九年级数学下册第27章二次函数272二次函数的图象与性质3求二次函数的关系式课件华东师大版2

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1、3.求二次函数的关系式 确定二次函数关系式的方法确定二次函数关系式的方法1.1.当已知抛物线上任意三点的坐标时当已知抛物线上任意三点的坐标时,通常设二次函数的关系通常设二次函数的关系式为一般式式为一般式y=_,y=_,然后列出然后列出_,_,解解三元一次方程组得出三元一次方程组得出a,b,ca,b,c的值的值,从而求得二次函数的关系式从而求得二次函数的关系式.ax2+bx+cax2+bx+c三元一次方程组三元一次方程组2.2.当已知抛物线的顶点坐标为当已知抛物线的顶点坐标为和抛物线上另一点的坐标和抛物线上另一点的坐标时时,通常设顶点式通常设顶点式y=_,y=_,求解二次函数的关系式求解二次函数

2、的关系式.3.3.当已知抛物线与当已知抛物线与x x轴的交点为轴的交点为,或与或与x x轴交点的轴交点的横坐标为横坐标为x1,x2x1,x2时时,通常设交点式通常设交点式y=_,y=_,求解二次函求解二次函数的关系式数的关系式.点拨点拨 根据不同的条件选择不同函数关系式形式根据不同的条件选择不同函数关系式形式.a2+ka2+kaa预习思考预习思考求函数解析式时求函数解析式时,二次项系数二次项系数a取值要注意什么？取值要注意什么？提示：注意二次项系数提示：注意二次项系数a的取值不能为零的取值不能为零.确定确定y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的关系式的关系式 例例181 如图如图,在平在平

3、面直角坐标系面直角坐标系xOyxOy中中,边长为边长为2 2的正方形的正方形OABCOABC的顶点的顶点A,CA,C分别在分别在x x轴、轴、y y轴的正半轴上轴的正半轴上,二二次函数次函数 的图象经过的图象经过B,CB,C两点两点.求该二次函数的函数关系式；求该二次函数的函数关系式；结合函数的图象探索：当结合函数的图象探索：当y y0 0时时x x的取值范围的取值范围.易错提醒易错提醒:在列方程组时注意函数关系式中的符号在列方程组时注意函数关系式中的符号.规范解答规范解答由题意可得由题意可得,点点C C的坐标为的坐标为,点点B B的坐标的坐标为为.1.1分分二次函数二次函数 的图象经过的图象

4、经过B,CB,C两点两点,4 4分分二次函数的关系式为二次函数的关系式为 5 5分分令令y=0,y=0,则则 解得解得x=-1x=-1或或x=3,x=3,所以抛物线与所以抛物线与x x轴的交点坐标分别为轴的交点坐标分别为,.7,.7分分结合函数图象结合函数图象,当当y y0 0时时,-1,-1x x3.83.8分分 规律总结规律总结 确定二次函数关系式的四个步骤确定二次函数关系式的四个步骤1.1.设：按已知条件设出二次函数关系式的相关形式设：按已知条件设出二次函数关系式的相关形式.2.2.列：根据题意列出方程或方程组列：根据题意列出方程或方程组.3.3.解：解方程或方程组解：解方程或方程组.4

5、.4.定：确定函数关系式定：确定函数关系式.跟踪训练跟踪训练 1.1.一个二次函数的图象经过点一个二次函数的图象经过点A,B,C1,A,B,C9三点三点,则这个二次函数的关系式是则这个二次函数的关系式是y=-10 x2+x y=-10 x2+19xy=-10 x2+x y=-10 x2+19xy=10 x2+x y=-x2+10 xy=10 x2+x y=-x2+10 x 解析解析 选选D.D.由于抛物线经过原点由于抛物线经过原点,则可以设其函数关系则可以设其函数关系式为式为y=ax2+bx,y=ax2+bx,将将B,CB,C两点坐标代入两点坐标代入,得得,解得解得:则函数关系式为：则函数关系

6、式为：y=-x2+10 x.y=-x2+10 x.2.20122.若抛物线若抛物线y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的顶点是的顶点是A,A,且且经过点经过点B,B,则抛物线的函数关系式为则抛物线的函数关系式为_._.解析解析 设抛物线的关系式为设抛物线的关系式为y=a2+1,y=a2+1,由抛物线过点由抛物线过点B,B,可得可得a=-1,a=-1,所以所以y=-x2+4x-3.y=-x2+4x-3.答案：答案：y=-x2+4x-3y=-x2+4x-33.3.已知二次函数的图象的顶点坐标为已知二次函数的图象的顶点坐标为A,A,且经过点且经过点2,-3将该二次函数的图象向左平移几个单位将该二

