机电控制系统的数学模型

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1、第 2章 机 电 控 制 系 统 的 数 学 模 型 2.1 概 述 数 学 模 型 ： 系 统 输 入 与 输 出 之 间 的 因 果 关 系 ， 即 描 述 系 统运 动 规 律 的 数 学 表 达 式 。 为 了 设 计 一 个 机 电 控 制 系 统 ， 首 先 需 要 建 立 它 的 数 学 模 型 ，也 就 是 建 模 。 一 旦 机 电 系 统 的 数 学 模 型 建 立 起 来 ， 就 可 以采 用 各 种 分 析 方 法 和 计 算 机 工 具 对 系 统 进 行 分 析 和 综 合 。数 学 模 型 的 常 见 形 式 ：把 输 出 量 与 输 入 量 之 间 的 关 系

2、用 数 学 方 式 表 达 出 来 。如 ， 微 分 方 程 、 传 递 函 数 、 差 分 方 程 等 等 。 系 统 f(xi) 输 入 xi 输 出 xo G(s) Xi (s) Xo (s) 11 1 011 1 0( )( ) ( ) m mo m mn ni n nX s b s b s b s bG s n mX s a s a s a s a 不 仅 可 以 描 述 系 统 的 输 入 、 输 出 之 间 的 关 系 ， 而 且 还 可 以 描述 系 统 的 内 部 特 性 。 特 别 适 用 于 多 输 入 、 多 输 出 系 统 ， 也 适用 于 时 变 系 统 、 非 线

3、 性 系 统 和 随 机 控 制 系 统 。 2( ) 1( ) ( ) 1oiU sG s U s LCs RCs ( )( ) ( ) ( )( )( )i cc di tu t Ri t L u tdtdu ti t C dt ( ) ( )o cu t u t 同 一 控 制 系 统 的 数 学 模 型 可 以 表 示 为 不 同 的 形 式 ， 需 要 根 据不 同 情 况 对 这 些 模 型 进 行 取 舍 ， 以 利 于 对 控 制 系 统 进 行 有 效分 析 与 设 计 。( ) 1 1( ) ( ) ( )( ) 1 ( )L L c ic Ldi t Ri t u t u

4、 tdt L L Ldu t i tdt C ( ) ( )o cu t u t1 11 000 1L L ic cLo cdi R idt L L uLdu uCdt iu u y x 2.2 控 制 系 统 的 微 分 方 程 与 状 态 空 间 描 述2.2.1 机 电 控 制 系 统 的 微 分 方 程非 齐 次 方 程 的 一 般 解 （ 系 统 的 全 响 应 ） 的 形 式 ( ) ( ) ( )o oh opx t x t x t ( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) 0n nn o n o o oa x t a x t ax t a x t ( ) 0ix

5、 t 11 1 0 0n nn na s a s as a 例 ： 图 所 示 高 通 滤 波 电 路 ， 求 ： 1） 系 统 零 输 入 时 的 自 由 运动 方 程 及 其 零 输 入 响 应 ； 2） 输 入 信 号 为 正 弦 交 流 电 压 时的 正 弦 输 入 响 应 。 ( ) ( ) ( )o o iTu t u t Tu t T RC 解 ： 系 统 的 微 分 方 程 为当 系 统 的 输 入 为 零 ： ui(t) 0 时 ， 其 系 统 的 自 由 运 动 方 程（ 齐 次 微 分 方 程 ） 为 ( ) ( ) 0 o oTu t u t T RC 其 零 输 入

6、响 应 （ 自 由 运 动 模 态 ） 为 1( ) Ttou t Ae T RC 式 中 ， A为 积 分 常 数 与 系 统 的 初 始 条 件 有 关 。 ( ) ( ) ( )( ) ( )1o o io iTsU s U s TsU s T RCTsU s U sTs 当 系 统 的 输 入 为 正 弦 交 流 电 压 ： ui(t) sint 时 ， 拉 氏 变 换 为2 2( )iU s s 当 系 统 的 输 入 信 号 为 正 弦 交 流 电 压 时 ， 由 系 统 微 分 方 程 两边 取 拉 氏 变 换 得输 出 响 应 的 拉 氏 变 换 为 2 2( ) 1 1o T

7、s a b cU s Ts s s j s j s T 式 中 ， a、 b、 c为 Uo (s)的 留 数 ， 待 定 系 数 。 系 统 的 正 弦 输 入 时 间 响 应 为2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 21 (1 )( )1 2(1 )(1 )( )1 2(1 )1( )1 1s js js TTs T j Ta s jTs s TTs T j Tb s jTs s TTs Tc sTs s T T 11( ) ( ) Ttj t j to ou t L U s ae be ce 由 留 数 定 理 求 得 代 入 待 定 系 数 得 系 统 的 正 弦 输 入 时 间 响

8、 应 为 12 2 2 2 2 2(1 ) (1 )( ) 2(1 ) 2(1 ) 1 Ttj t j to T j T T j T Tu t e e eT T T 将 上 式 中 第 一 项 和 第 二 项 合 并 12 22 21( ) sin( ) 111tan Tto T Tu t t eTTT 当 时 间 t时 ， 系 统 的 稳 态 响 应 为 12 2 1( ) sin( ) tan1o Tu t t TT 2.2.2 控 制 系 统 的 状 态 空 间 描 述 对 一 个 线 性 定 常 系 统 ， 用 高 阶 常 微 分 方 程 或 传 递 函数 来 描 述 ， 反 映 系

9、统 输 出 响 应 与 输 入 的 关 系 ， 也 称 为外 部 描 述 。 一 般 只 能 处 理 单 输 人 单 输 出 系 统 ， 并 且 对存 在 于 系 统 内 部 的 中 间 变 量 是 不 能 描 述 的 。 现 代 控 制理 论 引 入 了 状 态 和 状 态 空 间 的 概 念 ， 用 由 状 态 变 量 构成 的 一 阶 微 分 方 程 组 来 描 述 ， 揭 示 系 统 的 内 部 特 征 ，也 称 为 内 部 描 述 。 可 以 处 理 多 输 人 多 输 出 系 统 ， 而 且还 可 以 方 便 地 处 理 初 始 条 件 。 因 此 ， 作 为 根 据 现 代 控制

