建模与估计下

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1、 mk Ryy )()1( )1|()()( kkykyk 2,1)1()1(|)()()( k kyykyprojkyk )1()1(|)()1|( kyykyprojkky )1()1(|)()()( iyyiyprojiyi 0)()( )1|()()( kyky kkykyk )1()0|1( yy jiji iyyLjyyLji jyyLj iyiyi iyyiyLi )()( )()1()()1(1 )()1()( )1()()( )1()1(|)()( )(iy定 理 2: )()1()()1( kyyLkL 证 明 : 显 然 注 意事 实 上 : 重 要 意 义 :新 息 序

2、 列 与 原 序 列 y(k)含 有 相 同 的 统 计 信息 )(k)1|( iiy )()1()()1( kyyLkL )()1()( iLiy Lyyprojy Lyy )2(),1()1(|)2()2()2( )1()1()1()1( )()1()()1( kLkyyL )()1()()1( kyyLkL 新 息 实 质 上 是 摄 影 误 差 )()()()()()1(|()()1(|( 1 kkkkxkyyxprojkyyxproj TT )()1(|()()1(|( kxprojkyyxproj )()()()()(|( 1 11 iiiixxixrojp TTkiki )()(

3、)()( 11 iiiixx TTki )()()()( 1 kkkix TT )()()()()1()1(|( 1 kkkkxkyyxproj TT R rR n RmRm tjTj Qwtw tvtw )( 0)()( )( tjT Rjvtv )()( jtjvtw T ,0)()( )()()( )()()1( tvtHxty twtxtx 0)0()()0( Pxxux T )|( 0tjx )|()()|()( tjxjxtjxjxJ T )|()()1(|)()|( ttxtjtyyjxprojtjx )|()()1(|)()|( ttxtjtyyjxprojtjx )|()()

4、1(|)()|( ttxtjtyyjxprojtjx )1()1()|1()1|1( ttkttxttx 1)1()1()1()1()1( ttttxtk TT )|()|()|1( ttwttxttx )()1()( tyyLtw )0()0()1()( xwtwLtx )0(),0()1()()( xwtwtvLty )()1()( tyyLtw )|()|1( ttxttx )|1()1()1( ttytyt )|1()|1()|1( ttvttxHtty )()1()1( tyyLtv )|1()|1( ttxHtty )|1()1()1( ttxHtyt )|()()|( ttxtx

5、ttx )|1()1()1()1( ttxHtVtHxt )1()|1( tVttxH )|1()1()|1( ttxtxttx )()()|( txtxttP T )|1()|1()|1( ttxttxttP T )1()|1()1( tVttxHt )()()1( twtxtx )|()|1( ttxttx )|()|()|1( ttwttxttx )1()1()|1()1|1( ttkttxttx )1()|1( tkttx )1()|1( tVttxH )1()1()|1()1( tvtkttxHtkIn )1()1()|1()1()|1( tvtkttxHtkInttx RHtHP

6、txttxHtt T TT )1( )(.)1()|1()1()1( RHttHPtt TT )|1()1()1( T TPQPttP twpttxttP )|( )(.)()|()|1( )1()1()1()|1()1( )(.)1()1()|1()1()1|1( tRKtKHtKInttPHtKIn tVtKttxHtKInttP TT T)1()1( ttx T T THttP tvttxHttxtx )|1( )1()|1()(|1()1( 1)|1()|1()1( RHttHPHttPtK TT PKHIn KPHKPHPKHIn KRHPHKKPHPKHIn KRKKKHPHKPH

7、PKHIn KRKKHInPKHInttP TTTT TTTT TTTTT TT )( )1|1( PKHInttP )1|1( tjTT RQjvjwtv tw 0 0)()()( )( )1()( yty )()1(|)()|( tyyjxprojtjx )()()( )()()1( tvtHxty twtxtx )0(var)0|0()0()0|0( 00 xP Pxx 6)|1()1()1|1( 3)|()|1( 4)|1()|1()1( 2)|1()1()1( 1)|()|1( 5)1()1()|1()1|1( 1 ttPHtKInttP PQPttPttP RHttHPHttPtK

