方差和标准差

《方差和标准差》由会员分享，可在线阅读，更多相关《方差和标准差（41页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 温 故 而 知 新1、 离 散 型 随 机 变 量 X 的 均 值 （ 数 学 期 望 ）1n i iiE X x p（ ）2、 均 值 的 性 质( )E aX b aE X b （ ）3、 两 种 特 殊 分 布 的 均 值（ 1） 若 随 机 变 量 X服 从 两 点 分 布 ， 则 E X p（ ）（ 2） 若 ， 则 ( , )X B n p E X np（ ）反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水 平 . 复 习 如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？ 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：试比较两名射手的射

2、击水平. x1 8 9 10P 0.2 0.6 0.2 x2 8 9 10P 0.4 0.2 0.4 如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？ 显 然 两 名 选 手的 水 平 是 不 同 的 ,这 里 要 进 一 步 去分 析 他 们 的 成 绩的 稳 定 性 . 探 究 方 差 定 义一 组 数 据 的 方 差 ： 方 差 反 映 了 这 组数 据 的 波 动 情 况 在 一 组 数 ： x1,x2 , ,xn 中 ， 各 数 据 的 平 均 数 为 ，则 这 组 数 据 的 方 差 为 ：x2 2 2 21 21( ) ( ) ( ) nS x x x x x xn 类

3、似 于 这 个 概 念 ,我 们 可 以 定 义 随 机 变 量 的 方 差 . 新 课 离 散 型 随 机 变 量 的 方 差 和 标 准 差 :2 2 1 12 21( ) ( )( ) ( ( ) .i inn n i iiD x E p x E px E p x E px x xx x x （ ） （ ） （ ）（ ） 机 量 的 方 差 为 随 变则 称 一 般 地 ,若 离 散 型 随 机 变 量 x的 概 率 分 布 列 为 ：P 1x ix2x 1p 2p ip nxnpx 定 义 称 为 随 机 变 量 的 标 准 差 ( )D x 它 们 都 是 反 映 离 散 型 随 机

4、 变 量 偏 离 于 均值 的 平 均 程 度 的 量 ， 它 们 的 值 越 小 ， 则 随机 变 量 偏 离 于 均 值 的 平 均 程 度 越 小 ， 即 越集 中 于 均 值 . 1. 已知随机变量x的分布列x 0 1 2 3 4P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1求D（x）和 . ( ) 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2E x 解：2 2 2 2 2( ) (0 2) 0.1 (1 2) 0.2 (2 2) 0.4(3 2) 0.2 (4 2) 0.1 1.2Dx ( 1.2 1.095D x ）2. 若随机变量x 满足P（x1）p， P（ x 0

5、） q其中p+q=1，求E（x) 和 D(x).E(x)p D(x)pq 练 习 (D x） 结 论 1： 则 ;,a b x 若 E aE b x （ ） （ ）结 论 2： 若 B(n， p)， 则 E()= np.服 从 二 点 分 布 则 E()= p可 以 证 明 , 对 于 方 差 有 下 面 两 个 重 要 性 质 ： 2( )D a b a Dx x ( , ) ( )( 1 ) ( ) B n p D npqq p pqx xx x 若 ，其 中（ 3） 服 二 分 布从 点 则 D则 结 论 1.已 知 随 机 变 量 x的 分 布 列 为 则 Ex与 Dx的 值 为 (

6、) (A) 0.6和 0.7 (B)1.7和 0.3 (C) 0.3和 0.7 (D)1.7和 0.212.已 知 xB(100,0.5),则 Ex=_,Dx=_, E(2x-1)=_, D(2x-1)=_ x 1 2P 0.3 0.7 D50 2599 1003、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X，求EX和DX. 2，1.98 练 习 例 题 ： 甲 乙 两 人 每 天 产 量 相 同 ， 它 们 的 次 品 个 数分 别 为 x ， 其 分 布 列 为x 0 1 2 3P 0.3 0.3 0.2 0.2 0 1 2 P 0.1 0.5 0.