7、次函数的图象向左平移几个单位,能使平移后所能使平移后所得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的关系得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的关系式式.解析解析 设该二次函数的关系式为：设该二次函数的关系式为：y=a2-4y=a2-4经过点经过点,-3=a2-4,a=1.,-3=a2-4,a=1.二次函数的关系式为二次函数的关系式为y=x2-2x-3.y=x2-2x-3.令令y=0,x2-2x-3=0,y=0,x2-2x-3=0,解得：解得：x1=-1,x2=3.x1=-1,x2=3.该二次函数的图象向左平移该二次函数的图象向左平移3 3个单位个单位,能使平移后所得图象能使平移

8、后所得图象经过坐标原点经过坐标原点.此时此时,图象顶点为图象顶点为,平移后图象对应的二次函数的关系式为平移后图象对应的二次函数的关系式为y=2-4.y=2-4.建立坐标系求实际问题中的函数关系式建立坐标系求实际问题中的函数关系式例例2某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物物,大门的地面宽大门的地面宽AB=4米米,顶部顶部C离地面高度为离地面高度为4.4米米.现在一辆装满货物的汽现在一辆装满货物的汽车欲通过大门车欲通过大门,货物顶部距地面货物顶部距地面2.8米米,装货装货宽度为宽度为2.4米米.请通过计算请通过计算,判断这辆汽车能否顺利通过大门？判断这辆汽车能否顺利通

9、过大门？解题探究解题探究如何建立平面直角坐标系使二次函数的函数关如何建立平面直角坐标系使二次函数的函数关系式简单系式简单?答答:以以C C为坐标原点建立平面直角坐标系可以使二次函数关系式为坐标原点建立平面直角坐标系可以使二次函数关系式简单简单,如图所示如图所示:请根据请根据中的坐标系确定中的坐标系确定A,B,CA,B,C三点的坐标三点的坐标:A,B,C.A,B,C.设函数的关系式为设函数的关系式为:y=ax2.:y=ax2.求出抛物线的关系式求出抛物线的关系式:抛物线过点抛物线过点B,-4.4=a22,B,-4.4=a22,a=-1.1,y=-1.1x2.a=-1.1,y=-1.1x2.装货宽

10、度为装货宽度为2.42.4米米,当当x=1.2x=1.2时时,y=-1.11.22=-1.584,y=-1.11.22=-1.584,|y|=1.584,|y|=1.584,此时点此时点到到ABAB的距离为的距离为4.4-1.584=2.8162.8,4.4-1.584=2.8162.8,能能 顺利通过顺利通过.规律总结规律总结 求与抛物线有关的问题的函数关系式的三个步骤及两点注意求与抛物线有关的问题的函数关系式的三个步骤及两点注意1.1.三个步骤三个步骤建立合适的平面直角坐标系建立合适的平面直角坐标系;依据条件求出二次函数的关系式依据条件求出二次函数的关系式;利用二次函数的关系式解决有关问题

11、利用二次函数的关系式解决有关问题.2.2.两点注意两点注意在建立直角坐标系时在建立直角坐标系时,原点与横轴的位置应适当原点与横轴的位置应适当,否则会给解否则会给解题带来极大的不便题带来极大的不便.列出实际问题的函数关系式时列出实际问题的函数关系式时,应注意自变量的取值范围应注意自变量的取值范围.跟踪训练跟踪训练 4.4.巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉各种喷泉,其中一支高度为其中一支高度为1 1米的喷水管喷水米的喷水管喷水的最大高度为的最大高度为3 3米米,此时喷水水平距离为此时喷水水平距离为 米米,在如图所示的坐标系中在如图所示的坐标系中,这支

12、喷泉的函数关这支喷泉的函数关系式是系式是 解析解析 选选C.C.根据图象知根据图象知:抛物线开口向下抛物线开口向下,顶点顶点答案答案B,DB,D不符合不符合.把点把点代入答案代入答案A,CA,C检验检验,该点满足该点满足C.C.5.20125.如图如图,排球运动员站在点排球运动员站在点O O处练习发球处练习发球,将将球从球从O O点正上方点正上方2 m2 m的的A A处发出处发出,把球看成点把球看成点,其运行的高度其运行的高度yy与运行的水平距离与运行的水平距离xx满足关系式满足关系式y=a2+h.y=a2+h.已知球网与已知球网与O O点点的水平距离为的水平距离为9 m,9 m,高度为高度为