8、 ttxHtyt ttxttx ttKttxttx TT TT )()()|1( twtxttx )()()( tVtHxty ytyty )1()1()( )()1(|)()|( tyyjxprojtjx tjTT RQjvjwtv tw 0 0)()()( )( ttPHtKInttP PQPttPttP RHttHPHttPtK ttxHtyt ttxttx ttKttxttx TT TT )|1()1()1|1( )|()|1( )|1()|1()1( )|1()1()1( )|()|1( )1()1()|1()1|1( 1 )0(var)0|0()0()0|0( 0 x Pxx )1

9、|1(),1|1()1()0|0()0|0( 00 P x yP Px )0|1()1()1|1( )1()1()0|1()1|1( )0|1()1()1( )0|1()0|1()1( )0|0()0|1( )0|0()0|1( 1 PHKInP Kxx Hxy RHHPHPK PQPPP xx TT TT )1()1()|()1( )|()1()1()|( )1()1()|()1|1( tytkttxHtkIn ttxHtytKttx ttKttxttx )1()1( )1()1()|()1|1( HtKInt tytKttxttx f f )()()1|()|1( ttKttxttx )(

10、)()1|( ttKttx )()()1|()|1( ttKttxttx p )()1|()( tttxHty )()( tKtKp )()()1|()( )1|()()()1|()|1( tytKttxHtK ttxHtytKttxttx pp p )()()()( )()()1|()()|1( HtKInHtKHtKt tytKttxtttx pp pp )()( tKtK p TTTT TTTT PQPttHPRHttHPHttPttP PQPttPHtKIn PQPttPttP )1|()1|()1|()1|( )1|()( )|()|1( 1 TTTT PQP ttHPRHttHPH

11、ttPttPttP )1|()1|()1|()1|()|1( 1 TT PQPPP 0)0|1( )()()( )()()1( tvtHxty twtxtx )()()( )()()( tRtvtv tQtwtw T T ttPHtKInttP PQPttPttP RHttHPHttPtK ttxHtyt ttxttx ttKttxttx TT TT )|1()1()1|1( )|()|1( )|1()|1()1( )|1()1()1( )|()|1( )1()1()|1()1|1( 1 )0(var)0|0()0()0|0( 00 xP Pxx tsTnT T st tt aa Ntytyt

12、 ttty 21 )()(0)()( )()1()( )()()( )()()()( )()1( tttty tt T ttPttKInttP tttPttttPtK ttPttP tttt tt ttytKtttt TT T )|1()1()1()1|1( )1()|1()1()1()|1()1( )|()|1( )|()|1( )|1()1()1()1()|1()1|1( 12 )()|( 2 tPttP )()|( ttt )()1()1()1( )1()()1(1)1()()1( )()1()1()1()()1( 1 tPttKIntP ttPtttPtk tttytKtt T T T

13、 注 5： 稳 态 Kalman滤 波 和 预 报 器 （ steady-state kalman filter and pred！ ctor）Kalman方 程 组 缺 点 ： 需 要 在 线 （ on-line） 实 时 （ real time） 计 算 p问 题 ： P（ t+1|t） ?（ t）定 常 系 统 即 h p为 常 阵定 理 ： 设 系 统 是 完 全 可 观 、 完 全 可 控 或 是 稳 定 阵即 ： H rank H =n rankp p *n-1p=n H *2 H *n-1 则 任 意 p(t+1|t)=它 满 足 Riccati方 程 = - H*T(H H*H

14、+R)*(-1)H *T+PQP*Ttlim )()()( )()()1( tvtHxty twtxtx 且 有 关 系 k（ t） =k p（ t|t） =p k=H H H*T+R*-1 = p *T=PQP*T p= -KH 稳 态 Kalman滤 波 和 预 报 器 为 x(t+1|t+1)= x(t|t)+ky(t+1) = -KH x(t+1|t)= x(t|t-1)+ y(t) = -KH = k注 释 ： 可 证 为 稳 定 阵 因 而 x(t|t), x(t+|t)是 渐 近 稳 定 的 。 即 可 任 意 选 取 初 值 x(0|0)， 或 （ 0|0） 例 ： 考 虑 一

