《幻方的解题》课件

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1、组合数学-幻方组合数学如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。四色问题四色问题在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。四色问题在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。n当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。当你

2、装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的n在中小学的数学游戏中，有这样一个问题，一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。问题是当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个。他怎样才能把三者都运过河呢？这就是一个很典型、很简单的组合数学问题。在中小学的数学游戏中，有这样一个问题，一个船夫要把一只狼，一n我们还会遇到更复杂的调度和安排问题。例如，在生产原子弹的曼哈顿计划中，涉及到很多工序，许多人员的安排，很多元件的生产，怎样安排各种人员的工作，以及各种工序间的衔接，从而使整个工期的时间尽可能短？这些都是组合数学典型例子。我们还会遇到更复杂的调度和安排问题。例

3、如，在生产原子弹的曼哈n库房和运输的管理也是典型的组合数学问题。怎样安排运输使得库房充分发挥作用，进一步来说，货物放在什么地方最便于存取（如存储时间短的应该放在容易存取的地方）库房和运输的管理也是典型的组合数学问题。怎样安排运输使得库房n用形状相同的方型砖块可以把一个地面铺满（不考虑边缘的情况），但是如果用不同形状，而又非方型的砖块来铺一个地面，能否铺满呢？这不仅是一个与实际相关的问题，也涉及到很深的组合数学问题。用形状相同的方型砖块可以把一个地面铺满（不考虑边缘的情况），组合数学又称为离散数学。广义的组合数学就是离散数学，狭义的组合数学是图论、代数结构、数理逻辑等的总称.组合数学是研究离散结

4、构的存在，计数，分析，和优化等问题的一门学科。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化（最佳组合）等.组合数学又称为离散数学。广义的组合数学就是n具体解决以下4个问题：满足一定条件的安排是否存在。在确知解存在的前提下，确定一切可能的安排个数。给出所有可能的安排。当对不同的安排有优劣标准时，求出最好的安排。简称存在、计数、安排、优化问题。起源于数学消遣和游戏。具体解决以下4个问题：满足一定条件的安排是否存在。在确知n例例1 1、食堂现有单价分别为、食堂现有单价分别为1 1元元99元的菜元的菜各一种，按照三种菜为一组分配，须保证各一种，按照三种菜为一组分配，须保证每组菜的合计价格

5、都为每组菜的合计价格都为1515元，问有多少种元，问有多少种分配方案分配方案?例1、食堂现有单价分别为1元9元的菜各一种，按照三种菜为n如何构作幻方？幻方也称纵横图、魔方、魔阵，它是科学的结晶与吉祥的象征，发源于我国古代的洛书九宫图。洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。同时，洛书以其高度抽象的内涵，对我国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等等都产生了重要影响。如何构作幻方？幻方也称纵横图、魔方、魔阵，它是科学的结晶与吉2500年前，孔子在他研究易经的著作系词上传中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”2500年前，孔子在他研究易经的著作系词上传中记载了

6、幻方的解题课件龙龙马马背背上上驮驮了了一一幅幅图图，上上面面有有黑黑白白点点5555个个，用用直直线线连连成成1010数数（如如图图 )即即为为“河河图图”。伏伏羲羲依依此此而而演演绎绎成成八八卦卦，后后为为周周易易来来源。源。“河图河图”龙马背上驮了一幅图，上面有黑白点55个，用直线连成10数（如河图的排列是一、六在后，二、七在前，河图的排列是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中。三、八在左，四、九在右，五、十背中。河图中的点数是五十五，其中一、三、五、河图中的点数是五十五，其中一、三、五、七、九是天数，二、四、六、八、十是地七、九是天数，二、四、六、八、十是地数，天数

7、累加是二十五，地数累加为三十，数，天数累加是二十五，地数累加为三十，两数之和为五十五。河图中的天数是奇，两数之和为五十五。河图中的天数是奇，是阳；地数是偶，是阴，阴阳相索。据古是阳；地数是偶，是阴，阴阳相索。据古代哲学家的解释，河图中上、下、左、右、代哲学家的解释，河图中上、下、左、右、中五组数目分别与火、水、木、金、土五中五组数目分别与火、水、木、金、土五行有关。金、木、水、火、土这几种物质行有关。金、木、水、火、土这几种物质基本形态的生成与转换，甚至万物发育都基本形态的生成与转换，甚至万物发育都可以从这图上得到启示。由此定义这十个可以从这图上得到启示。由此定义这十个自然数中一、二、三、四、