7、4判 断 甲 乙 两 人 生 产 水 平 的 高 低 ？解 答 例 题 E(x） =0 0.3+1 0.3 2 0.23 0.2=1.3E()=0 0.1+1 0.5 2 0.4=1.3D(x)=(0 1.3)2 0.3+(1 1.3)2 0.3（ 2 1.3） 2 0.2 （ 3-1.3)2 0.2=1.21 结 论 ： 甲 乙 两 人 次 品 个 数 的 平 均 值相 等 ， 但 甲 的 稳 定 性 不 如 乙 ， 乙 的 生 产水 平 高 .期 望 值 高 ， 平 均 值 大 ， 水 平 高方 差 值 小 ， 稳 定 性 高 ， 水 平 高 例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如

8、下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200 1400 1600 1800获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1乙单位不同职位月工资X2/元1000 1400 1800 2200获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：1400,1400 21 EXEX 112000,40000 21 DXDX 在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位. 例 题 （ 2） 若 ， 则再 回 顾 ： 两 个 特 殊 分 布 的

9、方 差（ 1） 若 X 服 从 两 点 分 布 ， 则 ( ) (1 )D X p p pq （ 2） 若 ， 则 ( , )X B n p ( ) (1 )D X np p npq 两 种 特 殊 分 布 的 均 值（ 1） 若 X服 从 两 点 分 布 ， 则 E X p（ ） ( , )X B n p E X np（ ） 方 差 的 性 质 2( )D aX b a DX 平 移 变 化 不 改 变 方 差 ， 但 是 伸 缩 变 化 改 变 方 差 .均 值 的 性 质(1) ( )E aX b aEX b (2) ( )E aX bY aEX bEY 推 论 ： 常 数 的 方 差

10、为 _.0 机 动 练 习 11710 0.8 p pnBX,n 1.6,DX8,EX),(1则 ，、 已 知 xx DD 则， 且、 已 知 ,138132 3.若 随 机 变 量 x服 从 二 项 分 布 ， 且 Ex=6， D x=4,则 此 二 项 分 布是 。设 二 项 分 布 为 x B(n,p) ,则Ex=np=6Dx=np(1-p)=4 n=18p=1/3 对 随 机 变 量 X的 均 值 (期 望 )的 理 解 ：(1 )均 值 是 算 术 平 均 值 概 念 的 推 广 ， 是 概 率 意 义 上 的 平 均 ；(2 )E(X)是 一 个 实 数 ， 由 X的 分 布 列

11、唯 一 确 定 ， 也 就 是 说 随 机 变 量 X可 以 取 不 同 的 值 ， 而 E(X)是 不 变 的 ， 它 描 述 的 是 X取 值 的 平 均 状 态 ；(3 )E(X)的 公 式 直 接 给 出 了 E(X)的 求 法 例 1 . (2 0 1 0 衡 阳 模 拟 )一 厂 家 向 用 户 提 供 的 一 箱 产 品 共 1 0 件 ，其 中 有 n件 次 品 ， 用 户 先 对 产 品 进 行 抽 检 以 决 定 是 否 接收 抽 检 规 则 是 这 样 的 ： 一 次 取 一 件 产 品 检 查 (取 出 的 产 品不 放 回 箱 子 )， 若 前 三 次 没 有 抽 查

12、 到 次 品 ， 则 用 户 接 收 这 箱产 品 ； 若 前 三 次 中 一 抽 查 到 次 品 就 立 即 停 止 抽 检 ， 并 且 用户 拒 绝 接 收 这 箱 产 品 (1 )若 这 箱 产 品 被 用 户 接 收 的 概 率 是 ， 求 n的 值 ；(2 )在 (1 )的 条 件 下 ， 记 抽 检 的 产 品 件 数 为 X， 求 X的 分 布 列 和数 学 期 望 （ 1 ） 利 用 古 典 概 型 易 求 .（ 2 ） X的 取 值 为 1 、 2 、 3 ， 求 出 分 布 列 代 入 期 望 公 式 . 【 解 】 (1 )设 “这 箱 产 品 被 用 户 接 收 ”为

13、事 件 A， n 2 .(2 )X的 可 能 取 值 为 1 ,2 ,3 .P(A)=P(X=1 )=P(X=2 )=P(X=3 )= X的 概 率 分 布 列 为 ：X 1 2 3P 1 8 28 109( ) 1 2 3 .5 45 45 45E X (3 )设 X为 签 约 人 数 X的 分 布 列 如 下 ：P(X=0 )=P(X=1 )=P(X=2 )=P(X=3 )=P(X=4 )= 题 型 二 求 随 机 变 量 的 方 差【 例 2】 编 号 1， 2， 3的 三 位 学 生 随 意 入 座 编 号 1， 2， 3的 三 个座 位 ， 每 位 学 生 坐 一 个 座 位 ， 设