15、 维 系 统 x(t+1)= x(t)+bw(t) y(t) =hx(t)+v(t) Q= *2=q R= *2=r求 稳 态 kalman滤 波 器 和 预 报 器 x(t+1|t) tlimtlim ff PP Pk Pk f P V w x(t+1|t+1)= x(t|t)+ ky(t+1) =(1-kh)x(t+1|t) = x(t|t)-1+ y(t) =-kph = kRiccati方 程= -h（ hh+r） *-1h +bqb = *2- h*2(h*2+r)*-1+b*2q = *2(h*2 +r)-*2h*2/h*2 +r+b*2q(h*2 +r)= *2 r+b*2q (

16、h*2 +r) h*2 *2+ r= *2 r+b*2q h*2 +b*2qrh*2 *2+(r- *2r-b*2h*2q) -b*2qr=0作 一 元 二 次 方 程 ， 取 0为 GT为ff PP PkPk 第 五 讲 ARMA时 间 序 列 预 报（ ARMA Time series prediction) Forcasting 1、 引 言 预 报 问 题 ： 气 象 、 水 文 、 经 济 系 统 、 控 制最 优 预 报 ， 稳 态 线 性 最 小 方 差 预 报 稳 态 ： = ， 已 知 无 穷 的 观 测 历 史线 性 预 报 ： y(t+k|t) L(y(t)y(t-1)

17、) 是 以 前 历 史 的 线 性 组 合最 小 方 差 ： minJ=E(y(t+k)-y(t+k|t)*2 y(t+k|t)t0 Box-Jenkins递 推 预 报 器 . 考 虑 平 稳 可 逆 的 ARMA过 程 y(t) . A(q* 1 )y(t)=c(q* 1 )e(t)其 中 e(t)是 白 噪 声 ： E e(t)=0 Ee(t)e(s)= *2A(q* 1 )=1+ q* 1 + + q* C(q* 1 )=1+ q* 1 + + q*已 知 （ y(t)y(t-1) ） 求 y(t+k|t)分 析 ： . 平 稳 性 ： y(t)=c(q* 1 ) / A(q* 1 )

18、e(t)= e(t-j) 可 逆 性 ： e(t)=A(q* 1 ) / C(q* 1 )y(t)= y(t-j) 故 ： L(y(t)y(t-1) )=L (e(t)e(t-1) ) y(t+k|t)=proj(y(t+k)|y(t)y(t-1) ) =proj(y(t+k)|e(t)e(t-1) ) 历 史 ： 1 wiener-kdmogorov 预 报 方 法 （ 1940、 ARMA(p、 q)=MACLO） 2 Box-Jenkins 递 推 映 射 新 方 法 （ 1970年 ） 射 影 . 3 Astrom预 报 方 法 .4 kalman预 报 方 法 （ 1960年 ） .

19、 e tsa1 a anc cnc1 0j j0j j ancn 一 步 预 报 ： .y(t+1)=- y(t)- y(t-1) - y(t+1- ) . +e(t+1)+ e(t)+ + e(t+1- ) y(t+1|t)=- y(t)- y(t-1) - y(t+1- ) . + e(t)+ - e(t+1- ) 两 式 相 减 得 y(t+1)- y(t+1|t)= e(t+1)(即 对 于 平 稳 ARMA过 程 ,e(t)为 y(t)的 新 息 )定 理 : Box-Jenkins逆 推 预 报器 .K级 预 报 . y(t+k)=- y(i+k-i) + e(t+k-i) ( =

