非线性系统分析

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1、第 八 章 非 线 性 控 制 系 统 8-1 引 言 一 常 见 非 线 性 特 性 对 系 统 运 动 的 影 响y x0K SS只 要 系 统 中 包 含 一 个 或 一 个 以 上 具 有 非 线 性 特 性 的 元 件 ， 就 称 其 为 非 线 性 系 统 。非 线 性 特 性 可 分 为 单 值 函 数 与 多 值 函 数 两 类 。常 见 非 线 性 特 性 有 : yx 非 线 性 环 节y x0 K y x0M M y xMM hh mhmhy xKbb 1： 死 区 y x0 K死 区 对 系 统 最 直 接 的影 响 是 造 成 稳 态 误 差摩 擦 死 区 特 性 可

2、 能 造 成 运 动 系 统 的 低 速 不 均 匀死 区 的 存 在 会 造 成 系 统 等 效 开 环 增 益 的 下 降( 1)Ks Tsr 1( )t c-e ( 1)Ks Ts死 区 特 性r 1( )t c- e u0 sse sse 减 弱 振 荡 性 ， 提 高 稳 定 性死 区 能 滤 除 在 输 入 端 作 小 幅 度 振 荡 的 干 扰 信 号 ， 提 高 系 统 的 抗 干 扰 能 力 。 11yk x1xk1y 21 3121 KKK 处 于 系 统 前 向 通 路 最 前 面 的 测 量 元 件 ， 其 死 区 所 造 成 的 影 响 最 大 ， 而 放大 元 件

3、和 执 行 元 件 死 区 的 不 良 影 响 可 以 通 过 提 高 该 元 件 前 级 的 传 递 系 数来 减 小 。 ,K x y3 2 3( )y K x 1 1,K 2 2,K 3 3,K yx 1x 2x3 2 1 2 33 2 1 1 2 3 ( ) ( ) ( )K K xK K K xK x 大 信 号 作 用 之 下 的 等 效 增 益 降 低 ， 使 系统 超 调 量 下 降 ， 振 荡 性 减 弱 ， 稳 态 误 差 增大 。 y x0K SS2： 饱 和处 于 深 度 饱 和 的 控 制 器 对 误 差 信 号 的 变 化 失 去 反 应 ， 从 而 使 系 统 丧

4、 失闭 环 控 制 作 用 。利 用 饱 和 特 性 作 信 号 限 幅 ， 保 证 系 统 安 全 合 理 地 工 作 。自 持 振 荡 现 象若 线 性 系 统 为 振 荡 发 散 ， 当 加 入 饱 和 限 制 后 ， 系 统 就 会 出 现 自 持 振 荡 的现 象 。 3： 间 隙 又 称 回 环 y xKbb增 大 了 系 统 的 稳 态 误 差 ， 降 低 了 控 制 精 度 ，这 相 当 于 死 区 的 影 响 使 系 统 频 率 响 应 的 相 角 迟 后 增 大 ， 从而 使 系 统 过 渡 过 程 的 振 荡 加 剧 ， 甚 至 使系 统 变 为 不 稳 定 2y tx

5、1 tb 4： 继 电 特 性 其 特 性 中 包 含 了 死区 、 回 环 及 饱 和 特 性 。 当 h=0时 ，称 为 理 想 继 电 特 性 。 y x0M M y xMM hh mhmh理 想 继 电 特 性 串 入 系 统 ， 在 小 偏 差 时 开 环 增 益 大 ， 系 统 的 运 动 一 般呈 发 散 性 质 ； 而 在 大 偏 差 时 开 环 增 益 很 小 ， 系 统 具 有 收 敛 性 质 。 故理 想 继 电 控 制 系 统 最 终 多 半 处 于 自 持 振 荡 工 作 状 态 。继 电 特 性 能 够 使 被 控 制 的 执 行 装 置 在 最 大 输 入 信 号

6、 下 工 作 ， 可 以 充分 发 挥 其 调 节 能 力 ， 故 有 可 能 利 用 继 电 特 性 实 现 快 速 跟 踪 。至 于 带 死 区 的 继 电 特 性 ， 将 会 增 加 系 统 的 定 位 误 差 ， 而 对 其 它 动 态性 能 的 影 响 ， 类 似 于 死 区 、 饱 和 非 线 性 特 性 的 综 合 效 果 。 二 .非 线 性 系 统 特 征 1： 稳 定 性 对 于 非 线 性 系 统 ， 不 存 在 系 统 是 否 稳 定 的 笼 统 概 念 ， 必 须 针对 系 统 某 一 具 体 的 运 动 状 态 ， 才 能 讨 论 其 是 否 稳 定 的 问 题 。

7、 例 如 )1(2 xxxxx 设 t=0时 ， 系 统 的 初 始 条 件 为 x0， 可 以 求 得 上 述 微 分 方 程 的 解 为 ： tt exx extx 0001)( t10 ( )x t所 以 说 ， 非 线 性 系 统 的 稳 定 性 不 仅 与 系 统 的 结 构 和 参 数 有 关 ， 而 且 与 运动 的 初 始 条 件 、 输 入 信 号 有 直 接 关 系 。 可 见 ， 非 线 性 系 统 可 能 存 在 多 个 平 衡 状 态 ，其 中 某 些 平 衡 状 态 稳 定 ， 另 一 些 平 衡 状 态 不稳 定 的 。 初 始 条 件 不 同 ， 系 统 的 运

8、 动 可 能 趋于 不 同 的 平 衡 状 态 ， 运 动 的 稳 定 性 就 不 同 。 2： 时 间 响 应 ( )y t t01R2R 线 性 系 统 非 线 性 系 统3： 自 持 振 荡 4： 对 正 弦 信 号 的 响 应 1 43256 1 20 cA线 性 系 统 当 输 入 某 一 恒 定 幅 值 和 不 同频 率 的 正 弦 信 号 时 ， 稳 态 输 出 的 幅值 Ac是 频 率 的 单 值 连 续 函 数 。 对 于非 线 性 系 统 输 出 的 幅 值 Ac与 的 关 系可 能 会 发 生 跳 跃 谐 振 和 多 值 响 应 ，5： 非 线 性 系 统 的 畸 变 现