8、五为生数，六、自然数中一、二、三、四、五为生数，六、七、八、九、十为成数。从而得出五行相七、八、九、十为成数。从而得出五行相生之理，天地生成之道。生之理，天地生成之道。河图的排列是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，黄黄河河支支流流洛洛水水中中，浮浮现现出出的的神神龟龟，甲甲上上背背有有9 9种种花花点点的的图图案案，就就是是后后人人称称之之为的为的“洛书洛书”。黄河支流洛水中，浮现出的神龟，甲上背有9种花点的图案，就是后n数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对

9、人类社会与自然界的认识也得到步步深化。大禹从洛书中数的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治。数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图n十三世纪，我国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究，欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究，如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。目前，它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。十三世纪，我国南宋数学家杨辉

10、在世界上首先开展了对幻方的系统研（1）洛书与幻方（1）洛书与幻方把把“洛洛书书”用用数数字字表表达达就就是是下下面面的的数数表表，这这就就是是我我们们今今天天要要讨讨论论的一个的一个“幻方幻方”。492357816把“洛书”用数字表达就是下面的数表，这就是我们今天要讨论的一最早有关幻方的文字记载是中国古代最早有关幻方的文字记载是中国古代数学书数学书数术拾遗数术拾遗，那里记载了上述，那里记载了上述源自源自“洛书洛书”的方图，当时称为的方图，当时称为“九宫九宫图图”，我国南宋数学家杨辉称这种图为，我国南宋数学家杨辉称这种图为纵横图，纵横图，欧洲人称之为欧洲人称之为魔术方阵魔术方阵或或幻方幻方。最早

11、有关幻方的文字记载是中国古代数学书数术拾遗，那里记载 长期以来，纵横图被作为一种长期以来，纵横图被作为一种数字游戏。数字游戏。直到南宋时期，杨辉将她作直到南宋时期，杨辉将她作为一个数学问题而加以深入的研究。为一个数学问题而加以深入的研究。杨辉在他的杨辉在他的续古摘奇算法续古摘奇算法一书中，不仅搜集到了大量的各种类型一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。创了这一组合数学研究的新领域。长期以来，纵横图被作为一种数字游戏 一一般般地地，把把

12、n n2 2个个不不同同数数字字依依次次填填入入由由n nn n个个小小方方格格构构成成的的正正方方形形中中，使使得得横横行行数数字字之之和和、直直列列数数字字之之和和以以及及对对角角线线数数字字之之和和都都相相等等，这这样样的的数数图图叫叫做做一一个个（n n阶阶）幻幻方方，各各直直线线上上数数字字之之和和叫叫幻和幻和。是是否否对对任任意意自自然然数数n n都都存存在在n n阶阶幻幻方方？对对每每个个n n存存在在多多少少个个n n阶阶幻幻方方？如如何何构构作？这就是组合数学研究的问题之一。作？这就是组合数学研究的问题之一。一般地，把n2个不同数字依次填入由nn个小方格构成的正方（2 2）为

13、什么要研究幻方？）为什么要研究幻方？幻方有多少？幻方有多少？（2）为什么要研究幻方？为什么要研究幻方？为什么要研究幻方？幻幻方方起起源源于于古古老老的的传传说说，自自古古有有一一种种神神秘秘色色彩彩，人人们们把把她她当当作作护护身身避避邪邪的的吉吉祥祥物物。许许多多人人热热衷衷于于研研究究幻幻方方，起起初初，只只是是因因为为她她包包含含了了无无尽尽的的神神奇奇之之美美，而而且且，研研究究幻幻方方本本身身也也是是对对人人的的智智力力的的开开发发。喜喜欢欢幻幻方方、研研究究幻幻方方的的人人不不仅仅限限于于数数学学家家，还还有有物物理理学学家家、政政治治家家；不不仅仅有有成成年年人人，也也有有孩孩子

14、子。现现代代科科学学家家研研究究幻幻方方，已已经经远远远远不不是是为为了了好好玩玩或或驱驱灾灾避避邪邪。电电子子计计算算机机出出现现以以后后，幻幻方方在在程程序序设设计计、组组合合分分析析、人人工工智智能能、图图论论等等许许多多方方面发现了新用场。面发现了新用场。为什么要研究幻方？台湾黎凯旋的台湾黎凯旋的易数浅谈易数浅谈中有这样的描述：从日中有这样的描述：从日本学习飞机知识的台湾驾驶员，第一堂课上的就是本学习飞机知识的台湾驾驶员，第一堂课上的就是幻方知识课，因为幻方的构造原理与飞机上的电子幻方知识课，因为幻方的构造原理与飞机上的电子回路设置密切相关。回路设置密切相关。海上漂浮建筑，海上漂浮建筑