10、 理 论 对 控 制 系 统 进 行 分 析 和 综 合 的 前 提 ， 必 须 首 先建 立 控 制 系 统 在 状 态 空 间 中 的 数 学 模 型 ， 即 控 制 系 统的 状 态 空 间 描 述 。 1.例 子通 过 下 面 两 个 例 子 说 明 引 人 状 态 空 间 分 析 方 法 建 立 数 学 模 型 的过 程 以 及 状 态 空 间 的 一 些 基 本 概 念 。 (1) R-L-C电 网 络 例u为 输 入 变 量 ， y为 输 出 变 量 ， 求它 的 数 学 模 型根 据 基 尔 霍 夫 电 路 定 律 ， 有 电 压平 衡 方 程 1 ( )diRi L idt

11、u tdt C 消 去 中 间 变 量 i， 得 系 统 的 微 分 方 程 为在 零 初 始 条 件 下 ， 用 传 递 函 数 形 式 表 示 为 （ 2） 机 电 系 统 例 图 1-2为 直 流 他 励 电 动 机 的 示 意 图 。 根 据 电 枢 回 路 电 压 平 衡 方 程 ， 有根 据 力 矩 平 衡 方 程 ， 有 由 电 动 机 原 理 ， 有消 去 中 间 变 量 i， 得在 零 初 始 条 件 下 ， 相 应 的 传 递 函 数 为 则 式 (1-5)改 写 为写 成 矩 阵 方 程建 立 一 阶 微 分 方 程 组 通 过 上 面 两 个 例 子 ， 可 得 如 下

12、 几 个 概 念 ：1)高 阶 微 分 方 程 通 过 选 择 适 当 的 变 量 可 变 为 一 阶 微 分 方 程 组 。2)一 阶 微 分 方 程 组 的 个 数 等 于 变 量 的 个 数 ， 即 等 于 高 阶 微 分 方程 的 阶 数 。3)变 量 的 选 择 不 是 唯 一 的 ， 选 择 的 变 量 不 同 ， 得 到 的 方 程 组 也不 同 。2.状 态 变 量 和 状 态 矢 量 状 态 是 指 系 统 的 运 动 状 态 。 状 态 变 量 是 完 全 表 征 系 统 运 动 状态 的 且 个 数 最 少 的 一 组 变 量 。 n阶 微 分 方 程 描 述 的 系 统

13、 有 n个 独立 变 量 ， 当 这 n个 独 立 变 量 的 时 间 响 应 都 求 得 时 ， 系 统 的 运 动状 态 也 就 被 揭 示 无 遗 了 。 因 此 ， n阶 系 统 的 状 态 变 量 就 是 系 统的 n个 独 立 变 量 。 状 态 变 量 选 取 说 明 如 下 ： 1)同 一 个 系 统 ， 状 态 变 量 的 选 取 不 是 唯 一 的 。 2)状 态 变 量 相 互 独 立 的 ， 其 个 数 应 等 于 微 分 方 程 的 阶 数 。 3)状 态 变 量 在 初 始 时 刻 t 0的 值 ， 就 是 系 统 的 初 始 状 态 ， 即 系 统的 n个 独 立

14、 初 始 条 件 。 则 x(t)被 称 为 。 (1)状 态 空 间 与 状 态 轨 迹 以 状 态 变 量 x1， x2， ， xn为 坐 标 轴 构 成 的 ， n维 空 间 称 为状 态 空 间 。 状 态 空 间 中 的 每 一 点 都 代 表 了 状 态 变 量 的 唯 一 的、 特 定 的 一 组 值 。 换 言 之 ， 在 某 一 时 刻 t1的 状 态 矢 量 x(t1)在 状态 空 间 中 是 一 个 点 ， 而 初 始 时 刻 to的 状 态 x(to)是 状 态 空 间 的 一个 初 始 点 。 随 着 时 间 的 推 移 ， tto， x(t)将 在 状 态 空 间

15、中 描 绘出 一 条 轨 迹 ， 称 为 状 态 轨 迹 。 状 态 空 间 ： 所 有 n维 状 态 向 量 的 全 体 便 构 成 了 实 数 域 上 的 n维 状 态 空 间 。 状 态 轨 迹 ： 在 状 态 空 间 中 ， 时 间 t是 一 个 参 变 量 ， 某 一 时 间 t的 状 态 是 状 态 空 间 中 的 一 个 点 ， 而 一 段 时 间 下 状 态 的 集 合 称为 系 统 在 这 一 时 间 段 的 状 态 轨 迹 ， 有 时 也 称 作 相 轨 迹 。（ 2） 输 入 向 量 和 输 出 向 量 输 入 向 量 ： 将 系 统 的 各 个 输 入 量 看 成 一

16、个 列 向 量 。 )(tu )( )( )()( 21 tu tu tut lu l 输 出 向 量 ： 将 系 统 的 各 个 输 出 量 看 成 一 个 列 向 量 。 )(ty )()()()( 21 ty ty tyt my m主 意 ： 系 统 的 状 态 和 系 统 的 输 出 是 两 个 不 同 的 概 念 。 系 统 的 输 出 通 常 有 明 确 的 物 理 含 义 ， 是 可 以 测 量 的 ； 系 统 的 状 态 不 一 定 有 物 理 含 义 ， 不 一 定 可 以 测 量 ； 在 线 性 系 统 中 ， 输 出 是 系 统 状 态 变 量 中 某 一 个 或 某 几