9、 象 三 .非 线 性 系 统 的 分 析 方 法 目 前 研 究 非 线 性 系 统 常 用 的 工 程 近 似 方 法 有 ： 1： 相 平 面 法2： 描 述 函 数 法3： 计 算 机 求 解 法 8-2相 平 面 法 基 础一 . 相 平 面 法 的 概 念 设 一 个 二 阶 系 统 可 以 用 下 列 微 分 方 程 描 述 ： ),( xxfx 考 虑 到 ： dxx dt 可 改 写 为 ： x xxfdxxd ),(如 果 能 解 出 该 方 程 ， 即 求 出 和 x的 关 系 ， 则 可 以 运 用 =dx/dt， 把x和 t的 关 系 计 算 出 来 。 x xdx

10、dxdx dt dxx dx 以 x为 横 坐 标 、 为 纵 坐 标 所 组 成 的 直 角 坐 标 平 面 称 为 相 平 面 (状 态 平 面 )。在 某 一 时 刻 t， x(t)和 对 应 于 相 平 面 上 的 一 个 点 ， 称 为 相 点 (状 态 点 ),它 代 表 了 系 统 在 该 时 刻 的 一 个 状 态 。x )(tx通 常 系 统 在 初 始 时 刻 t0的 初 始 状态 用 相 点 表 示 ,随 着 时 间 的增 长 ， 系 统 的 状 态 不 断 地 变 化 ，沿 着 时 间 增 加 的 方 向 ， 将 描 述 这些 状 态 的 许 多 相 点 连 接 起 来

11、 ， 在相 平 面 上 就 形 成 了 一 条 轨 迹 曲 线 ，这 种 反 映 系 统 状 态 变 化 的 轨 迹 曲线 叫 相 轨 迹 ),( 00 xx x0 1t2t3tt x 1t 2t 3t tx x0 1t 2t3t 相 轨 迹 的 箭 头 表 示 时 间 增 加 时 ， 相 点 的 运 动 方 向 。 从 图 中 可 以 看 出 ， 在上 半 平 面 ,相 轨 迹 总 是 沿 着 x增 加 的 方 向 运 动 (向 右 运 动 ), 而 在 下 半 平 面 ,相 轨 迹 总 是 沿 着 x减 小 的 方 向 运 动 (向 左 运 动 )。对 于 任 一 初 始 条 件 ， 微

12、分 方 程有 唯 一 的 解 与 之 对 应 。 因 此 ，对 某 一 个 微 分 方 程 ， 在 相 平 面上 布 满 了 与 不 同 初 始 条 件 相 对应 的 一 族 相 轨 迹 ， 由 这 样 一 族相 轨 迹 所 组 成 的 图 象 叫 相 平 面图 ， 简 称 相 图 。 x0 1t2t3tt x 1t 2t 3t tx x0 1t 2t3t 二 .相 轨 迹 的 绘 制 方 法 1： 解 析 法(1)消 去 参 变 量 t。(2)直 接 积 分 dxxhxdxg )()( 则 通 过 积 分 ， 也 可 直 接 得 到 并 绘 制 相 轨 迹 。的 关 系 ，和 xx若 原 方

13、 程 可 以 分 解 为 ： 例 8-1 设 描 述 系 统 运 动 的 微 分 方 程 为 ： 0 xx初 始 条 件 为 x(0)=x0， 试 绘 制 系 统 运 动 的 相 轨 迹 。 ,0)0( x解 ： 先 用 第 一 种 解 析 法 求 解 。 根 据 初 始 条 件 可 以 求 得 系 统 运 动 微 分 方 程的 解 为 ： txtx cos)( 0 txtx sin)( 0 2022 )()( xtxtx 再 采 用 第 二 种 解 析 法 求 解 。 系 统 的 微 分 方 程 改 写 为 ： xdxxdx xdxxdx 两 边 积 分 ， 得 ： 2022 )()( xt

14、xtx x x0 0 x 2： 图 解 法(1)等 倾 线 法 ),( xxfx x xxfdxxd ),(若 令 ： dxxd则 有 ： x xxf ),(令 为 某 一 常 数 ,上 式 即 为 一 条 等 倾 线 方 程 。 x x等 倾 线 等 倾 线 作 图 法 . 例 8-2 设 描 述 系 统 运 动 的 微 分 方 程 为 ： 0 xx初 始 条 件 为 x(0)=x0，试 用 等 倾 线 法 绘 制 系 统 运 动 的 相 轨 迹 。 ,0)0( x解 ： 0 xdxxdx 令 ： dxxd xx 1上 式 即 为 等 倾 线 方 程 。 显 然 ， 等 倾 线 为通 过 相

15、 平 面 坐 标 原 点 的 直 线 ， 其 斜 率 为-1/ ， 而 是 相 轨 迹 通 过 等 倾 线 时 切线 的 斜 率 。 x x2.01.0 0.50.51.0 2.0 0 0( ,0)x0 注 意 事 项 ：第 一 ， 横 轴 (x轴 )与 纵 轴 (dx/dt轴 )所 选 用 的 比 例 尺 应 当 一 致 ， 这 样 值才 与 相 轨 迹 切 线 的 几 何 斜 率 相 同 。 第 二 ， 在 相 平 面 的 上 半 平 面 ， 相 轨 迹 总 是 沿 着 x增 加 的 方 向 运 动 (向 右运 动 )； 而 在 下 半 平 面 ,相 轨 迹 总 是 沿 着 x减 小 的

16、方 向 运 动 (向 左 运 动 )。第 三 ， 除 平 衡 点 (即 x的 各 阶 导 数 为 零 的 点 )外 ， 通 过 x轴 时 相 轨 迹 的 斜 率为 ,/),( xxxf 所 以 相 轨 迹 是 与 x轴 垂 直 的 。 x x2.01.0 0.50.51.0 2.0 0 0( ,0)x0第 四 ， 等 倾 线 的 条 数 应 取 得 适 当 。另 外 ， 采 用 平 均 斜 率 的 方 法 作 相 轨迹 ， 可 以 提 高 作 图 的 精 确 度 。 (2) 法 ),( xxfx 其 中 是 单 值 连 续 的 函 数),( xxf xxxfxx 22 ),( 2 2),(),