13、2.43 m,2.43 m,球场的边界距球场的边界距O O点的水平距点的水平距离为离为18 m.18 m.当当h=2.6h=2.6时时,求求y y与与x x的关系式的关系式 ；当当h=2.6h=2.6时时,球能否越过球网？球会不会出界？请说明理球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；由；若球一定能越过球网若球一定能越过球网,又不出边界又不出边界,求求h h的取值范围的取值范围.解析解析当当h=2.6h=2.6时时,y=a2+2.6,y=a2+2.6,在该抛物线上在该抛物线上,2=36a+2.6,2=36a+2.6,解得解得将将x=9x=9代入代入中求得的关系式得中求得的关系式得y=2.45y

14、=2.452.43,2.43,球能越过球网球能越过球网.当当y=0y=0时时,解得：解得：,故球会出界故球会出界.由题知由题知,当当和和在抛物线在抛物线y=a2+hy=a2+h上时上时 解得解得当当x=9x=9时时,此时球能越过球网此时球能越过球网.1.20111.若二次函数若二次函数y yax2ax2bxbxc c的的x x与与y y的部分对的部分对应值如下表：应值如下表：则当则当x x1 1时时,y,y的值为的值为5 -3 -13 -275 -3 -13 -27x x7 76 65 54 43 32 2y y272713133 33 35 53 3 解析解析 选选D.D.通过观察表格可以发

15、现通过观察表格可以发现是函数是函数y yax2ax2bxbxc c的顶点坐标的顶点坐标,因而又可设二次函数因而又可设二次函数y yax2ax2bxbxc c为为y yax-a2h2k,k,所以所以h=-3,k=5,h=-3,k=5,即二次函数即二次函数y yax2ax2bxbxc=a2c=a25,5,又因二次函数又因二次函数y yax2ax2bxbxc c过点过点,所以所以3=a23=a25,5,解得解得a=-2,a=-2,所以二次函数所以二次函数y yax2ax2bxbxc=-22c=-225.5.当当x=1x=1时时,y=-22,y=-225=-27.5=-27.2.2.抛物线抛物线y=a

16、x2+bx+cy=ax2+bx+c与与x x轴的两个交点为轴的两个交点为,其其形状与抛物线形状与抛物线y=-2x2y=-2x2相同相同,则则y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的函数关系式为的函数关系式为y=-2x2-x+3 y=-2x2+4x+5y=-2x2-x+3 y=-2x2+4x+5y=-2x2+4x+8 y=-2x2+4x+6y=-2x2+4x+8 y=-2x2+4x+6 解析解析 选选D.D.根据题意根据题意a=-2,a=-2,所以设所以设y=-2,y=-2,求出解析式求出解析式y=-2,y=-2,即是即是y=-2x2+4x+6.y=-2x2+4x+6.3.20113.如图如图

17、,已知二次函数已知二次函数y=x2+bx+cy=x2+bx+c的图象经过的图象经过点点,2,当当y y随随x x的增大而增大时的增大而增大时,x,x的取值范围的取值范围是是_._.解析解析 把点把点,2代入代入y=x2+bx+c,y=x2+bx+c,得得 解得解得y=x2y=x2x x2.2.二次函数的对称轴为二次函数的对称轴为当当y y随随x x的增大而增大时的增大而增大时,x,x的取值范围是的取值范围是xx答案：答案：xx4.4.抛物线的顶点为抛物线的顶点为且经过点且经过点,则该抛物线的关系则该抛物线的关系式是式是_._.解析解析 依题意可设二次函数的关系式为依题意可设二次函数的关系式为y

18、=a2+3,y=a2+3,又又图象过点图象过点,6=a2+3,a=3,6=a2+3,a=3,y=32+3,y=32+3,即即y=3x2-12x+15.y=3x2-12x+15.答案：答案：y=32+3y=32+3y=3x2-12x+155.20125.如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,抛物线抛物线y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c经过经过A,O,BA,O,B三点三点.求抛物线求抛物线y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的关系式的关系式;若点若点M M是该抛物线对称轴上的一点是该抛物线对称轴上的一点,求求AM+OMAM+OM的最小值的最小值.解析解析把把A,O,BA,O,B三点的坐标代入三点的坐标代入y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c中中,得得解这个方程组解这个方程组,得得所以函数关系式为所以函数关系式为由由 可得抛物线的对称轴为可得抛物线的对称轴为x=1,x=1,并且对称轴垂直平分线段并且对称轴垂直平分线段OB,OB,OM=BM,OM+AM=BM+AM,OM=BM,OM+AM=BM+AM,连结连结ABAB交直线交直线x=1x=1于于M M点点,则此时则此时OM+AMOM+AM最小最小,过点过点A A作作ANxANx轴于点轴于点N,N,在在RtABNRtABN中中,AB=,AB=因此因此OM+AMOM+AM的最小值为的最小值为