14、 与 座 位 编 号 相 同 的 学 生 人 数是 X.（ 1） 求 随 机 变 量 X的 概 率 分 布 列 ；（ 2） 求 随 机 变 量 X的 期 望 与 方 差 . 分 析 （ 1） 随 机 变 量 X的 意 义 是 对 号 入 座 的 学 生 个 数 ， 所 有 取值 为 0,1,3.若 有 两 人 对 号 入 座 ， 则 第 三 人 必 对 号 入 座 .由 排 列 与等 可 能 事 件 概 率 易 求 分 布 列 ;（ 2） 直 接 利 用 数 学 期 望 与 方 差 公 式 求 解 .X 0 1 3P解 （ 1） P（ X=0） = ,P（ X=1） = ,P（ X=3） =

15、,故 X的 概 率 分 布 列 为 (2)E(X)= D(X)= 332 13A 1333 12CA 331 16A 13 12 161 1 10 1 3 13 2 6 2 2 21 1 10 1 1 1 3 1 13 2 6 举 一 反 三2. 设 在 15个 同 类 型 的 零 件 中 有 2个 次 品 ， 每 次 任 取 1个 ， 共 取 3次 ，并 且 每 次 取 出 后 不 再 放 回 .若 用 X表 示 取 出 次 品 的 个 数 .（ 1） 求 X的 分 布 列 ；（ 2） 求 X的 均 值 E(X)和 方 差 D(X).学 后 反 思 求 离 散 型 随 机 变 量 X的 方

16、差 的 步 骤 ：（ 1） 写 出 X的 所 有 取 值 ；（ 2） 计 算 P（ X=xi） ; (3)写 出 分 布 列 ， 并 求 出 期 望 E(X)；（ 4） 由 方 差 的 定 义 求 出 D(X). 解 析 ： (1)P(X=0)= , P(X=1)= ,P(X=2)= .故 X的 分 布 列 为 (2)X的 均 值 E(X)和 方 差 D(X)分 别 为E(X)= ;D(X)= 313315 2235CC 1 22 13315 1235C CC 2 12 13315 135C CC X 0 1 2P 1351235223522 12 1 20 1 235 35 35 5 2 2

17、 22 22 2 12 2 1 520 1 25 35 5 35 5 35 175 题 型 三 期 望 与 方 差 的 综 合 应 用【 例 3】 (14分 )（ 2008 广 东 ） 随 机 抽 取 某 厂 的 某 种 产 品 200件 ， 经 质检 ， 其 中 有 一 等 品 126件 ， 二 等 品 50件 ， 三 等 品 20件 ， 次 品 4件 .已 知生 产 1件 一 、 二 、 三 等 品 获 得 的 利 润 分 别 为 6万 元 、 2万 元 、 1万 元 ， 而生 产 1件 次 品 亏 损 2万 元 ， 设 1件 产 品 的 利 润 （ 单 位 ： 万 元 ） 为 .(1)求

18、 的 分 布 列 ；（ 2） 求 1件 产 品 的 平 均 利 润 （ 即 的 数 学 期 望 ） ；（ 3） 经 技 术 革 新 后 ， 仍 有 四 个 等 级 的 产 品 ， 但 次 品 率 降 为 1%,一 等 品率 提 高 为 70%,如 果 此 时 要 求 1件 产 品 的 平 均 利 润 不 小 于 4.73万 元 ， 则三 等 品 率 最 多 是 多 少 ？ 分 析 求 的 分 布 列 时 ， 要 先 求 取 各 值 时 的 概 率 .解 （ 1） 的 所 有 可 能 取 值 有 6,2,1,-2 1P( =6)= =0.63, .2P( =2)= =0.25, .3P( =1)

19、= =0.1, 4P( =-2)= .5故 的 分 布 列 为 7126 0.63200 50 0.25200 20 0.1200 4 0.02200 6 2 1 -2p 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E( )=6 0.63+2 0.25+1 0.1+（ -2） 0.02=4.34 .9(3)设 技 术 革 新 后 的 三 等 品 率 为 x,则 此 时 1件 产 品 的 平 均 利 润 为E( )=6 0.7+2 (1-0.7-0.01-x)+1 x+(-2) 0.01=4.76-x(0 x 0.29) .12依 题 意 ， E( ) 4.73,即 4.76-x 4.73,解