17、( xxxfxx ),( 22 xxxx 值 取 决 于 变 量 和 x,若 和 x的 变 化 很 小 , 可 以 看 作 是 一 个 常 量 ， 例如 在 相 平 面 的 点 附 近 ， 的 值 就 可 以 取 为 ： x x),( 111 xxP 2 12111 ),( xxxf x 1 1( )P x ,x x00)( 12 xx )( 12 xdxxdx 积 分 后 ,可 得 ： 221121212 xxxx如 果 把 纵 坐 标 取 为 横 坐 标 仍 为 x， 则 在 这 样 的 相 平 面 内 ， 上 式 代 表 一 个圆 心 在 Q( 1,0),半 径 为 |P1Q|的 圆 。

18、,x 2 12111 ),( xxxf x 1 1( )xP x , x1Q( 0),00)( 12 xx )( 12 xdxxdx 用 法 绘 制 相 轨 迹 的 具 体 方 法 是 .改 进 方 法 . 三 .由 相 平 面 图 求 时 间 解 1： 增 量 法 对 于 小 的 时 间 增 量 t和 位 移 增 量 x， 其 平 均 速 度 为 x/ t， 若 t足 够 小 ， 可 以 令 ： txx 平 均 平 均x xt 相 轨 迹 从 P0点 到 P1点 ， 横 坐 标 x的 变 化量 为 x01， 纵 坐 标 的 平 均 值 为 ： 2 1001 xxx 因 此 ， 从 P0点 到

19、 P1点 所 需 时 间 的 近 似 值为 ： 010101 xxt P2P3 P2P3t23t12x P0P1 x0 xP0P1t01t0同 理 可 得 从 P1点 到 P2点 ， P2点 到 P3点 ， 所 需 时 间 的 近 似 值 分 别 为 ： , 232323121212 xxtxxt 避 免 出 现 的 平 均 值 为 零 的 情 况x 2： 积 分 法 ,dtdxx dxxttt xx 10 101 根 据从 坐 标 为 x0的 点 移 到 坐 标 为 x1的 点 所 需 时 间 为 ：P0P 1x x0 1x2x P0P11x x0 1x2x 3： 圆 弧 法 这 种 方 法

20、 的 基 本 思 想 是 ： 用 圆 心 位 于 x轴 上 的 一 系 列 小 圆 弧来 近 似 所 研 究 的 相 轨 迹 段 ， 则 运 动 所 需 时 间 等 于 沿 这 些 小 圆 弧 运 动 所 需时 间 之 和 。 相 轨 迹 AD段 ， 可 以 用 x轴 上 的 P、 Q、R点 为 圆 心 ， 以 |PA|、 |QB|、 |RC|为 半 径 的 小 圆 弧 AB、 BC、 CD来 近 似 。经 过 每 段 小 圆 弧 所 需 的 时 间 ， 可 以很 方 便 地 计 算 出 来 。 x x0 PQR ABCD ABM AB 以 tAB为 例 ， 在 A点 有 ： OPPAx PA

21、x AA cossin sin1 sin B BA Ax AAB x APAt dx dx PA A B AB 8.3 二 阶 系 统 的 相 平 面 分 析 法 一 .线 性 系 统 的 相 轨 迹 以 二 阶 系 统 的 自 由 运 动 为 例 ， 介 绍 线 性 系 统 的 相 轨 迹 。设 系 统 的 微 分 方 程 ： 02 2 xxx nn 1： 无 阻 尼 运 动 02 xx n xdxxdx n2 222020222 nn xxxx 相 轨 迹 为 一 个 椭 圆 x 0 0( , )x xxx0t 2： 欠 阻 尼 运 动 )cos()( tAetx dtn 0 00 202

22、0020 221 x xxarctg xxxxA d nd nnnd 对 x(t)求 导 ， 消 去 时 间 t， 整 理 后 得 ： x xxarctgcxxx d nd ndn 2exp222 dndAc 2exp22 02 2 xxx nn 它 是 一 条 通 过 初 始 点 绕在 相 平 面 坐 标 原 点 上 的 对 数 螺旋 线 。 ),( 00 xx x 0 0( , )x x xx0t dndAc 2exp22 x xxarctgcxxx d nd ndn 2exp222给 定 不 同 的 初 始 点 ， 可 以 画 出一 族 对 数 螺 旋 线 。此 时 ， 系 统 在 初

23、始 条 件 下 的 自由 运 动 为 衰 减 振 荡 曲 线 。 3： 过 阻 尼 运 动 tqtq eAeAtx 21 21)( 21 001212 0021 2221 , )1(,)1( qq xxqAqq xxqA qq nn 当 初 始 点 满 足 0001 xxq 有 A2=0， 可 得 相 轨 迹 方 程 为 ： 0 1 xxq 它 表 示 了 相 平 面 上 一 条 特 殊 的 相 轨 迹 。 同 理 ， 当 初 始 点 满 足 0002 xxq 有 A1=0， 相 轨 迹 方 程 为 ： 02 xxq 0 0( , )x x x x12 x t 0当 A1和 A2不 为 零 时

24、 ， 对 x(t) 求 导 ， 消 去 时 间 t， 整 理 后 得 ： 12 12 qq xqxcxqx 11 22 221 112 qq qq Aqq Aqqc 4： 负 阻 尼 运 动 负 阻 尼 运 动 时 0。 其 中 -1 0时 特 征 方 程 式 根 为 一 对具 有 正 实 部 的 共 轭 复 数 根 ， 相 轨 迹 是 一 族 对 数 螺 旋 线 。 x x0 x x0 0。 这 时 特 征 方 程 式 根 为 一 正 、 一 负 两 个 实 根 ， 微 分 方 程 解 的 形 式与 过 阻 尼 运 动 时 的 形 式 相 同tqtq eAeAtx 21 21)( -q10，

