函 数 的 定 义 域 .(3).求 函 数 f(x)在 给 定 区 域 上 的 最 大 值 或 最 小 值 .(B)练 习 3.求 半 径 为 R的 半 圆 的 内 接 矩 形 的 最 大 面 积 .22 xR)R2x2(21S 于 是 梯 形 面 积 (B)例 4.生 产 某 种 商 品 x个 单 位 的 利 润 是 P(x)=5000+x-0.00001x2(元 ) 问 生 产 多 少 个 单 位 时 获 得 的 利 润 最 大 ？解 ： (1)函 数 关 系 式 为 P(x)=5000+x-0.00001x2 (x0).(2)P(x)=1-0.

7、00002x(3)令 P(x)=0得 驻 点 x=5 104 x=5 104是 唯 一 驻 点 ， 又 利 润 最 大 值 存 在 .(B)练 习 ： 最 多 ？个 工 人 作 业 时 ， 产 煤 量情 况 下 ， 每 班 安 排 多 少 工 艺 不 变 的试 求 在 作 业 条 件 ， 操 作： 的 函 数千 吨 ） 是个 人 作 业 ， 每 班 产 煤 量某 煤 矿 每 班 有 ),12x3(25x)x(fy x(yx2 当 生 产 5 104个 单 位 时 获 得 的 利 润 最 大 . 小 结 与 作 业最 值 问 题 的 两 种 类 型 ：(1)求 出 给 定 解 析 式 的 导 数

8、 f(x)； 令 f(x)=0， 求 出 驻 点 ；(2)求 出 驻 点 处 的 函 数 值 以 及 端 点 处 的 函 数 值 ；(3)比 较 这 些 值 的 大 小 ， 其 中 最 大 的 就 是 函 数 的 最 大 值 ， 最 小 的 就 是 最 大 值 .1.已 知 函 数 解 析 式 及 闭 区 间 求 最 值 .2.实 际 问 题 求 最 值 .(1)根 据 题 意 建 立 函 数 关 系 式 y=f(x)；(2)根 据 实 际 问 题 确 定 函 数 的 定 义 域 ；(3)求 出 函 数 y=f(x)的 导 数 ， 令 f(x)=0， 求 出 驻 点 ； 若 定 义 域 为 开 区 间 且 驻 点 只 存 一 个 ， 则 由 题 意 判 定 函 数 存 在 最 大 或 最 小 值 ， 则 该 驻 点 所 对 应 函 数 值 就 是 所 求 .作 业 ： P41 (A)1.(1)(3) (B)2,3 (C)4,5