20、得 x 0.03 13所 以 三 等 品 率 最 多 为 3%.14学 后 反 思 本 题 主 要 考 查 学 生 运 用 知 识 ， 迁 移 知 识 的 能 力 .解 决该 类 实 际 问 题 的 关 键 是 将 实 际 问 题 化 为 数 学 问 题 ， 利 用 已 学 的知 识 进 行 处 理 ， 这 也 是 今 后 高 考 的 一 大 热 点 . 例 4.（ 2011辽 宁 理 19） 某 农 场 计 划 种 植 某 种 新 作 物 ， 为 此 对 这 种作 物 的 两 个 品 种 （ 分 别 称 为 品 种 甲 和 品 种 乙 ） 进 行 田 间 试 验 选取 两 大 块 地 ， 每

21、 大 块 地 分 成 n小 块 地 ， 在 总 共 2n小 块 地 中 ， 随 机 选n小 块 地 种 植 品 种 甲 ， 另 外 n小 块 地 种 植 品 种 乙 （ I） 假 设 n=4， 在 第 一 大 块 地 中 ， 种 植 品 种 甲 的 小 块 地 的 数 目 记为 X， 求 X的 分 布 列 和 数 学 期 望 ； （ II） 试 验 时 每 大 块 地 分 成 8小 块 ， 即 n=8， 试 验 结 束 后 得 到 品 种甲 和 品 种 乙 在 个 小 块 地 上 的 每 公 顷 产 量 （ 单 位 ： kg/hm2） 如 下 表 ：品 种 甲 403 397 390 404

22、388 400 412 406品 种 乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分 别 求 品 种 甲 和 品 种 乙 的 每 公 顷 产 量 的 样 本 平 均 数 和 样 本方 差 ； 根 据 试 验 结 果 ， 你 认 为 应 该 种 植 哪 一 品 种 ？ 1 8 18 8 1( ) 0 1 2 3 4 2.70 35 35 35 70E X 解 ： (1)x的 可 能 取 值 为 ： 0,1,2,3,4， 且x的 分 布 列 为 ：x的 数 学 期 望 为 ： 2 2 2 2 2 2 2 21 (403 397 390 404 388 400 412 406

23、) 400,81 (3 ( 3) ( 10) 4 ( 12) 0 12 6 ) 57.25.8xS 甲甲 2 2 2 2 2 2 2 2 21 (419 403 412 418 408 423 400 413) 412,81 (7 ( 9) 0 6 ( 4) 11 ( 12) 1 ) 56.8xS 乙乙（ II） 品 种 甲 的 每 公 顷 产 量 的 样 本 平 均 数 和 样 本 方 差 分 别 为 ：品 种 乙 的 每 公 顷 产 量 的 样 本 平 均 数 和 样 本 方 差 分 别 为 ： 由 以 上 结 果 可 以 看 出 ， 品 种 乙 的 样 本 平 均 数 大于 品 种 甲

24、的 样 本 平 均 数 ， 且 两 品 种 的 样 本 方 差 差 异不 大 ， 故 应 该 选 择 种 植 品 种 乙 . 知 识 回 顾 求 离 散 型 随 机 变 量 的 期 望 、 方 差 通 常 有 哪 些 步 骤 ？ 在 解 决 上 述 问 题 中 经 常 要 用 到 哪 些 性 质 、 公 式 ？ 21 1 2 ( ) ( ) ( )( , ), , (1 )n ni i i ii iE x p D x E pE a b aE b D a b a DB n p E np D np px x xx x x xx x x ； 若 则求 分 布 列 求 期 望 求 方 差 10 1 1

25、ni iip p 分 布 列 性 质 6.根 据 统 计 ， 一 年 中 一 个 家 庭 万 元 以 上 的 财 产 被 盗 的 概 率 为0.01， 保 险 公 司 开 办 一 年 期 万 元 以 上 家 庭 财 产 保 险 ， 参 加 者需 交 保 险 费 100元 ， 若 在 一 年 以 内 ， 万 元 以 上 财 产 被 盗 ， 保险 公 司 赔 偿 a元 （ a100） ， 问 a如 何 确 定 ， 可 使 保 险 公 司 期望 获 利 ？7、 每 人 交 保 险 费 1000元 ， 出 险 概 率 为 3%， 若 保 险 公 司 的赔 偿 金 为 a（ a 1000） 元 ， 为