25、 -q2e0)和负 饱 和 区 (ee0)和负 饱 和 区 (ee0的 饱 和 区 ， 相 轨 迹 微 分 方 程 和 等 倾 线 微 分 方 程 分 别 为 ： 00 00,1 ,0eeTKMe eeKMeeT 在 ee0的 区 域 ， 为 系 统 的 一 条 相 轨 迹 ，也 就 是 说 若 初 始 点 满 足 则 相 点 将 沿着 移 动 。 0KMe 00 KMe 0KMe e 0e KM0 开 关 线 e0.2e 0.2e在 ee 0的 区 域 ， 相 轨 迹 均 渐 近 于 的 直 线0KMe 类 似 地 ， 在 e-e0的 区 域 ,相 轨 迹 均 渐 近于 的 直 线 。 0K

26、Me e 0e KM0e KM 0 开 关 线 0eR0.2e 0.2e)a R ( )c t( )e t)b t e 0e KM0e KM 0 开 关 线 e0.2e 0.2e (2) r(t)=V0t 变 为 ： ,0)(,)( 0 trVtr 000 000 00 ,|, eeVKMeeT eeVKMeeT eeVKeeeT 相 平 面 的 开 关 线 为 e= e 00VKeeeT 由 于 微 分 方 程 的 特 征 根 为 一 对 共 轭 复 数 ， 所 以在 线 性 区 |e| e0的 相 轨 迹 应 为 对 数 螺 旋 线 。 系 统 的 微 分 方 程 组 00 00 0,|,

27、 eerrTKMeeT eerrTKMeeT eerrTKeeeT 当 r(t)=V0t时 ,由 于在 线 性 区 |e| e0相 轨 迹 方 程 为 ： 若 令 ,0,0 ee 可 得 奇 点 或 平 衡 点 为 ,0,0 eKVe e0 开 关 线 e0.2e 0.2e 该 奇 点 为 稳 定 焦 点 ， 奇 点 的 位 置 与 输 入 信 号 的 大 小 有 关 。 当 V0Ke0时 ， 奇 点 位 于 线 性 区 |e| e0的 范 围 之 外 ， 相 轨 迹 无 法 趋 向 或 离 开 该奇 点 ， 这 样 的 奇 点 称 为 虚 奇 点 。 实 奇 点 虚 奇 点 在 ee0和 e

28、e0时 ， 有 一 条 特 殊 的 相 轨 迹 ,00 KMVe 00 KMVe 0 0 00 0 0,Te e KM V e eTe e KM V e e 不 存 在 奇 点 。 e 0 0e V KM 0 开 关 线 e 相 轨 迹 均 渐 近 于e-e0时 ， 相 轨 迹 均 渐 近 于 ,00 KMVe e0 0e V KM 0 开 关 线 e 1.2e 0.4e 实 奇 点 (0.1,0) e eA B0 00.4V K e 当 V0=0.4KM0时 ,相 轨 迹 最 终 趋于 水 平 直 线 ，说 明 系 统 的 稳 态 误 差 e( )将 趋于 无 穷 大 ， 系 统 无 法 跟

29、 踪 快 速变 化 的 斜 坡 信 号 。 4.0 00 KMVe e 0 0 0.4e V K M 0 0 0.4e V KM A B(0.3,0)虚 奇 点 e 0 01 .2V K e V0=0.8=KM0时 ,在 |e| e0的 区 域 内 ， 相 轨 迹 的 奇 点 (0.2,0)是 稳 定 的 焦 点 ，位 于 开 关 线 上 。 0 1 ,deTe e de de Tde 非 线 性 系 统 与 线 性 系 统 有 着 完 全 不 同 的 运 动 特 性 ， 非 线 性 系 统 的 运 动 形 式 及 稳 态 误 差 既 和 输 入 信 号 的 大 小 有 关 ， 也 和 初 始

30、 条 件 有 关 。 e1.6e (0.2,0) eA B0 00.8V K e 实 奇 点ee0时 ， 相 轨 迹 的 微 分 方 程 变 为 说 明 相 轨 迹 是 相 互 平 行 的 直 线 ， 其 斜 率 为 -1/T相 轨 迹 将 终 止 于 横 轴 上 。 终 止 的 位置 决 定 了 稳 态 误 差 的 大 小 ， 与 初 始条 件 有 关 。 0 0,Te e KM V 2： 继 电 型 非 线 性 控 制 系 统含 有 继 电 型 非 线 性 元 件 的 系 统 称 为 继 电 型 系 统 。 继 电 型 非 线 性 的 一 般形 式 如 图 (a)所 示 ， 称 为 具 有

31、 滞 环 的 三 位 置 继 电 特 性 ； xyM hb) xyM hc) xyM )dxyM hmha )若 h=0， 即 为 理 想 继 电 特 性 ， 如 图 (d)所 示 。 若 m=1， 即 为 具 有 死 区 的 三 位 置 继 电 特 性 ， 如 图 (b)所 示 ；若 m=-1， 即 为 具 有 滞 环 的 两 位 置 继 电 特 性 ， 如 图 (c)所 示 ； 下 面 具 体 分 析 系 统 自 由 运 动 的 相 平 面 图 及 其 运 动 特 点 ， 取 c和 为 相 坐 标 。 c(1) 具 有 死 区 的 三 位 置 继 电 特 性 (m=1) 线 性 部 分 的

32、 微 分 方 程 为 ： KuccT ( 1)Ks Ts继 电 特 性r 0 c- e u xyM hhcKMccT hcccT hcKMccT ,|,0 , 开 关 线 为 c= h， 两 条 开 关 线 将 相 平 面 划 分 为 三 个 线 性 区 域 。 在 ch区 域 ， 相 轨 迹 方 程 为 ： KMccT 类 似 于 具 有 饱 和 特 性 的 非 线 性 控 制 系 统 时 的 讨 论 ， 相 平 面 在 该 区 域无 奇 点 ， 相 轨 迹 均 渐 近 于 的 直 线 。 KMc c cc h c KM c h开 关 线线 性 部 分 的 微 分 方 程 为 ： KuccT

33、 hcKMccT hcccT hcKMccT ,|,0 , 开 关 线 为 c= h， 两 条 开 关 线 将 相 平 面 划 分 为 三 个 线 性 区 域 。 在 ch区 域 ， 相 轨 迹 方 程 为 ： KMccT 在 ch区 域 ， 相 轨 迹 方 程 为 ： KMccT 在 ch区 域 ， 相 轨 迹 方 程 为 ： KMccT 在 c-h区 域 ， 相 轨 迹 方 程 为 ： KMccT 该 区 域 无 奇 点 ， 相 轨 迹 均 渐 近 于 的 直 线 。 KMc cc h c K M c h开 关 线 c在 |c|h区 域 ， 相 轨 迹 方 程 为 ： 0ccT 类 似 于