17、 个 的线 性 组 合 。 用 状 态 变 量 构 成 输 入 、 输 出 与 状 态 之 间 的 关 系 方 程 组 即 为 状态 空 间 描 述 。 记 为（ 1） 单 输 入 -单 输 出 线 性 定 常 系 统 状 态 空 间 描 述 的 一 般 形 式 为 简 洁 地 写 成 矩 阵 形 式式 中 x 前 述 例 ： 11 0RL LC A 10L b 10 C c1 2xx x 0d式 中 在 状 态 空 间 描 述 中 ， 上 述 的 式 (1-6)、 式 (1-8)和 式 (1-10)为 状 态方 程 ， 式 (1-7)、 式 (1-9)和 式 (1-11)为 输 出 方 程

18、。（ 2） 多 输 入 多 输 出 系 统 设 有 r个 输 入 ， m个 输 出 ， 此 时 状 态 空 间 描 述 为 写 成 矩 阵 形 式 为式 中 , x和 A与 单 变 量 (单 输 入 -单 输 出 )系 统 相 同 ， 分 别 为 n维 状态 矢 量 和 n n系 统 矩 阵 ； 同 样 ， 状 态 空 间 描 述 由 式 (1-12)状 态 方 程 和 式 (1-13)输 出 方 程组 成 。 传 递 函 数 和 状 态 空 间 描 述 如 图 所 示 。 从 状 态 空 间 描 述和 系 统 框 图 都 能 清 楚 地 说 明 ， 它 们 既 表 征 了 输 人 对 于 系

19、 统 内部 状 态 的 因 果 关 系 ， 又 反 映 了 内 部 状 态 对 于 外 部 输 出 的 影 响 ，即 完 全 表 征 系 统 的 一 切 动 力 学 特 征 ， 所 以 状 态 空 间 描 述 是 对系 统 的 一 种 完 全 的 描 述 。 G(s)U(s) Y(s) 状 态 方 程 输 出 方 程 nxxx21 传 递 函 数 只 能 描 述 系 统 外 部 的 输 入 输 出 关 系 ， 并 不 能 反 映 系统 内 部 状 态 的 变 化 ， 我 们 称 之 为 外 部 描 述 。状 态 空 间 表 达 式 将 输 入 输 出 间 的 信 息 传 递 分 为 两 段 来

20、 描 述 。第 一 段 是 输 入 引 起 系 统 内 部 状 态 发 生 变 化 ， 用 状 态 方 程 描 述 ；第 二 段 是 系 统 内 部 的 状 态 变 化 引 起 系 统 输 出 的 变 化 ， 用 输 出方 程 描 述 。 由 此 可 见 ， 状 态 空 间 表 达 式 在 一 定 程 度 上 描 述 了系 统 内 部 变 量 的 变 化 ， 所 以 我 们 称 之 为 内 部 描 述 。 例 ： 求 前 述 例 1的 另 一 状 态 方 程 。系 统 的 微 分 方 程 为1 2,x y x y 设 状 态 变 量 ：即 系 统 的 状 态 方 程 为 ： 系 统 的 输 出

21、 方 程 为 ： 1y x其 矩 阵 方 程 为 :1 22 1 21 1x x Rx y x x uLC L LC 0 11 RLC L A 01LC b 1 0c12xx x 0d式 中 ， 在 状 态 空 间 分 析 中 ， 常 用 状 态 结 构 图 来 反 映 系 统 各 状 态 变 量之 间 的 信 息 传 递 关 系 。和 经 典 控 制 理 论 相 类 似 ， 可 以 用 框 图 表 示 系 统 信 号 的 传 递 关系 。 单 变 量 系 统 图 中 用 单 线 箭 头 表 示 标 量 信 号 传 递 ， 用 双 线 箭 头 表 示 矢 量 信号 传 递 。 从 状 态 空

22、间 描 述 和 系 统 框 图 都 能 清 楚 地 说 明 ， 它 们 既 表 征了 输 人 对 于 系 统 内 部 状 态 的 因 果 关 系 ， 又 反 映 了 内 部 状 态 对于 外 部 输 出 的 影 响 ， 即 完 全 表 征 系 统 的 一 切 动 力 学 特 征 ， 所以 状 态 空 间 描 述 是 对 系 统 的 一 种 完 全 的 描 述 。多 变 量 系 统 例 -1 一 阶 微 分 方 程例 -2二 阶 微 分 方 程 1y x1 22 1 21 1x x Rx y x x uLC L LC 例 -3 已 知 三 阶 单 变 量 系 统 的 状 态 空 间 描 述 为

23、cu1i 2i1u 1R 2R1L 2LC 2u例 试 建 立 下 图 所 示 电 路 网 络 的 状 态 方 程 和 输 出 方 程 。 2222 11111 21 iRdtdiLu udtdiLiRu idtduCic cc 122223121 , uuiRuyixixux c 3221223 11111112 211 1 11 11 xLRxLdtdix uLxLRxLdtdix iCiCdtdux c 3212 132 1222 111321 00 01001 01 110 xxxRy uLxxxLRL LRL CCxxx 5. 传 递 函 数 矩 阵例 ： 系 统 如 下 图 所 示

24、 ， 输 入 为 和 ， 输 出 为 。1u 2u 2x 1u R 2u R RC C1x 2x1i 2i 3i 解 ： 列 写 回 路 的 电 压 方 程 和 节 点 的 电 流 方 程 322 211 223 122 111 idtdxCi idtdxCi xuRi xRxx uRix选 取 为 状 态 变 量 ， 输 出 ， 得 系 统 的 状 态 空 间 表达 式 为 21,xx 2xy 2 2212 1211 121 112xy uRCxRCxRCx uRCxRCxRCx 设 初 始 条 件 为 零 ， 对 上 式 两 端 进 行 拉 普 拉 斯 变 换 ， 得 )(1)(2)(2)