26、使 保 险 公 司 收 益 的 期 望 值 不低 于 a的 百 分 之 七 ， 则 保 险 公 司 应 将 最 大 赔 偿 金 定 为 多 少 元 ？8、 设 X是 一 个 离 散 型 随 机 变 量 ， 其 概 率 分 布 为 求 ： （ 1） q的 值 ； （ 2） EX， DX。X -1 0 1P 1/2 1-2q 2q 9.（ 11.全 国 ） 某 商 场 经 销 某 商 品 ， 根 据 以 往 资 料统 计 ， 顾 客 采 用 的 分 起 付 款 期 数 的 分 布 列 为 ： x1 2 3 4 5P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1x商 场 经 销 一 件 该 商 品 ， 采

27、 用 1期 付 款 ， 其 利 润 为 200元 ， 分 2期 或 3期 付 款 ， 其 利 润 为 250元 ， 分 4期 或 5期 付 款 ， 其 利 润 为 300元 ， 表 示 经 销 一 件 该 商 品 的利 润 。（ 1） 求 事 件 A： ” 购 买 该 商 品 的 3位 顾 客 中 ， 至 少 有一 位 采 用 1期 付 款 ” 的 概 率 P(A)；（ 2） 求 的 分 布 列 及 期 望 E 。 10(07 .20) 13 6 28 6 2. . ( E;P( E) ： 安 徽 （ 本 小 题 分 ）在 医 学 生 物 学 试 验 中 ， 经 常 以 果 蝇 作 为 试 验

28、 对 象 ， 一个 关 有 只 果 蝇 的 笼 子 里 ， 不 慎 混 入 了 只 苍 蝇 （ 此 时 笼内 有 只 蝇 子 ： 只 果 蝇 和 只 苍 蝇 ） ， 只 好 把 笼 子 打 开 一个 小 孔 ， 让 蝇 子 一 只 一 只 地 往 外 飞 ， 直 到 两 只 苍 蝇 都 飞出 ， 再 关 闭 小 孔 以 表 示 笼 内 还 剩 下 的 果 蝇 的 只 数 写出 的 分 布 列 ； 不 要 求 写 计 算 过 程 ） 求 数 学 期 望 求 概 率 析 :审 清 题 意 是 解 决 该 题 的 关 键 . 1.抓 住 蝇 子 一 个 个 有 顺 序 地 飞 出 ,易 联 想 到

29、把 8只 蝇 子 看 作 8个 元 素 有 序 排 列 . ， 由 于 =0“表 示 ” ， 最 后 一 只 必 为果 蝇 ， 所 以 有 =1“表 示 ” P （ =0 ）= ， 同 理 有 P （ =1 ） = =2“表 示 ” 有 P （ =2） = =3“表 示 ” 有 P （ =3） =4“表 示 ” 有 P （ =4） = =5“表 示 ” 有 P （ =5） =6“表 示 ” 有 P （ =6） =1 72 788 728A AA 1 1 62 6 688 628A A AA 2 1 56 2 588 528A A AA 3 1 46 2 488 428A A AA 0 1 2

30、3 4 5 6xp x 的 分 布 列7 6 5 4 3 2 10 1 2 3 4 5 628 28 28 28 28 28 28 2Ex 728 628 528 428 328 228 128( ) ( 2) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6) 15 28p E pp p p p px x xx x x x x 11、 （ 10， 重 庆 ） 某 单 位 有 三 辆 汽 车 参 加 某 种 事 故保 险 ， 单 位 年 初 向 保 险 公 司 交 纳 900元 的 保 险 金 ， 对在 一 年 内 发 生 此 种 事 故 的 每 辆 汽 车 ， 单 位 可 获 9000元 的

31、赔 偿 （ 假 设 每 辆 车 最 多 只 赔 偿 一 次 ） 。 设 这 三 辆车 在 一 年 内 发 生 此 种 事 故 的 概 率 分 别 为 1/9、 1/10、1/11， 且 各 车 是 否 发 生 事 故 相 互 独 立 ， 求 一 年 内 该单 位 在 此 保 险 中 ：（ 1） 获 赔 的 概 率 ；（ 2） 或 赔 金 额 的 分 布 列 与 期 望 。x 12、 若 随 机 事 件 A在 一 次 试 验 中 发 生 的 概 率 为p(0p1),用 随 机 变 量 X表 示 A在 1次 试 验 中 发 生的 次 数 。（ 1） 求 方 差 DX的 最 大 值 ；（ 2） 求 的 最 大 值 。2 1DXEX