34、 具 有 饱 和 特 性 的 非 线 性 控 制 系 统 时 的 讨 论 ， 相 平 面 在 该 区 域无 奇 点 ， 相 轨 迹 均 渐 近 于 的 直 线 。 KMc 在 c-h区 域 ， 相 轨 迹 方 程 为 ： KMccT 该 区 域 无 奇 点 ， 相 轨 迹 均 渐 近 于 的 直 线 。 KMc 在 |c|-h时 ， 相 轨 迹 方 程 为 的 相 平 面 图 。 KMccT 而 继 电 特 性 的 输 入 为 c ch 0 c KM c chh 0下 图 无 法 表 现 。 ( 1)Ks Ts继 电 特 性r 0 c- e uxyM hc ch 0 c KM 同 样 若 初

35、始 时 刻 继 电 特 性 输 出 为 M， ,0,| ehe 由 于 此 时 相 轨 迹 方 程 为 ,KMccT ,0, chch 为 此 可 以 画 出 ch时 ， 相 轨 迹 方 程 为 的 相 平 面 图 。 KMccT 而 继 电 特 性 的 输 入 为 c ch0c KM cC1 C2 C3C6 chh画 在 一 张 图 上 时 ， 得 到 系 统 完 整 的 相 平面 图 ,为 多 页 相 平 面 图 ， 图 中 在 -hch部 分 ， 相 轨 迹 有 重 叠 ， 可 根 据 具 体 情 况 ，决 定 采 用 何 种 形 式 的 相 轨 迹 ,图 中 C1点满 足 c ch0c

36、 KMc ch 0 c KM C4C5,0,| ehe (3)既 有 死 区 又 有 滞 环 的 继 电 特 性 (-1m1) 分 段 线 性 微 分 方 程 为 ： 0,;, 0,;0,0 0,;, cmhchcKMccT chcmhcmhchccT cmhchcKMccT 开 关 线 方 程 为 和mhchcc ,0 ；mhchcc ,0与 m=1时 的 相 平 面 图 相 比 较 xyM hmh cc hc m h c m hc h c c A c0c h c KM c KM c h开 关 线 下 图 绘 出 了 随 着 m的 减 小 ， 相 轨 迹 变 化 的 示 意 图 。 从 图

37、中 可 以 看 出 ， 系 统的 振 荡 趋 势 将 逐 渐 加 大 ， 当 m减 小 到 0m1时 ， 相 平 面 图 将 由 (a)变 为 (b)，这 时 出 现 了 半 稳 定 的 极 限 环 。 当 m进 一 步 减 小 至 -1m0时 ， 系 统 的 相 平 面图 变 为 (c)， 这 时 出 现 了 稳 定 的 极 限 环 和 一 条 由 两 条 相 轨 迹 围 成 的 区 域 ，如 图 中 阴 影 线 所 示 。 这 时 ， 若 初 始 状 态 落 在 阴 影 线 区 域 内 ， 则 系 统 的 自 由运 动 将 趋 于 平 衡 状 态 ， 否 则 将 产 生 自 持 振 荡 。

38、 c c c c c c c)b)a)系 统 产 生 自 持 振 荡 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 0)1(12 KMThme KMTh (4)理 想 继 电 特 性 (h=0) 当 继 电 特 性 为 理 想 继 电 特 性 时 ,可 以 写 出 继 电 型 控 制 系 统 的 分 段 线 性 微分 方 程 为 ： 0, 0, cKMccT cKMccT 开 关 线 方 程 为 c=0。 c c 五 .速 度 反 馈 对 系 统 自 由 运 动 的 影 响 这 时 系 统 的 分 段 线 性 微 分 方 程 为 ： hccKMccT hccccT hccKMccT , |,0 ,图 中

39、 T时 ， 系 统 中 会 发 生 滑 动 现 象 。 为 了 说 明 滑动 状 态 时 相 轨 迹 的 特 点 ， 需 要 研 究 开 关 线 附 近 相 轨 迹 的 走 向 。 对 于 本 例 ，由 于 两 条 开 关 线 附 近 相 轨 迹 的 情 况 对 称 ， 这 里 只 讨 论 开 关 线 附 近 的 情 况 。 hcc 定 义 一 个 函 数 hcc c c开 关 线 六 .继 电 系 统 的 滑 动 现 象 若 速 度 反 馈 信 号 过 强 ， 使 得 T时 ， 系 统 中 会 发 生 滑 动 现 象 。 为 了 说 明 滑动 状 态 时 相 轨 迹 的 特 点 ， 需 要

40、研 究 开 关 线 附 近 相 轨 迹 的 走 向 。 对 于 本 例 ，由 于 两 条 开 关 线 附 近 相 轨 迹 的 情 况 对 称 ， 这 里 只 讨 论 开 关 线 附 近 的 情 况 。 hcc 定 义 一 个 函 数 hcc 开 关 线c ch2h 00 h 增 加 方 向 h 从 图 中 可 以 看 出 ， 在 开 关 线 的 下 方 ， 0， 说 明 此 处 的相 轨 迹 将 走 向 开 关 线 ， 若 d /dt0， 在 某 相 点 处 ， 若 d /dt0， 说 明 此 处 的 相 轨 迹 将离 开 开 关 线 ， 若 d /dtT， 故 当 时 ， 有d /dt0，

41、说 明相 轨 迹 将 离 开 开 关 线 。 0c0c c c两 侧 相 轨 迹 的 走 向 在 开 关 线 下 方 ， 相 轨 迹 方 程 KMccT 有 ： TKMcTccdtd )1(TKMc TKMc 在 的 区 域 ，有 d/dt0， 说 明 相 轨 迹 将 走 向 开 关 线 。 c cTKM 在 开 关 线 的 区 域 ， 由 于 开 关 线 两 侧 的 相 轨 迹均 走 向 开 关 线 。 因 此 ， 一 旦 相 轨 迹 进 入 开 关 线 ， 相 点 只 能 沿 着 开 关 线 滑向 (-h,0)点 ； TKMchcc 0上 ， TKMchcc 0上 ，同 样 ， 在 开 关