25、( )(1)(1)(2)( 2212 1211 suRCsxRCsxRCsxs suRCsxRCsxRCsxs消 去 并 整 理 得)(1 sx )(34 2)(341)( 222212222 suRCssCR RCssuRCssCRsx 写 成 向 量 矩 阵 形 式 为 )( )(34 2341)( 212222222 su suRCssCR RCsRCssCRsx )()()( ssGs uy 其 中 :)(su 输 入 变 量 的 Laplace变 换 象 函 数:)(sy 输 出 变 量 的 Laplace变 换 象 函 数 )()( 2 sxs y )( )()( 21 su su

26、su:)(sG 传 递 函 数 矩 阵传 递 函 数 矩 阵 )( )( )()( 21 su su sulsu )( )( )()( 21 sy sy symsy:)(tu 维 输 入 向 量l :)(ty 维 输 出 向 量m )()()( )()()( )()()()( 21 22221 11211 sss sss ssssG mlmm llggg ggg ggg 则 对 应 的 系 统 的 传 递 函 数 矩 阵 为 )()()()()()()( 2211 sussussussy liliii ggg )(0)( )()( jkujiij ksu sys 所 有g )(sGu y多 输

27、 入 量 多 输 出 量 的 对 象 常 用 复 线 框 来 表 示 6.传 递 函 数 矩 阵 与 状 态 空 间 表 达 式 之 间 的 关 系 DuCxy BuAxx )()()( )()()( 1 sss sss uDxCy uBAIx )()()()()()( 11 ssssss uDBAICuDuBAICy DBAIC 1)()( ssG )()()( )()()( sss ssss uDxCy uBxAx )()()( )()()( sss sss uDxCy uBxAI 1 adj( )( ) det( )sI AsI A sI A adj( )( ) det( )adj( )

28、 det( )det( )sI AG s C B DsI AC sI A B sI A DsI A det( ) 0sI A 设 系 统 的 动 态 方 程 为试 求 该 系 统 的 传 递 函 数 矩 阵 。1 1 12 2 21 12 20 1 1 00 2 0 11 00 1x x ux x uy xy x 例 : 解 :已 知 0 1 1 0 1 0, , , 00 2 0 1 0 1A B C D 故 11 1 11 ( 2)( ) 0 2 10 2s s s ssI A s s 1( ) ( )1 11 0 1 0( 2)0 1 0 110 21 1( 2)10 2 G s C s

29、I A Bs s sss s s s 0 1 0 00 0 1 06 11 6 1A b 设 系 统 的 状 态 方 程 为试 求 系 统 的 特 征 方 程 和 特 征 值 。例 : 3 21 0det( ) det 0 1 6 11 6 06 11 6det( ) ( 1)( 2)( 3) 0ssI A s s s sssI A s s s 系 统 的 特 征 方 程 为解 :特 征 方 程 的 根 为 -1、 -2和 -3。 矩 阵 A的 特 征 值 也 为 -1、 -2和 -3。两 者 是 一 样 的 。 例 ： 求 下 列 系 统 的 传 递 函 数 矩 阵 。 DuCxy BuAx

30、x 其 中 10 00 03,12 11 12,11 01,32 10 DCBA解 ： DBAIC 1)()( ssG 10 00 0311 0132 112 11 12 1ss 10 00 0311 012 1312 11 122312 ssss 10 00 03263 122 2632312 ss ss ssss 113 2122 111)2(3 sss ss sss 例 ： 求 下 列 系 统 的 传 递 函 数 矩 阵 。 DuCxy BuAxx 其 中 10 00,100 011,20 01 01,220 233 245 DCBA解 ： DBAIC 1)()( ssG 1)(1 AI

31、s） 先 求（ 220 233 245)( ssss AI AI AIAI ssadjs )()( 1 )3)(1()5(26 )2(2)2)(5()2(3 )1(2)1(4)2)(1()2()1( 1 2 sss ssss ssssss 2 ( )G s（ ） 求 系 统 的 传 递 函 数 矩 阵DBAIC 1)()( ssG 10 0020 01 01)2()1( )3)(1()5(26 )2(2)2)(5()2(3 )1(2)1(4)2)(1(100 011 2 ss sss ssss ssss )2()1( 496)1( 2 )2()1( 4)1( 1 2232 22 ss ssss

32、 sss 11 1 011 1 0( )( ) ( ) m mo m mn ni n nX s b s b s b s bG s n mX s a s a s a s a * 11 ( )( )( ) ( ) ( )m iin jj s zM sGs K n mN s s p ( 1,2, , )iz i m ( 1,2, , )jp j n * mnbK a11 1 0 1 ( ) 0nn nn n jja s a s as a s p 0 1( 1,2, , ) ( , , , )j j ns p j n f a a a ( 1,2, , ) ( 1,2, , ) ( 1,2, , ) (

33、 1,2, , )i j k lT i g T j h T i p T j q 、 、 、2 21 1 2 21 1( 1) ( 2 1)( ) ( 1) ( 2 1) dp qk l l l T sk lg hv i j j ji jK Ts T s TsG s es Ts T s Ts 00bK a * 11m iin jj zK K n mp X HGi(s) XO(s)(s)(s)B(s) E(s)闭 环 系 统 的 方 框 图( )( ) 1 ( ) ( )G ss H s G s ( ) ( ) ( )kG s H s G s *1 1* 11 1( ) ( )( )( ) 1 (

34、 ) 1 ( ) ( )n mm j ii j iik n nj jj js p K s zs zF s G s K s p s p 例 ： 图 所 示 高 通 滤 波 电 路 ， 求 输 入 信 号 为 正 弦 交 流 电 压 时 的 正弦 输 入 响 应 。 ( ) ( ) ( )o o iTu t u t Tu t T RC 解 ： 系 统 的 微 分 方 程 为 ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 1 o o ioiTsU s U s TsU s T RCU s TsG s U s Ts 当 系 统 的 输 入 信 号 为 正 弦 交 流 电 压 时 ， 由 系 统 微 分 方