15、，首先要解决的问题，就是要将建筑首先要解决的问题，就是要将建筑面分割成方阵格，每格的建筑重量的确定，需要象面分割成方阵格，每格的建筑重量的确定，需要象构造幻构造幻 方一样巧妙设计，因为只有各线各方向上的方一样巧妙设计，因为只有各线各方向上的重量处处均衡才能是建筑物不致于倾斜。重量处处均衡才能是建筑物不致于倾斜。台湾黎凯旋的易数浅谈中有这样的描述：从日本学习飞机知识的幻幻方方中中各各数数若若是是从从1 1到到n n2 2的的连连续续自自然然数数，则则称称之之为为标标准准幻幻方方。n n阶阶标标准准幻幻方方的幻和为的幻和为 研究幻方，可以分类进行。研究幻方，可以分类进行。按照幻方阶数的奇偶性，幻方

16、可以按照幻方阶数的奇偶性，幻方可以分为分为奇数阶幻方奇数阶幻方与与偶数阶幻方偶数阶幻方；偶数阶幻方中，阶数为偶数阶幻方中，阶数为4 4的倍数的的倍数的幻方叫做幻方叫做双偶阶幻方双偶阶幻方（如（如4 4，8 8，1212阶等）阶等）;其它的叫其它的叫单偶阶幻方单偶阶幻方（如（如6 6，1010，1414阶阶等）。等）。幻方中各数若是从1到n2的连续自然数，则称之为标准幻方。n阶还有一些特殊性质的幻方:如如果果一一个个幻幻方方中中的的各各数数换换为为它它的的平平方方数数后后得得到到的的数数图图还还是是幻幻方方，则则这个幻方叫做这个幻方叫做双重幻方双重幻方或或平方幻方平方幻方；如如果果一一个个幻幻方

17、方的的各各横横行行、直直列列、对对角角线线上上各各数数字字之之积积也也分分别别相相等等，则称之为则称之为乘积幻方乘积幻方。还有一些特殊性质的幻方:幻方有多少？可可以以很很容容易易地地证证明明，2 2阶阶幻幻方方是是不存在的。不存在的。我我国国南南宋宋时时期期数数学学家家杨杨辉辉早早在在12751275年就给出了年就给出了310310阶的幻方。阶的幻方。目目前前，国国外外已已经经排排出出了了105105阶阶幻幻方，我国数学家排出了方，我国数学家排出了125125阶幻方阶幻方。幻方有多少？同同一一阶阶幻幻方方，可可以以有有多多种种不不同同的的排排法法，阶阶数数越越大大，排排法法越越多多。如如果果不

18、不包包括括通通过过旋旋转转或或反反射射得得到到的的本本质质上上相相同同的幻方，我们有：的幻方，我们有：同一阶幻方，可以有多种不同的排法，阶数越大，排法越多。如果不3 3阶幻方只有阶幻方只有1 1种；种；4 4阶幻方有阶幻方有880880种；种；5 5阶阶幻幻方方有有275305224275305224种种（约约两两亿亿七千五百万七千五百万）；）；7 7阶阶幻幻方方有有363916800363916800种种（约约三三亿亿六千四百万六千四百万）；8 8阶幻方超过阶幻方超过1010亿种。亿种。3阶幻方只有1种；刚刚才才已已经经介介绍绍，在在阶阶数数大大于于3 3时时幻幻方方的的种种类类有有很很多多

19、，但但能能够够具具体体构构造造出出来来的的却却不不是是很很多多。下下面面我我们们介介绍绍4 4种构造幻方的通用方法。种构造幻方的通用方法。刚才已经介绍，在阶数大于3时幻方的种类有很多，但能够具体构造（1 1）杨辉与奇数阶幻方的构造杨辉与奇数阶幻方的构造 我我国国南南宋宋时时期期数数学学家家杨杨辉辉曾曾对对幻幻方方有有过过深深入入系系统统的的研研究究，他他于于12751275年年给给出出了了310310阶阶的的幻幻方方。这这里里我我们们给给出出他他关关于于奇奇数数阶阶幻幻方方的的构构造造方方法法，这这些些方方法法记记载载于于他他的的续续古古摘摘奇奇算算经经上上。比比如如，对对于于3 3阶阶幻幻方