20、1) 1 k y(t+k|t)=- y(t+k-i|t) + e(t+k-i) k y(t+k|t)=- y(t+k-i|t) .规 定 : y(t+k-i|t)=y(t+k-i) (t+k-i t) anc1a1 cnc cna an anc1a1 a an c cn cna2a2 ani 1ai cni 0 ci c0cn aiani 1 cnki cicn ani 1 ai 例 1 (1-aq * 1 ) y(t)=e(t) (AR(1) |a| 1 .求 y(t+k|t)=? .解 ： y(t)=ay(t-1)+e(t) . y(t+1)=ay(t)+e(t+1) . y(t|n)=a

21、y(t) . y(t+k)=ay(t+k-1)+e(t+k) (k 1) .y(t+k|t)=ay(t+k-1|t)=a*k y(t) .例 2 y(t)=(1+(q* 1 )e(t) |c| 1 . 解 ： y(t+1)=e(t+1)+ce(t) . y(t+1|t)=ce(t)= y(t) . y(t+1|t)=0 (k1) . y(t+1|t)+c y(t|t-1)=cy(t) .初 值 ： y( | 1) .1*1 cqct0 t0 例 3： ARMA（ 1.1)解 ： (1 aq*-1)y(t)=( 1 cq-1)e(t)求 y(t+k|t)=? y(t+1)=ay(t)+e(t+1

22、)+ce(t) y(t+1|t)=ay(t)+ ce(t) y(t+k|t)=ay(t+k-1|t) (k1)非 递 推 ： y(t+k|t)=a*k-1 (ay(t)+ce(t) e(t)= y(t) y(t+k|t)= a*k-1ay(t)+ y(t) = a*(k-1) y(t) = y(t) 1*1 1*1 cqaq 1*1 )1*1( cqaqc 1*1 )1*1()1*1( cq aqccqa1*1 )(1 cq caak 注 6： 稳 态 Kalman滤 波 器 写 成 Wienet的 滤 波 器 x(t+1|t+1)= -kH x(t|t)+ky(t+1) = -kH x(t+

23、1|t+1)= x(t|t)+ ky(t+1) x(t+1|t+1)= q-1 x(t+1|t+1) + ky(t+1) -q-1 x(t+1|t+1)= ky(t+1)传 递 少 数 形 式 ： x(t|t)= -q-1 ky(t)例 1: x(t+1)=0.5x(t)+w(t) (1) Y(t)=x(t)+v(t) (2) 求 ： y(t+2|t)解 1： y(t+2)=x(t+2)+ v(t+2) y(t+2|t)= x(t+2|t)= 2 x(t|t) 2-0.25 -1=0 1=1.1328(1.1328+1) -1 2=-0.8828舍 k= H(H HT+R) 1=1.1328(

24、1.1328+1) -1 =0.5311 K 0.5311 y(t+2|t)=0.25-y(t)=0.25-y(t) 1- q-1 1- q-1 1 0.5311 0.5 0.13275 =-y(t) 1 0.2344 q-1 f f ff f 解 2： (1 0.5 q*-1)y(t)= w(t 1)+ (1 0.5 q*-1) v(t) (1 0.5 q*-1)y(t)= w(t 1)+ v(t)-0.5v(t 1)1+1+0.25=(1+d12) *2 d*2+4.5d+1=0 d=-0.2344 -0.5= d1 2 或 d=-4.2656(舍 ) a(a+c) 0.5(0.5-0.2

25、344) y(t+2/t) -y(t)= -y(t) 1+c q*-1 1 0.2344 q*-1 0.1328 =- y(t) 1 0.2344 q*-1 ee trm预 报 器例 1： 一 个 启 发 性 的 例 子 ARMA（ 1.1） （ 1 aq-1） y(t)=( 1 cq-1)e(t) a 1 c 1 求 y(t+2/t)=?分 析 ： 1+ cq*-1 y(t+2)=-e(t+2) 1-aq*-1除 法 综 合 ： 1+(c+a) q*-11-aq*-1 1+cq*-1 1-aq*-1 (c+a) q*- 1 (c+a)q*-1a(c+a) q*-2a(c+a) q*-2 a(