35、 程 两边 取 拉 氏 变 换 得传 递 函 数 当 系 统 的 输 入 为 正 弦 交 流 电 压 ： ui(t) Aisint 时 ， 拉 氏 变 换为 2 2( ) ii AU s s 输 出 响 应 的 拉 氏 变 换 为 2 2( ) 1 1io ATs a b cU s Ts s s j s j s T 式 中 ， a、 b、 c为 Uo (s)的 留 数 ， 待 定 系 数 。系 统 的 正 弦 输 入 时 间 响 应 为 11( ) ( ) Ttj t j to ou t L U s ae be ce 2 2 2 22 2 2 22 2 2 21 (1 )( )1 2(1 )(

36、1 )( )1 2(1 )1( )1 1i is ji is ji is T A A T j TTsa s jTs s TA A T j TTsb s jTs s TA A TTsc sTs s T T 由 留 数 定 理 求 得代 入 待 定 系 数 得 系 统 的 正 弦 输 入 时 间 响 应 为 12 2 2 2 2 2(1 ) (1 )( ) 2(1 ) 2(1 ) 1 Ttj t j ti i io A T j T A T j T A Tu t e e eT T T 将 上 式 中 第 一 项 和 第 二 项 合 并 12 22 21( ) sin( ) 111tan Ttio A

37、 T Tu t t eTTT 当 时 间 t时 ， 系 统 的 稳 态 响 应 为 12 2 1( ) sin( ) tan1 io A Tu t t TT 可 见 ， 系 统 的 频 率 响 应 的 幅 值 随 输 入 信 号 频 率 变 化 而 变 化 ，其 相 位 也 是 随 输 入 信 号 的 频 率 变 化 而 变 化 。 当 频 率 趋 近 无 穷大 时 输 出 幅 值 才 与 输 入 幅 值 相 等 。( ) ( ) sin( ( )i iu t A A t 2 2()( ) () 1oiu t TA u t T ( ) sin( )i iu t A t( ) ( ) sin(

38、( )i iu t A A t 2 2( ) sin( )1 io A Tu t tT 1 1( ) ( ) tant t T ( )( ) ( ) jG j A e 2 2( ) ( ) 1 TA G j T 1 1( ) ( ) tanG j T 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 1 1 1s j j T T TG j G s jj T T T 2 22 2( ) 1 TU T 2 2( ) 1 TV T ( )( ) ( ) ( ) ( ) jG j U jV A e 22 )()()()( VUjGA )( )()()( UVarctgjG )(cos)()(Re)( AjGU )

39、(sin)()(Im)( AjGV )(sin)()cos()()( )( jAeAjG j ( ) cos ( ) sin ( )je j Im Re)( jG )( 12 3 0 )(V)(U )(A )( jG 对 数 频 率特 性 曲 线 )(log20)( AL dB)()( jG 0)(1)( cc LA 180)( g 2.4 机 电 离 散 控 制 系 统 的 数 学 模 型D/A 控 制对 象r (t) e (t) c (t) 数 字控 制 器A/D 检 测 元 件e*(t) u*(t) uh(t)计 算 机 控 制 系 统 原 理在 计 算 机 采 样 控 制 系 统 中

40、， 因 为 在 计 算 机 内 参 与 运 算 的 信 号是 二 进 制 数 码 ， 所 以 要 利 用 计 算 机 来 实 现 系 统 的 控 制 目 标 ，首 先 要 在 控 制 系 统 中 通 过 模 数 转 换 器 (A D)， 把 控 制 目 标 的连 续 信 号 转 换 成 数 字 信 号 ， 送 给 计 算 机 构 成 的 数 字 控 制 器 ，经 过 数 字 控 制 器 的 数 字 计 算 ， 给 出 的 控 制 信 号 也 是 数 字 量 ，然 后 再 通 过 数 模 转 换 器 (D A)， 使 数 字 量 恢 复 成 连 续 的 控 制 作 用 ， 再 去 控 制 被 控

41、 对 象 。 在 分 析 采 样 控 制 系 统 时 ， 把 A D和 D A的 工 作 过 程 理 想 化 ，即 认 为 A D转 换 相 当 于 一 个 每 隔 T秒 瞬 时 接 通 一 次 的 理 想 采样 开 关 ， 它 把 连 续 信 号 变 成 数 字 信 号 ； 而 D A转 换 则 近 似 于一 个 保 持 器 ， 它 把 数 字 信 号 变 成 连 续 信 号 。图 2.4.2 采 样 控 制 系 统 结 构 图 由 于 在 离 散 系 统 中 存 在 着 脉 冲 或 离 散 的 数 字 信 号 以 及 信 号的 变 换 过 程 ， 因 此 ， 在 研 究 这 种 系 统 时

42、 ， 虽 在 一 定 程 度 上 可 以借 鉴 在 连 续 系 统 中 应 用 的 一 些 成 熟 的 方 法 ， 但 仍 然 有 它 本 身 的特 殊 性 ， 必 须 对 其 进 行 单 独 讨 论 。e*(t) u*(t) uh(t)Gh(s) Gp(s)r (t) e (t) c (t) GD(s) H(s)采 样 开 关 信 号 采 样 过 程 ， 就 是 按 照 一 定 的 时 间 间 隔 对 系统 中 的 连 续 信 号 进 行 采 样 ， 将 连 续 信 号 变 换 为 时 间上 离 散 的 脉 冲 序 列 的 过 程 。 用 来 实 现 采 样 过 程 的 装置 称 为 采 样

43、 器 或 采 样 开 关 ， 它 可 以 用 一 个 按 一 定 周期 （ 即 采 样 周 期 ） 进 行 闭 合 操 作 的 开 关 来 表 示 。 采样 开 关 的 采 样 周 期 为 T， 采 样 开 关 的 采 样 周 期 为 T，每 次 闭 合 时 间 为 ， 如 图 2.4.3所 示 。 通 常 远 小 于 采样 周 期 T和 系 统 中 连 续 部 分 的 时 间 常 数 ， 可 以 近 似的 认 为 0。 图 2.4.3 模 拟 信 号 的 采 样采样过程可以看成是一个电子系统中的脉冲调制过程。理想的采样器等效于一个理想的单位脉冲序列发生器，它能够产生单位脉冲序列 ，如图2.4