42、 线 的 区 域 ， 由 于 开 关 线 两 侧的 相 轨 迹 均 走 向 开 关 线 ，因 此 ， 一 旦 相 轨 迹 进 入 开关 线 ， 相 点 只 能 沿 着 开 关 线 滑 向 (h,0)点 。 c cTKM h-h TKM 七 .利 用 非 线 性 改 善 系 统 的 性 能 1： 粗 、 精 调 控 制 系 统 0e0e 1k ( 1)Ks Tsr e u c对 于 线 性 系 统 ， 单 纯 调 节 开 环 放 大 系 数 ， 难 以 得 到 理 想 的 响 应 曲 线 。 采 用非 线 性 环 节 ， 在 响 应 的 初 始 阶 段 ， 误 差 信 号 较 大 ， 此 时 开

43、 环 放 大 系 数 大 ，利 于 系 统 的 快 速 响 应 ； 当 输 出 信 号 接 近 希 望 值 时 ， 误 差 信 号 较 小 ， 此 时 开 环 放 大 系 数 小 ， 有 利 于 减 小 超 调 量 ， 进 而 减 小 调 节 时 间 ， 得 到 较 为 理 想 的响 应 曲 线 。 下 面 用 相 平 面 法 来 分 析 系 统 的 单 位 阶 跃 响 应 ， 假 设 系 统 参 数 之 间 满 足kKTKT 2 112 1 系 统 的 分 段 线 性 方 程 为 ： cre eee eekeu KuccT 0 0|, |, 0e0e 1k ( 1)Ks Tsr e u c

44、单 位 阶 跃 信 号 输 入 时 ， 0 rr 上 述 微 分 方 程 可 写 为 ： 00|,0 |,0 eekKeeeT eeKeeeT 两 条 开 关 线 为 e= e0 kKTKT 2 112 1 系 统 的 分 段 线 性 方 程 为 ： cre eee eekeu KuccT 0 0|, |,0| ee 在 区 域 ， 平 衡 点 在 坐 标 原点 ， 为 虚 奇 点 ， 由 于 微 分 方 程 的特 征 根 为 共 轭 复 数 ， 故 相 轨 迹 为对 数 螺 旋 线在 区 域 ， 平 衡 点 在 坐 标 原 点 ，为 实 奇 点 ， 由 于 微 分 方 程 的 特 征 根 为

45、两 个 负 数 ， 故 相 轨 迹 为 抛 物 线 。0| ee e e0e0e 1A0CD E t(t)e c(t)B 2： 滑 模 变 结 构 控 制 系 统121)( 2 sssG变 结 构 控 制 规 律 为 ： u(t)=r+kc=kc，k可 取 为 2或 -3。 控 制 系 统 的 微 分 方 程 为 ： kuccc 2当 k=2时 ， 可 得 到 一 个 线 性 二 阶 系 统 ， 其 微 分 方 程 为 ： 032 ccc 特 征 根 为 -1和 +3， 平 衡 点 在 坐 标 原 点 ， 为 一 鞍 点 2 12 1s s 2-3u cr 0 c cA BC D 控 制 系

46、统 的 微 分 方 程 为 ： kuccc 2 c cA BC D当 k=-3时 ， 可 得 到 另 一 个 线 性 二 阶 系 统 ， 其 微 分 方 程 为 ： 022 ccc 特 征 根 为 1 j， 平 衡 点 在 坐 标 原 点 ， 为 一 不 稳 定 的 焦 点c c2 12 1s s 2-3u cr 0 现 假 设 开 关 切 换 按 下 式 进 行 ： 0,2 0,3 c ck 其 中 开 关 线 为 ： 10, 11 sccs c c 0 A Bc cA BC D c c 可 以 看 出 ， 系 统 的 相 轨 迹 在 开 关 线 上 存 在 滑 动 ， 此 时 的 系 统

47、称 为 滑 模 变结 构 系 统 。 相 轨 迹 一 旦 进 入 开 关 线 ， 系 统 的 动 态 性 能 即 相 当 于 一 个 一 阶系 统 (此 时 微 分 方 程 为 =0)。 由 于 系 统 的 参 数 的 变 化 不 影 响 开 关 线 的 选择 ， 故 系 统 具 有 较 高 的 鲁 棒 性 。 另 外 相 轨 迹 滑 动 时 ， 系 统 的 性 能 由 开 关线 决 定 ， 所 以 合 理 地 选 择 开 关 线 可 使 系 统 具 有 良 好 的 性 能 。 c c 0 A B 3： 控 制 信 号 受 限 制 的 时 间 最 优 控 制若 系 统 的 微 分 方 程 式

48、为 ： ( ) ( 1)1 1 0 0n nnc a c a c a c b u 式 中 ， u是 控 制 信 号 ， 其 幅 值 受 到 限 制 ， 即 有 ： 0| uu 可 以 证 明 ， 系 统 的 最 优 控 制 规 律 是 继 电 型 的 控 制 ， 也 就 是 说 ， 控 制 信 号 的大 小 始 终 是 最 大 值 ， 而 信 号 的 符 号 交 替 地 取 正 或 负 ， 最 多 有 n-1次 转 换 。时 间 最 优 控 制 的 提 法 是 ： 在 控 制 信 号 受 到 限 制 的 条 件 下 ， 找 出 系 统 的 控 制规 律 ， 使 系 统 的 输 出 量 以 最

49、短 的 时 间 从 原 值 变 到 所 要 求 的 给 定 值 。 当 输 入 是 阶 跃 信 号 时其 解 为 ： 时 间 最 优 转 换 元 件 21Jsr ce u- S TA e O e( ) 1f e PQ B( ) 1f e Jc u )(0 efueJ 1)(,2 1)(,2 102 002 efAeJue efAeJue 0u ( )u f ee r c 02,002,1 02,002,1)( 22 22 eJTeeeJTe eJTeeeJTeef ；最 优 控 制 规 律 的 函 数 f(e) ： 8-4 描 述 函 数 一 .描 述 函 数 的 一 般 概 念 考 虑 图