20、方，方方法法是是：“九九子子斜斜排排，上上下下对对易易，左左右右相相更更，四四维维挺挺进进。”，具体操作如下图：具体操作如下图：（1）杨辉与奇数阶幻方的构造九子斜排上下对易，左右相更四维挺进 142753869942357861492357816 类似的原理可以构造类似的原理可以构造5 5阶、阶、7 7阶、阶、9 9阶等阶等奇数阶幻方。下图给出了奇数阶幻方。下图给出了5 5阶幻方的构造过阶幻方的构造过程。程。九子斜排上下对易，左右相更四维挺进1162117316128421171395221814102319152420252525子斜排子斜排162117316128421上下对易，左右相更上

21、下对易，左右相更 25242011734128165171392110181422231915621上下对易，左右相更2524201173四维挺进四维挺进 252420112472034412258161651751321921101018114222223619215621四维挺进252420112472034411124720341225816175132191018114222361921511247203412258161751321910181112345678910111213141516171819202122232425816357492（2）奇数阶幻方的构造123456789

22、101112131415161718192303948110192838477918272946681726353751416253436451315243342444212332414331222314049211201724181523571416461320221012192131118252930394811019奇数（不妨n=5n=5）阶的情况第一步:在第一行中间写1 1第二步:每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一个数，向上移出界时填下一列最后一行的小方格；向右移出界时填第一列上一行的小方格。若下面想填的格已填过数或已达到幻方的右上角时，改填刚才填的格子正下方的小方格，继续第

23、二步直到填完12345678910111213141516171819202122232425如何构造幻方(劳伯尔劳伯尔)奇数（不妨n=5）阶的情况第一步:在第一行中间写1第二步123456789101112131415161718192021222324251居上行正中央居上行正中央,下数依次右上放。下数依次右上放。上出格时往下放上出格时往下放,右出格时往左放。排重便往自下放右出格时往左放。排重便往自下放,右上出格一个样。右上出格一个样。12345678910111213141516171819247 58 69 80 112 23 34 4557 68 79 91122 33 44 466

24、7 78 810 21 32 43 54 5677 718 20 31 42 53 55 66617 19 30 41 52 63 65 7616 27 29 40 51 62 64 75 526 28 39 50 61 72 74 41536 38 49 60 71 73 314 2537 48 59 70 81 213 24 35475869801122334455768799112 如果给定一个等差数列，我们如果给定一个等差数列，我们也可以按照以上方式依次将数列数也可以按照以上方式依次将数列数字填入方格构造出奇数阶幻方字填入方格构造出奇数阶幻方。如果给定一个等差数列，我们也可以按照以上方

25、式依次将数列数字3.偶数阶幻方的海尔(Hire)构造 偶偶数数阶阶幻幻方方的的构构造造总总的的来来说说要要比比较较困困难难。下下面面介介绍绍的的是是法法国国人人海海尔尔的的方法。为此，我们先引入一个概念：方法。为此，我们先引入一个概念：3.偶数阶幻方的海尔(Hire)构造根根数数在在一一个个n n阶阶幻幻方方的的构构造造过过程程中中，数字数字 p p=1=1，2 2，n n的根数为的根数为n n(p p-1)-1)例例如如，在在四四阶阶幻幻方方中中，1 1的的根根数数为为0 0，3 3的的根根数数为为8 8；在在1010阶阶幻幻方方中中，3 3的的根根数数为为2020，5 5的根数为的根数为4

26、040。下下面面是是海海尔尔构构造造n n阶阶偶偶数数阶阶幻幻方方的的方方法法与步骤（以与步骤（以4 4阶为例具体填数）：阶为例具体填数）：根数在一个n阶幻方的构造过程中，数字p=1，2，（1 1）将将1 1到到4 4这这4 4个个数数字字分分别别从从左左到到右右（左左小小右右大大）填填入入方方阵阵的的两两条条对对角角线线中中,得得方方阵阵A A；（2 2）把把A A中中每每一一行行的的空空格格中中填填入入1 1到到4 4该该行行尚尚没没有有的的剩剩余余数数字字（左左大大右右小小）,使使每每行行每每列列数数字字之之和和均均为为10,10,得方阵得方阵B B；142323141324423142

27、311324方阵A方阵B（1）将1到4这4个数字分别从左到右（左小右大）填入方阵的两（3 3）把把方方阵阵B B转转置置，即即交交换换行行列列，此此时时得得到到方方阵阵C C，C C中中的的数数叫叫原原始数始数；（4 4）把把C C中中各各原原始始数数分分别别用用其其相相应应的的根根数数替替换换，得方阵得方阵D D；144132232332411401212084484884120012方阵C方阵D（3）把方阵B转置，即交换行列，此时得到方阵C，C中的数叫原（5）最后将最后将B B、D D两方阵中对应数分别相加，两方阵中对应数分别相加，便得到一个便得到一个n n阶幻方阶幻方E E。115144