44、.4所示。单位脉冲序列 的数学表达式为)(tT)(tT kT kTtt )()( k =0， 1， 2为 整 数 (2.4.1) 根 据 图 2.4.4， 的 数 学 表 达 形 式 可 写 成 ：)(* te kkT kTtkTekTttettete )()()()()()()(* (2.4.2)调 制 器 e*(t)e (t) T(t) 图 2.4.4 单 位 脉 冲 序 列 和 采 样 信 号 的 调 制 可见，满足单位脉冲函数定义的脉冲串 相当于一种载波信号。实际系统中 t0时， ，所以上式可改写为)(tT 0)( te 0* )()()( k kTtkTete 综上所述，采样过程相当

45、于一个脉冲调制过程，采样开关的输出信号 可表示为两个函数的乘积，其中载波信号 决定输出函数存在的时刻，而采样信号的幅值由输入信号 决定。 )( * te)(tT )(kTe (2.4.3) 式 中 , 傅 里 叶 系 数 ； (1)采 样 信 号 拉 氏 变 换 与 连 续 信 号 拉 氏 变 换 之 间 关 系 )(tT 因 为 理 想 单 位 脉 冲 序 列 是 一 个 以 T为 周 期 的 函 数 ， 可以 展 开 为 傅 里 叶 级 数 ， 其 复 数 形 式 为 tjkk nT seAt )( TdtetTA TT tjkTn s 1)(1 2/ 2/ Tfss 22 代 入 ,有

46、k tjkT* se(t)eT(t)e(t)(t)e 1 (2.4.4)(2.4.5)为 采 样 角 频 率 。 上 式 反 映 了 采 样 函 数 的 拉 氏 变 换 式 和 连 续 函 数拉 氏 变 换 式 之 间 的 关 系 ， 这 表 明 是 s的周 期 性 函 数 。故 的 拉 氏 变 换 为)(* te k sjksETsE )(1)(* (2.4.6)(sE )(* sE )(* sE用 代 入 上 式 ， 得 到 采 样 信 号 的 傅 里 叶 变 换 ： js k skjETjE )(1)(* (2.4.7) 上 式 反 映 了 采 样 后 的 离 散 信 号 频 谱 与 连

47、 续 信 号 频 谱 之间 的 关 系 。 通 常 ， 连 续 函 数 e(t)的 频 带 宽 度 有 限 ， 其 最大 截 止 频 率 为 max， 为 一 孤 立 的 频 谱 ， 如 图 2.4.5a所 示 。 由 图 2.4.5可 见 ， 相 邻 两 部 分 频 谱 互 不 重 叠 的 条件 是 s2max (2.4.8)( jE 采 样 之 后 ， 离 散 序 列 的 频 谱 是 无 限 多 个 频 谱 的 周期 重 复 ， 其 幅 值 为 的 1/T， 周 期 为 s， k=0时 为主 频 谱 。如 图 2.4.5b所 示 ,根 据 采 样 频 率 s的 大 小 ， 可 能 有两 种

48、 情 况 ，1） 当 s2max， 采 样 信 号 的 频 谱 不 会 发 生 重 迭 ；2） 当 s2max， 采 样 信 号 的 频 谱 发 生 重 迭 。 香 农 采 样 定 理 的 物 理 意 义 即 是 对 最 高 频 率 的 正 弦信 号 ， 在 一 个 周 期 内 至 少 应 采 样 两 次 (正 负 值 各 采 样一 次 )。 香 农 采 样 定 理 是 选 择 采 样 周 期 的 一 个 重 要 依据 。 )(* te)( jE )( jE 为 使 采 样 后 的 信 号 不 丢 失 原 连 续 信 号 的 信 息 ， 或 者 说 为 了能 将 采 样 后 的 离 散 信 号

49、 恢 复 为 原 连 续 信 号 ， 必 须 使 采 样 信 号 的频 谱 中 各 部 分 相 互 不 重 叠 ， 这 样 就 可 以 采 用 一 个 低 通 滤 波 器 滤掉 所 有 的 高 频 分 量 ， 只 保 留 主 频 谱 ， 这 个 低 通 滤 波 器 就 是 下 面要 介 绍 的 将 离 散 信 号 恢 复 成 连 续 信 号 的 零 阶 保 持 器 。 根 据 采 样定 理 ， 在 s2max的 条 件 下 ， 离 散 信 号 频 谱 中 各 分 量 彼 此 互 不重 叠 ， 采 用 理 想 的 低 通 滤 波 器 滤 去 各 高 频 分 量 ， 保 留 主 频 谱 ，就 可

50、以 无 失 真 地 恢 复 为 原 连 续 信 号 。 但 上 述 理 想 滤 波 器 在 实 际上 难 以 实 现 ， 因 此 ， 必 须 寻 找 在 特 性 上 比 较 接 近 理 想 滤 波 器 ，而 实 际 上 又 可 以 实 现 的 滤 波 器 ， 在 采 样 控 制 中 应 用 的 保 持 器 就是 这 种 实 际 的 滤 波 器 。 保 持 器 是 一 种 采 用 时 域 外 推 原 理 的 装 置 。结 构 最 简 单 ， 应 用 最 广 泛 的 是 零 阶 保 持 器 。 微 型 计 算 机 输 出 通道 中 的 D A转 换 器 就 是 零 阶 保 持 器 。 零 阶 保

51、持 器 是 采 用 恒 值 外 推 规 律 的 保 持 器 。 它 的 作 用 是 把采 样 时 刻 kT的 采 样 值 e(kT)恒 定 不 变 地 保 持 (外 推 )到 下 一 采 样 时刻 (k+1)T。 也 就 是 说 ， 在 时 间 t kT， (k+1)T区 间 内 ， 它 的 输出 量 一 直 保 持 为 e(kT)这 个 值 。 其 输 入 信 号 和 输 出 信 号 的 关 系如 图 2.4.6所 示 。 零 阶 保 持 器 的 输 出 信 号 是 阶 梯 形 的 ， 包 含 着高 次 谐 波 ， 与 要 恢 复 的 连 续 信 号 是 有 一 些 区 别 的 。 若 将