50、示 非 线 性 环 节 N， 其 输入 为 x(t)， 输 出 为 y(t)。 若 输入 信 号 为 正 弦 函 数 ， 即 ： tXtx sin)( N( ) sinx t X t y( )t一 般 情 况 下 ， 非 线 性 环 节 的 稳 态 输 出 y(t)是 与 输 入 信 号 同 频 率 的 非 正 弦周 期 函 数 ， 且 此 周 期 函 数 可 以 展 成 傅 里 叶 级 数 ： 1010 )sin(2)sincos(2)( n nnn nn tnYAtnBtnAAty nnnnnn nn BAarctgBAY ttdntyBttdntyA , )(sin)(1,)(cos)(

51、1 22 2020 如 果 非 线 性 特 性 是 奇 对 称 的 (即 非 线 性 特 性 关 于 原 点 对 称 ,如 死 区 特 性 、饱 和 特 性 等 )， 则 A0=0， 说 明 输 出 信 号 中 不 含 有 直 流 分 量 ， 此 时 若 只 考 虑输 出 信 号 中 的 一 次 谐 波 分 量 ， 而 把 高 次 谐 波 分 量 忽 略 ， 即 近 似 认 为 ： )sin(sincos)( 1111 tYBtAty非 线 性 特 性 的 描 述 函 数 就 是 当 输 入 是 正 弦 信 号 Xsin t时 ， 其 稳 态 输 出 的一 次 谐 波 分 量 对 输 入 正

52、弦 量 的 复 数 比 ， 其 数 学 表 达 式 如 下 ： XAjXBXYXN 1111 /)( 1010 )sin(2)sincos(2)( n nnn nn tnYAtnBtnAAty nnnnnn nn BAarctgBAY ttdntyBttdntyA , )(sin)(1,)(cos)(1 22 2020 若 非 线 性 的 特 性 是 单 值 奇 对 称 的 ， 那 么 y(t)是 奇 函 数 ， 则 A1=0， 1=0，N(X)=B1/ X， 即 描 述 函 数 N(X)是 输 入 信 号 幅 值 X的 实 函 数 。 11121211 201201 )(sin)(1)(co

53、s)(1 BAarctgBAY ttdtyBttdtyA ， ， XAjXBXYXN 1111 /)( 1010 )sin(2)sincos(2)( n nnn nn tnYAtnBtnAAty nnnnnn nn BAarctgBAY ttdntyBttdntyA , )(sin)(1,)(cos)(1 22 2020 二 .典 型 非 线 性 特 性 的 描 述 函 数 1： 死 区 特 性 的 描 述 函 数 在 信 号 x(t)=Xsin t作 用 下 输出 y(t)的 数 学 表 达 式 为 ： X ttXK tty arcsin 2),sin(0,0)( 1 11 式 中 为 死

54、区 范 围 ， K为 线 性 部 分 的 斜 率 。 由 于 死 区 特 性 是 单 值 奇 对 称 的 ，所 以 A1=0， 1=0。 B1可 按 下 式 计 算 ： 2 2 y xx yK tt1 1 11 1 1 12 21 0 2 222 21 4( )sin ( ) ( sin )sin ( )4 4 4 1 4sin ( ) sin ( ) sin2 cos2 4B y t td t K X t td tKX K KX t Ktd t td t t t 21 1 14 1 2sin2 cos arcsin 14 2 4 2KX KXX X X X X ttXK tty arcsin

55、 2),sin(0,0)( 1 11 式 中 为 死 区 范 围 ， K为 线 性 部 分 的 斜 率 。 由 于 死 区 特 性 是 单 值 奇 对 称 的 ，所 以 A1=0， 1=0。 B1可 按 下 式 计 算 ： 于 是 可 得 死 区 特 性 的 描 述 函 数 为 ： )(,1arcsin22)( 21 XXXXKXBXN 11 1 1 12 21 0 2 222 21 4( )sin ( ) ( sin )sin ( )4 4 4 1 4sin ( ) sin ( ) sin2 cos2 4B y t td t K X t td tKX K KX t Ktd t td t t

56、t 21 1 14 1 2sin2 cos arcsin 14 2 4 2KX KXX X X X 由 于 饱 和 特 性 是 单 值 奇 对 称 的 ， 所以 A1=0， 1=0。 B1可 按 下 式 计 算 ： 1 12 2 21 0 01 4 4( )sin ( ) sin ( ) sin ( )B y t td t KX td t KS td t XS tKS ttKXty arcsin 2, 0,sin)(1 1 1 22K Sy y tt xx 11 2： 饱 和 特 性 的 描 述 函 数 饱 和 特 性 在 正 弦 信 号 x(t)=Xsin t作 用 下 输 出 y(t)的

57、数 学 表 达 式 为 ： 21arcsin2 XSXSXSKX 饱 和 特 性 的 描 述 函 数 为 ： )(,1arcsin2)( 21 SXXSXSXSKXBXN 1 12 2 21 0 01 4 4( )sin ( ) sin ( ) sin ( )B y t td t KX td t KS td t 21arcsin2 XSXSXSKX 3： 间 隙 特 性 的 描 述 函 数 间 隙 特 性 在 正 弦 信 号 x(t)=Xsin t作 用 输 出 y(t)的 数 学 表 达 式 为 ： Xb21arcsin1 tbtXK tbXK tbtXKty 1 1),sin( 2),(

58、20),sin()( 2 2 Ky yxxt t1 1 由 于 间 隙 特 性 为 多 值 函 数 ， 所 以 A1、 B1都 需 要 计 算 ： 14 )(cos)sin( )(cos)()(cos)sin(2 )(cos)(11 1220 201 XbKb ttdbtXK ttdbXKttdbtXK ttdtyA 间 隙 特 性 在 正 弦 信 号 x(t)=Xsin t作 用 输 出 y(t)的 数 学 表 达 式 为 ： Xb21arcsin 1 tbtXK tbXK tbtXKty 1 1),sin( 2),( 20),sin()(由 于 间 隙 特 性 为 多 值 函 数 ， 所