28、12679810115133216132442314231132401212084484884120012幻方E（5）最后将B、D两方阵中对应数分别相加，便得到一个n阶幻方三阶幻方的编制和补充三阶幻方的编制和补充四阶幻方的编制和补充四阶幻方的编制和补充三阶幻方有技巧三阶幻方有技巧,3数斜着先排好数斜着先排好,上下左右要交换上下左右要交换,然后各自归位了然后各自归位了!数字依次先排好数字依次先排好,上下中间交叉换上下中间交叉换,左右中间交叉换左右中间交叉换,其他地方不要变其他地方不要变!三阶幻方的编制和补充四阶幻方的编制和补充三阶幻方有技巧,4.双偶阶幻方的构造 对对于于双双偶偶阶阶幻幻方方，我

29、我们们有有比比较较简简单单的的构构造造方方法法。为为此此，我我们们先先给给出一个概念：出一个概念：4.双偶阶幻方的构造补补数数在在一一个个n n阶阶幻幻方方的的构构造造过过程程中中，数数字字p p=1=1，2 2，n n2 2的的补补数数为为n n2 2 +1 1 p p.例例如如，在在四四阶阶幻幻方方中中，1 1的的补补数数为为1616，3 3的的补补数数为为1414；在在8 8阶阶幻幻方方中中，1 1的的补补数数为为6464，5 5的补数为的补数为60,1060,10的补数为的补数为55 55。下下面面我我们们以以8 8阶阶幻幻方方为为例例说说明明双双偶偶阶阶幻方的构造方法。幻方的构造方法

30、。补数在一个n阶幻方的构造过程中，数字p=1，2，n2首先将从首先将从1 1到到8 82 2这这8 82 2个自然数依次个自然数依次连续填入方阵各方格内（如图连续填入方阵各方格内（如图）首先将从1到82这82个自然数依次连续填入方阵各方格内（如图12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364123456789101112131415161718192然然后后将将两两条条对对角角线线及及方方阵阵内内与与对对

31、角角线线平平行行间间隔隔为为两两格格的的的的斜斜线线上上的的数数字字分分别别换换为为各各自自的的补补数数，得得到到的的方方阵即是一个阵即是一个n n阶（双偶阶）幻方。阶（双偶阶）幻方。然后将两条对角线及方阵内与对角线平行间隔为两格的的斜线上的数64236160675795554121351501617474620214342244026273736303133323435292838392541232244451918484915145253111056858595462631642361606757955541213515016174n九宫数图最基本的规律，是其纵横及对角线上三数之和都为15

32、，且九个数相加之和为45，是15的3倍。4923578161.九宫图的奥秘九宫数图最基本的规律，是其纵横及对角线上三数之和都为15，且n438+951+276=834+159+672492357816香港业余数学家黄志华先生发现了下面有趣的现象：用幻方中的1，3，9，7顺时针构造四个两位数：97，71，13，39，以及逆时针构造四个两位数：31，17，79，93438+951+276=834+159+67249235n他用计算器验算：n97+71+13+39=31+17+79+93；他用计算器验算：n顺着这种思路，我们构造两个三位数组：139，397，971，713及179，793，931，3

33、17用计算机验算，同样发现n139+397+971+713=179+793+931+317，顺着这种思路，我们构造两个三位数组：139，397，971，深入研究其数字的排列组合，还可以发现以下规律：n其其8组数列中包含组数列中包含4组等差数列：组等差数列：4、5、6、3、5、7、8、5、2、1、5、9，以，以5为为中心，逆时针方向，各数列的公差分别为中心，逆时针方向，各数列的公差分别为1、2、3、4，这又是一个以，这又是一个以1为公差的等差数列为公差的等差数列。深入研究其数字的排列组合，还可以发现以下规律：另四组数列也有一定的另四组数列也有一定的规律（如图所示），从图规律（如图所示），从图中可

34、以看出，这四个数列中可以看出，这四个数列相邻两数的差颠倒对称，相邻两数的差颠倒对称，而且四边的数中，均有相而且四边的数中，均有相邻两数之差为邻两数之差为5 5，且各个，且各个数字均不重复，具体为：数字均不重复，具体为：上上44、9 9、29-4=529-4=5；下；下88、1 1、66-1=566-1=5；左；左44、3 3、88-3=588-3=5；右；右22、7 7、67-67-2=52=5。另四组数列也有一定的规律（如图所示），从图中可以看出，这四奇数和偶数相互交错排列，四角之数为偶奇数和偶数相互交错排列，四角之数为偶数，中间之数为奇数，同时，中间除数，中间之数为奇数，同时，中间除5 5