52、阶 梯形 输 出 信 号 的 各 中 点 连 接 起 来 ， 可 以 得 到 一 条 比 连 续 信 号 迟后 T/2的 曲 线 ， 这 反 映 了 零 阶 保 持 器 的 相 位 滞 后 特 性 。 e *(t) eh(t)零 阶 保 持 器图 2.4.6 连 续 信 号 与 采 样 信 号 当 零 阶 保 持 器 的 输 入 为 单 位 脉 冲 时 ， 其 输 出 是 一 个 高 度 为 1，宽 度 为 T的 矩 形 波 ， 即 零 阶 保 持 器 的 单 位 脉 冲 响 应 gh(t)。 它 可以 分 解 为 两 个 单 位 阶 跃 函 数 的 叠 加 （ 图 2.4.7所 示 ） ：g

53、h(T)=1(t)-1(t-T) 图 2.4.7 零 阶 保 持 器 单 位 脉 冲 响 应setgLsG Tshh 1)()( (2.4.9) 此 即 是 零 阶 保 持 器 的 传 递 函 数 。 零 阶 保 持 器 单 位 脉 冲 响 应 的 拉 氏 变换 式 为 令 式 (2.4.9)中 ， 可 求 得 零 阶 保 持 器 的 频 率 特 性 为 s j )()()cos1(sin1)( jGjGTjTjejG hhTjh (2.4.10) (2.4.11) 幅 频 特 性 和 相 频 特 性 分 别 为2 2sin (1 cos ) sin( /2)( ) /2(1 cos )( )

54、 arctan sin 2h h T T TG j T TT TG j T 零 阶 保 持 器 的 幅 频 特 性 ， 其 幅 值 随 着 频 率 的 增 大 而 衰 减 ， 具 有 明 显 的 低 通 滤波 特 性 ， 主 频 谱 与 连 续 信 号 相 似 ， 但 还 存 在 一 些 高 频 分 量 。 因 此 ， 其 转 换 后 的连 续 信 号 与 原 来 的 信 号 是 有 些 差 别 的 。 此 外 ， 由 相 频 特 性 可 见 ， 采 用 零 阶 保 持器 还 将 产 生 相 角 滞 后 ， 对 稳 定 性 不 利 。 T越 小 ， 采 样 系 统 越 接 近 于 连 续 系

55、统 ，但 计 算 机 负 担 加 重 ， 对 计 算 机 运 算 速 度 等 要 求 越 高 。 在 传 统 连 续 系 统 的 控 制 器 设 计 与 分 析 中 ， 一 般 应 用 微 分方 程 、 系 统 的 传 递 函 数 和 频 率 特 性 等 方 法 进 行 研 究 ， 其 中 最重 要 的 工 具 就 是 拉 氏 变 换 。 一 个 连 续 信 号 f(t)的 拉 氏 变 换 是 复变 量 s的 有 理 分 式 函 数 ， 微 分 方 程 通 过 拉 氏 变 换 后 也 可 以 转 换为 s的 代 数 方 程 ， 从 而 大 大 简 化 微 分 方 程 的 求 解 ， 方 便 得

56、 到 系统 的 频 率 特 性 。 而 在 采 样 控 制 系 统 中 存 在 着 脉 冲 或 数 字 的 离散 信 号 以 及 离 散 信 号 与 连 续 信 号 的 变 换 过 程 ， 因 此 ， 如 果 仍沿 用 拉 氏 变 换 得 到 的 传 递 函 数 来 分 析 系 统 ， 那 么 拉 氏 变 换 就会 在 运 算 中 给 我 们 带 来 复 变 量 的 超 越 函 数 ， 使 得 计 算 与 分 析难 以 顺 利 进 行 。 为 了 避 免 这 种 情 况 出 现 ， 用 一 种 新 的 工 具 z变换 替 代 拉 氏 变 换 ， 用 差 分 方 程 或 z传 递 函 数 来 描

57、 述 采 样 控 制 系统 的 数 学 模 型 。 对 于 连 续 函 数 ， 它 的 拉 氏 变 换 为 ： )(tx 0 )()()( dtetxtxLsX st 0* )()()( k kTtkTxtx x(t)的 采 样 信 号 为 00 0* )()()()()( k kTsstk ekTxdtekTtkTxtxLsX (2.4.13) (2.4.14) 上 式 中 的 是 s的 超 越 函 数 ， 不 便 于 直 接 进 行 运 算 。 因 此 ，我 们 引 入 一 个 新 的 复 变 量 ， 将 它 代 人 式 (2.4.14)得sTe Tsez 取 拉 氏 变 换 则 为 0*

58、 )()()( k kzkTxzXtxZ (2.4.15) 定 义 式 (2.4.15)为 采 样 函 数 的 z变 换 ， 记 为 。 )(* tx )()( txZzX 由 上 述 z变 换 的 定 义 可 见 ， z变 换 实 际 是 拉 氏 变 换 的 一 种 变 形 。严 格 地 讲 ， z变 换 只 适 用 于 使 用 离 散 信 号 的 情 况 ， 即 z变 换 式 只表 征 了 连 续 函 数 在 采 样 时 刻 的 特 性 ， 而 不 能 反 映 采 样 时 刻 之 间的 特 性 。 但 人 们 往 往 根 据 习 惯 称 是 的 z变 换 ， 这 实 质 上是 指 经 过