59、以 A1、 B1都 需 要 计 算 ： 于 是 可 得 间 隙 特 性 的 描 述 函 数 为 ： XAjXBXN 11)( )(,14 121221arcsin2 bXXbXKbj XbXbXbXbK XbXbXbXbKX 121221arcsin2 )(sin)sin( )(sin)()(sin)sin(2 )(sin)(11 1220 201 ttdbtXK ttdbXKttdbtXK ttdtyB 4： 继 电 特 性 的 描 述 函 数 继 电 特 性 在 正 弦 信 号 x(t)=Xsin t作 用 下 输 出 y(t)的 数 学 表 达 式 为 ： ttM tty 2 21 1,

60、0 ,0,0)( 12 arcsin ,arcsinhX mhX 2y yxx ttM hmh12 1 2 12 )(cos2 )(cos)(1 21 201 mXMh ttdM ttdtyA 22201 112 )(sin2 )(sin)(121 XhXmhM ttdM ttdtyB 于 是 可 得 继 电 特 性 的 描 述 函 数 为 ： )(,12112 )( 22211 hXmXMhjXhXmhXM XAjXBXN 12 )(cos2 )(cos)(121 201 mXMh ttdM ttdtyA 22201 112 )(sin2 )(sin)(121 XhXmhM ttdM ttd

61、tyB 令 m=1, 得 三 位 置 理 想 继 电 特 性 的 描 述 函 数 ： )(,14)( 2 hXXhXMXN 令 m=-1, 得 具 有 滞 环 的 两 位 置 继 电 特 性 的 描 述 函 数 ： )(,414)( 22 hXXMhjXhXMXN 下 表 列 出 了 一 些 常 见 非 线 性 特 性 的 描 述 函 数 ， 以 供 查 用 。 令 h=0, 得 两 位 置 理 想 继 电 特 性 的 描 述 函 数 ： XMXN 4)( 于 是 可 得 继 电 特 性 的 描 述 函 数 为 ： )(,12112 )( 22211 hXmXMhjXhXmhXM XAjXBX

62、N 5： 组 合 非 线 性 特 性 的 描 述 函 数 (1)： 非 线 性 特 性 的 并 联 计 算 )()()( 21 tytyty N1(X)N2(X) 1( )y t2( )y t ( )y tr( ) Xsin tt 非 线 性 环 节 并 联 后 总 输 出 为 两 个 非 线性 环 节 的 输 出 之 和 ， 即 ： 若 将 y(t)展 开 成 傅 里 叶 级 数 ， 则 y(t)的 一 次 谐 波 分 量 应 为 y1(t) 和 y2(t) 的 一 次 谐 波 分 量 之 和 ， 按 照 描 述 函 数 的 定 义 ， 总 的 描 述 函 数 应 为 ： )()()( 21

63、 XNXNXN (2)： 非 线 性 特 性 的 串 联 计 算当 两 个 非 线 性 环 节 串 联 时 ， 其 总 的 描 述 函 数 不 等 于 两 个 非 线 性 环 节 描 述函 数 的 乘 积 ， 而 是 需 要 通 过 折 算 ， 先 求 出 这 两 个 非 线 性 环 节 的 等 效 非 线性 特 性 ， 然 后 根 据 等 效 的 非 线 性 特 性 求 总 的 描 述 函 数 。 一 般 说 来 ， 两 个非 线 性 环 节 串 联 的 前 后 次 序 不 同 ， 其 等 效 的 非 线 性 特 性 不 同 ， 总 的 描 述函 数 也 不 一 样 ， 这 是 与 线 性

64、环 节 串 联 的 区 别 。 21 3121 KKK ,K x y1 1,K 2 2,K 3 3,K yx 1x 2x 8-5 用 描 述 函 数 分 析 非 线 性 系 统 一 .系 统 的 典 型 结 构 及 基 本 条 件 设 非 线 性 系 统 经 过 等 效 变 换 ， 可 表 示 为 线 性 部 分 G与 非 线 性 部 分 N相 串 联 的典 型 结 构 ， 如 图 所 示 。 对 非 线 性 系 统 进 行 分 析 ， 首 先 考虑 和 关 心 的 是 稳 定 性 和 自 持 振 荡 。 N Gr 0 c描 述 函 数 法 对 系 统 的 基 本 假 设 是 ：1： 非 线

65、性 系 统 可 归 纳 为 图 示 的 典 型 结 构 。2： 非 线 性 环 节 在 正 弦 信 号 作 用 下 的 输 出 中 ， 高 次 谐 波 幅 值 小 于 一 次 谐 波幅 值 ， 且 非 线 性 环 节 的 输 入 输 出 特 性 是 奇 对 称 的 ， 以 保 证 非 线 性 环 节 的 输 出 中 不 包 含 直 流 分 量 。3： 系 统 的 线 性 部 分 具 有 较 好 的 低 通 滤 波 性 能 。 二 .非 线 性 系 统 的 稳 定 性 分 析 假 设 非 线 性 部 分 和 线 性 部 分 满 足 描 述 函 数 法 对 系 统 的 要 求 ， 则 非 线 性

66、部 分 的特 性 可 用 描 述 函 数 表 示 ， 线 性 部 分 的 特 性 可 用 频 率 特 性 表 示 ， 于 是 非 线 性 系统 可 看 作 一 个 等 效 的 线 性 系 统 ： )()(1 )()()( )()( jGXN jGXNjR jCj 闭 环 系 统 的 特 征 方 程 为 ： 0)()(1 jGXN )(1)( XNjG 若 假 设 非 线 性 环 节 的 输 入 信 号 为 正 弦 信 号 Xsin t， 其 幅 值 X和 频 率 满 足上 式 ， 由 于 1)()( jGXN在 系 统 的 输 出 端 出 现 的 正 弦 信 号 为 -Xsin t， 系 统 中 出 现 了 等 幅 振 荡 ， 系统 产 生 等 幅 振 荡 的 条 件 ： N Gr 0 c)(1)( XNjG 非 线 性 系 统 中 的 负 倒 描 述 函 数 相 当 于 线 性 系 统 中 的 -1。 在 复 平 面 上 ， 非线 性 系 统 中 的 负 倒 描 述 函 数 曲 线 相 当 于 线 性 系 统 中 的 (-1,j0)点 。 据 此 ，可 以 把 线 性 系 统 中 的