35、之外的之外的四个数，任何两个之差都为偶数，且分别为四个数，任何两个之差都为偶数，且分别为四角四个数，具体为：四角四个数，具体为：9-7=3-19-7=3-12 2；9-3=7-9-3=7-1=61=6；9-1=89-1=8；7-3=4 7-3=4 奇数和偶数相互交错排列，四角之数为偶数，中间之数为奇数，同n另外：任何一个另外：任何一个角上的数都等于角上的数都等于与这个数不在同与这个数不在同一行、同一列及一行、同一列及对角线上的两个对角线上的两个数之和的一半。数之和的一半。例如，在图中，例如，在图中，右上角的右上角的“2”等等于第于第2行第行第1列的列的“3”与第与第3行第行第2列的列的“1”之

36、和的之和的一半。一半。492357816另外：任何一个角上的数都等于与这个数不在同一行、同一列及对角2.画家杜拉（Albrecht Drer）的铜版画 15141514年年，著著名名画画家家杜杜拉拉（Albrecht Albrecht DurerDurer）画画了了一一幅幅描描绘绘知知识识分分子子忧忧郁郁情情调调的的铜铜版版画画忧忧郁郁（有有的的书书上上称称为为沉沉思思），其其中中载入一个使人入迷的载入一个使人入迷的4 4阶幻方（如下图）。阶幻方（如下图）。163213510118967124151412.画家杜拉（AlbrechtDrer）的铜版画16其引人入胜之处在于她具有许多美妙的性质其

37、引人入胜之处在于她具有许多美妙的性质比如：比如：（1 1）幻幻方方中中间间四四个个角角和和中中心心位位置置四四个个小小正正方方形形中中四四个个数数字字之之和和都都相相等等，而而且且恰恰好好等等于该幻方的幻和于该幻方的幻和3434；16321351011896712415141其引人入胜之处在于她具有许多美妙的性质比如：1632（2 2）这个幻方的上下半部，左右半部，各奇数）这个幻方的上下半部，左右半部，各奇数行，各偶数行，各奇数列，各偶数列，两行，各偶数行，各奇数列，各偶数列，两条对角线，全部非对角线的八个数字，不条对角线，全部非对角线的八个数字，不仅其和分别相等（仅其和分别相等（6868），

38、而且其平方和也），而且其平方和也分别相等（分别相等（748748）；16321351011896712415141（2）这个幻方的上下半部，左右半部，各奇数行，各偶数行，各奇（3 3）两条对角线上各数的立方和等于非对）两条对角线上各数的立方和等于非对角线上各数的立方和（角线上各数的立方和（92489248）；）；16321351011896712415141（3）两条对角线上各数的立方和等于非对角线上各数的立方和（9（4 4）幻方的最后一行的中间两数字）幻方的最后一行的中间两数字1515、1414恰好表述了该画的创作年代恰好表述了该画的创作年代15141514。1632135101189671

39、2415141（4）幻方的最后一行的中间两数字15、14恰好表述了该画的创3.陕西历史博物馆二楼展厅陈列着一块刻着印度陕西历史博物馆二楼展厅陈列着一块刻着印度阿拉伯阿拉伯数码的铁板，这是数码的铁板，这是1957年在西安东郊元代安西王府遗址出土年在西安东郊元代安西王府遗址出土的。这个蕴含着数字原理的六六幻方，在古代被视为奇妙的神的。这个蕴含着数字原理的六六幻方，在古代被视为奇妙的神秘之物。人们把它郑重地埋入房基中，用作镇宅和防灾辟邪的秘之物。人们把它郑重地埋入房基中，用作镇宅和防灾辟邪的吉祥物吉祥物。3.陕西历史博物馆二楼展厅陈列着一块刻着印度阿拉伯数翻译如图所示这个幻方每行、每列及两这个幻方每

40、行、每列及两条对角线上的条对角线上的6 6个数之和个数之和都相等，都是都相等，都是111111。比如。比如第一行的六个数之和就是第一行的六个数之和就是 28+1+3+31+35+10=11128+1+3+31+35+10=111这个幻方铁板是我国数学这个幻方铁板是我国数学史上应用阿拉伯数字的最史上应用阿拉伯数字的最早实物资料，也是元代西早实物资料，也是元代西安接受阿拉伯文化影响的安接受阿拉伯文化影响的具体体现。具体体现。翻译如图所示这个幻方每行、每列及两条对角线上的6个数之和都相对这个幻方进行了仔细研究，发现这个六对这个幻方进行了仔细研究，发现这个六阶幻方不是普通的幻方，它还具有两个独特阶幻方