59、采 样 之 后 得 到 的 的 z变 换 。 )(zX )(tx)(tx )(* tx 因 为 z变 换 是 对 采 样 时 刻 而 言 ， 所 以 的 z变 换 就 是 的z变 换 。 通 常 把 采 样 周 期 T当 作 一 个 单 位 ， 并 将 简 记 为 ，这 样 ， 采 样 序 列 的 z变 换 即 定 义 为 )(* tx )(kTx)(kTx )(kx 0* )()()()( k kzkxkxZtxZzX (2.4.16) 因 而 21 )2()1()0()( zxzxxzX这 是 复 变 量 的 幂 级 数 ， 只 有 当 其 收 敛 时 ， 才 能 求 得 其 简 短的 封

60、 闭 形 式 。 1z 例 2.4.1 求 单 位 跃 阶 函 数 的 z变 换 。说 明 ： 如 果 能 够 知 道 连 续 函 数 x(t)在 各 采 样 时 刻 的 离 散 值 x(kT)，可 以 按 照 定 义 求 x(t)的 z变 换 。 解 ： 单 位 跃 阶 函 数 在 各 个 采 样 时 刻 的 值 均 为 1， 因 此 1 201( ) 1 1 1 1 1k nkZ t z z z z 11 1 1 zzz当 ， 即 时 ， 级 数 收 敛 。 11 z 1z例 2.4.2 求 函 数 e-at的 z变 换 。解 ： 1 2 20 1at akT k aT aT naT nk

61、Z e e z e z e z e z aTaT ez zze 11 1 例 2.4.3 已 知 连 续 函 数 x(t)的 拉 氏 变 换 为 ，求 函 数 的 z变 换 。 其 中 ， pi是 X(s)的 极 点 ， ai为 极 点 pi的 留 数 ， 而 所 对 应 的时 间 函 数 为 ， 由 上 例 可 知 其 z变 换 为 ， 因 此 ， 相 应于 x(t)的 z变 换 为 )2( 2)( sssX解 ： 如 果 连 续 函 数 x(t)的 拉 氏 变 换 X(s)为 s的 有 理 函 数 ，并 且 X(s)的 分 母 多 项 式 能 够 分 解 因 式 时 ， 可 以 将 X(s

62、)展开 成 部 分 分 式 ， 即 ni iipsasX 1)( iipsatpi iea Tpi iez za ni Tpini Tpi zeaez zatxZzX ii 1 11 1)()( 211)2( 2)( sssssX tetx 21)( 解 :因 为 ， 又 拉 氏 反 变 换 得 所 以 )(1( )1()1)(1( )1(1 11 1)( 22121 21121 TTTTT ezz ezzez ezzezzX 与 拉 氏 变 换 相 类 似 ， z变 换 也 有 一 些 基 本 定 理 ， 根 据 这 些 定 理 ，加 上 熟 悉 表 列 出 的 一 些 简 单 函 数 的

63、z变 换 ， 则 可 以 方 便 地 求 出一 些 复 杂 函 数 的 z变 换 。 设 函 数 ， 则 ni ii txatx 1 )()( ni ii zXazX 1 )()(即 各 函 数 线 性 组 合 的 z变 换 ， 等 于 各 函 数 z变 换 的 线 性 组 合 。 这由 定 理 很 容 易 证 明 ， 这 里 就 不 给 出 详 细 证 明 过 程 。 设 在 时 连 续 函 数 ， 其 z变 换 为 ， 则 0t 0)( tx )(zX)()( zXzmTtxZ m 迟 后 定 理 说 明 ， 原 函 数 在 时 域 中 延 时 m个 采 样 周 期 ， 相 当 于 其z变

64、 换 乘 以 。 由 此 可 见 算 子 的 物 理 意 义 ， 即 是 把 采 样 信号 延 时 m个 采 样 周 期 ， 代 表 迟 后 环 节 。 mz mz1z )()()( 1 0 mk km zkTxzXzmTtxZ )()( zXzmTtxZ m设 在 时 连 续 函 数 ， 其 z变 换 为 ， 则 0t 0)( tx )(zX在 特 殊 情 况 下 ， 若 则 超 前 定 理为 0)1()()0( TmxTxx 设 函 数 的 z变 换 为 ， 并 且 存 在 ， 则 )(tx )(zX )(lim zXz 0(0) ( ) ( )lim limt zx x t X z 设

65、函 数 的 z变 换 为 ， 则 ( )x t ( )X z )()1(lim)()1(lim)(lim)( 111 zXzzXzkTxx zzk 终 值 定 理 常 用 于 计 算 采 样 控 制 系 统 的 稳 态 误 差 。 所 谓 z反 变 换 ， 就 是 根 据 ， 求 出 或 者 ， 记 作 )(zX )(kx )( * tx)()( 1* zXZtx 或 )()( 1 zXZkx 得 到 了 或 ， 通 常 也 就 得 到 了 。 )(* tx )(kTx )(tx下 面 介 绍 三 种 常 用 的 求 解 z反 变 换 的 方 法 。 X(z)的 一 般 表 达 式 为 011

66、 011)( azaza bzbzbzX nnnn mmmm 根 据 X(z)的 定 义 ， z -k的 系 数 ck就 是 x(k)， 对 上 式 z反 变 换 为 ，用 分 子 除 以 分 母 可 得 0110)( k kkzczcczX )()2()()()( 210* kTtcTtcTtctctx k这 种 方 法 适 用 于 简 单 的 函 数 ， 但 难 以 求 得 的 简 短 的 封 闭 形式 。 )(* tx 例 2.4.4 求 的 z反 变 换 式 。1)( zzzX 解 ： 因 为 nzzzzzzX 2111)(由 z变 换 定 义 得 1)()2()()0( TxTxTxx 01)( kkTx ，即 采 用 部 分 分 式 法 可 以 求 出 离 散 函 数 的 闭 合 形 式 ， 其 方 法 与求 拉 氏 反 变 换 的 部 分 分 式 法 类 似 。 稍 有 不 同 的 是 ， 由 于 X(z)的 分 子 中 通 常 都 含 有 z， 因 此 应 将 X(z)除 以 z， 然 后 展 开 为 部 分分 式 ， 再 根 据 z变 换 表 写 出 起 原 函 数