26、c+a) y(t+2)=( 1+(c+a) q*-1-) e(t+2) 1-aq*-1 a(c+a) = e(t+2)+ (c+a)e(t+1)+ - e(t) 1-aq*-1 未 知 已 知 a(c+a)y(t+2|t)= - e(t) 1-aq*-1 a(c+a) 1-aq*-1= - . - y(t)1-aq*-1 1+cq*-1y(t+2|t)= y(t+2)- y(t+2|t)=e(t+2)+(a+c) e(t+1)Ey*2(t+2|t)=1+（ a+c） *2 *2 e 一 般 情 况 ： A(q*-1) y(t)=c(q*-1) e(t) (平 稳 、 可 逆 )求 ： y(t+

27、k|t)=? c(q*-1) 分 析 ： y(t+k)= - e(t+k) A(q*-1) c(q*-1) G(q*-1)综 合 除 法 : - =F(q-1) +q*-k- A(q*-1) . F(q*-1)= + q*-1+ q*-（ k-1）G(q*-1)= + q*-1+ q*-ng )1*( qA0f f 1 1kf0g 1g ngg Diophantine方 程 ： c(q*-1)= A(q*-1) F(q*-1)+ q*-k G(q*-1)=max（ na-1,nc-k） 两 边 比 较 系 数 可 求 得 F， G G(q*-1) y(t+k)= F(q*-1) e(t+k)+

28、 - e(t) A(q*-1) G(q*-1) trm预 报 器 y(t+k|t)= - y(t) C(q*-1) y(t+k|t)= y(t+k)- y(t+k|t)= F(q*-1) e(t+k) Ey*2(t+k|t)= *2 *2递 推 trm预 报 器 ： C(q*-1) y(t+k|t)= G(q*-1) y(t)gn e f j f 10fgn 1kf 0g 0g0f f 1 1kf 0f 0ff 1 f 1f 2 f 2f 1 1kf akf 1kf 1kf0g 0g )1*(1 )(1(* cq caka 0f gn cn an 0g 1g1c 2c 0f 0g 1g 1c

29、2c 0f 0f0f 0g 0g 1c1g 1g 2c 2*1*1 1*21 21 qcqc qcac 2c2*1*1 1*1 21 qcqc aq 2*1*1 1*1 21 qcqc aq 2*1*1 1*)1*1( 21 qcqc qaq 2*1*1 1*)1*1()1*1()1*1*1( 21 2121 qcqc qaqcaqcqcqca 2*1*1 1*21 21 qcqc qcac f PkP Pk )(t )(t Pk )(t Pk )(t 方 差 : = 21012 T tzt ARMARLS)(t )(t tz itz 11 p kr krkr 0rta ta sa 0rtsa

30、2 0rrp kk 2zq ta )1*( )1*( qq tz jqqq jj *)1*( )1*( 0 jtjjt az 0jpjpjj 11 0 j j tz ta jqqq jj *)1*( )1*( 0)1*( )1*( qq jtjjt za 0 jqjqjj 11 0 j jj j 0N 0N 0N0N ta jtjjtt aaqz 01*1 1 jtjjt az 0 kjjjakttk zzr 02 )(t2a1a na )(t Tt)( naa nty tyt 1)( )1()( )()1()1()1()()1(1 )1()()()1( tttyttpt ttptt TT )

31、1()()1(1 )()1()1()()()1( ttpt tptttptptp T T)1()(1)1( 222 tttt )(t1a ana an1d dnd dn1a ana 1d dndan )1( t )( dnt )(tT )(t an )1( t )( dnt )(t )1*( )1*( qDqA jj 0 jj 100)(t 1yyxypp)(k )(i )( j )1( )(k )1( k)(kT )(kT)(k ttPHtKInttP PQPttPttP RHttHPHttPtK ttxHtyt ttxttx ttKttxttx TT TT )|1()1()1|1( )|()|1( )|1()|1()1( )|1()1()1( )|()|1( )1()1()|1()1|1( 1 )(k )1*( )1*( qCqGan cn0g 1g gng gn y )|(2 tkty )( 211 eiki f f 10f 1kf