41、不是普通的幻方，它还具有两个独特的性质。的性质。其一，该幻方是一个二次幻方。幻方其一，该幻方是一个二次幻方。幻方中第一行和第六行中六个数的平方和也相中第一行和第六行中六个数的平方和也相等：等：282+42+32+312+352+102=3095282+42+32+312+352+102=3095 272+332+342+62+22+92=3095 272+332+342+62+22+92=3095第一列和第六列中六个数的平方和也相等：第一列和第六列中六个数的平方和也相等：282+362+72+82+52+272=2947282+362+72+82+52+272=2947 102+12+302+

42、292+322+92=2947 102+12+302+292+322+92=2947这是一般幻方所不具有的特性。这是一般幻方所不具有的特性。对这个幻方进行了仔细研究，发现这个六阶幻方不是普通的幻方，它其二，这个幻方是一个回其二，这个幻方是一个回套幻方。即去掉最外面一层，套幻方。即去掉最外面一层，中间剩下的部分仍然是一个中间剩下的部分仍然是一个四阶幻方。这个四阶幻方由四阶幻方。这个四阶幻方由11261126这这1616个数组成，其每个数组成，其每行，每列及两条对角线上的行，每列及两条对角线上的4 4个数之和都是个数之和都是7474。比如。比如18+21+24+11=7420+15+14+25=7

43、421+12+26+15=7424+17+19+14=7428、04、03、31、35、1036、18、21、24、11、0107、23、12、17、22、3008、13、26、19、16、2905、20、15、14、25、3227、33、34、06、02、09其二，这个幻方是一个回28、04、03、31、35、10n4.百子回归碑百子回归碑n设在珠海市板樟山森林设在珠海市板樟山森林公园（又称澳门回归公公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上。园）的山顶平台上。n百子回归碑是一幅十阶百子回归碑是一幅十阶幻方，中央四数连读及幻方，中央四数连读及“19991220”，标示澳门回归日。，标示澳门回归日。

44、百子回归碑是我国碑史上的第一座百子回归碑是我国碑史上的第一座数字碑。在碑史上只有文字碑、书数字碑。在碑史上只有文字碑、书法碑、符号碑、图画碑、图象碑或法碑、符号碑、图画碑、图象碑或无字碑等，这座百子数字碑则为我无字碑等，这座百子数字碑则为我国碑文化增添了新的一页。国碑文化增添了新的一页。4.百子回归碑百子回归碑是我国碑史上的第一座数字碑。在碑史百子回归碑是一部百年澳门简史，记载着百年来澳百子回归碑是一部百年澳门简史，记载着百年来澳门沧桑巨变的重大历史事件以及有关史地、人文资门沧桑巨变的重大历史事件以及有关史地、人文资料等。如中间两列上部（系十九世纪）：料等。如中间两列上部（系十九世纪）：“18

45、87”1887”年年中葡条约中葡条约正式签署，从此成为正式签署，从此成为葡人上百年（到葡人上百年（到9999年为年为100100余余1313年）年）“永永久管理澳门久管理澳门”的法律依据。又如中间两列下部（系的法律依据。又如中间两列下部（系二十世纪）：二十世纪）：“49”49”年中华人民公和国成立，年中华人民公和国成立，从此中国人民站起来了；从此中国人民站起来了；“97”97”年香港回归祖年香港回归祖国；国；“79”79”年中葡两国正式建立外交关系，澳年中葡两国正式建立外交关系，澳门主权归属是建交谈判中的主要问题；门主权归属是建交谈判中的主要问题；“88”88”年中葡两国互换关于澳门问题的年中

46、葡两国互换关于澳门问题的联合声明联合声明批准批准书，从此澳门踏上了回归祖国的阳光大道。据最新书，从此澳门踏上了回归祖国的阳光大道。据最新资料：澳门陆地面积资料：澳门陆地面积“2350”2350”平方公里。平方公里。百子回归碑是一部百年澳门简史，记载着百年来澳门沧桑巨变的重大伊斯兰教徒佩带的玉挂伊斯兰教徒佩带的玉挂n上海博物馆存有一块伊斯上海博物馆存有一块伊斯兰教徒佩带的玉挂，它是兰教徒佩带的玉挂，它是从浦东陆家嘴附近一个名从浦东陆家嘴附近一个名叫陆深的墓中发现的。据叫陆深的墓中发现的。据考证，陆深是三国时东吴考证，陆深是三国时东吴大将陆逊的后人。玉挂的大将陆逊的后人。玉挂的正面刻有：正面刻有：

47、“万物非主，万物非主，唯其真宰，穆罕默德为其唯其真宰，穆罕默德为其使者。使者。”玉挂的反面却整玉挂的反面却整齐地刻着齐地刻着16个阿拉伯数字，个阿拉伯数字，经过专家的破译，原来是经过专家的破译，原来是个四阶完全幻方。个四阶完全幻方。伊斯兰教徒佩带的玉挂上海博物馆存有一块伊斯兰教徒佩带的玉挂，n这个幻方具有如下特点：n纵、横、对角线四数之和（34）都相等。n对角线“折断”平行线上四数之和也相等，如：n11134635141234n14231559128131641117610这个幻方具有如下特点：n幻方中，任何一个幻方中，任何一个22正方形中四数之和也相等。正方形中四数之和也相等。如如n8111

48、3211142714171234n幻方中，任何一个幻方中，任何一个33正方形，它的四个角数字正方形，它的四个角数字之也是之也是34，如：，如：n8914311611634幻方中，任何一个22正方形中四数之和也相等。如n这个幻方具有如下特点：n纵、横、对角线四数之和（34）都相等。n对角线“折断”平行线上四数之和也相等，如：n11134635141234n14231559128131641117610这个幻方具有如下特点：用用1-100个连续的自然个连续的自然数巧妙组合而成的，数巧妙组合而成的，主题为主题为“100年沧桑，年沧桑，199771回归祖国回归祖国”的的“牛牛”字型幻方字型幻方群图，由

49、首钢矿山职群图，由首钢矿山职校教师罗震编制校教师罗震编制。香港回归祖国香港回归祖国用1-100个连续的自然数巧妙组合而成的，主题为“100年沧弗里安逊的九阶幻方弗里安逊的九阶幻方弗里安逊的九阶幻方“幻方大王幻方大王”弗里安逊制作的九阶幻方堪称一绝：弗里安逊制作的九阶幻方堪称一绝：n这个幻方也有许多独特的性质：这个幻方也有许多独特的性质：n(1)虚线框出的涂粉红色的虚线框出的涂粉红色的25个数字，恰好构成一个五阶幻方个数字，恰好构成一个五阶幻方(幻和值为幻和值为205)；5,63,21,79,37;55,23,81,39,7;25,73,41,9,57;75,43,1,59,27;45,3,61

50、,19,77“幻方大王”弗里安逊制作的九阶幻方堪称一绝：这个幻方也有许n(2)虚线框中没有圈上的数字恰好构成一个四阶幻方虚线框中没有圈上的数字恰好构成一个四阶幻方(幻幻和值为和值为164)；n31,11,51,71;49,33,65,17;15,67,35,47;69,53,13,29(2)虚线框中没有圈上的数字恰好构成一个四阶幻方(幻和值为1n(3)虚线框内数字虚线框内数字(包括边界上的数字包括边界上的数字)全为奇数；框外数字全部全为奇数；框外数字全部为偶数；为偶数；n(4)幻方中奇数的末位数字与水平轴线对称；偶数的末位数字也幻方中奇数的末位数字与水平轴线对称；偶数的末位数字也与水平轴线对称

51、与水平轴线对称(3)虚线框内数字(包括边界上的数字)全为奇数；框外数5.富兰克林的八富兰克林的八阶幻方阶幻方 美美国国政政治治家家富富兰兰克克 林林（17061790）制制作作过过一一个个8阶阶幻幻方方（如如下下图图）。它它具具有有许许多独特的性质。多独特的性质。5.富兰克林的八阶幻方幻方的解题课件（1 1）每每半半行行半半列列上上各各数数字字之之和和分分别别相相等等而而且且等等于于幻幻和（和（260260）之半（）之半（130130）；）；（2 2）幻幻方方四四角角四四个个数数字字与与幻幻方方中中心心四四个个数数字字之之和和等等于幻和（于幻和（260260）；）；52614132029364

52、514362514635301953605122128374411659544338272255587102326394298575641402524506321518313447161644948333217（1）每半行半列上各数字之和分别相等而且等于幻和（260）之（3 3）上上下下各各两两半半对对角角线线8 8数数字字之之和和等等于于幻和。幻和。52614132029364514362514635301953605122128374411659544338272255587102326394298575641402524506321518313447161644948333217（3）上

53、下各两半对角线8数字之和等于幻和。52614136.日本幻方专家片桐善直的八阶幻方日本幻方专家片桐善直的八阶幻方6.日本幻方专家片桐善直的八阶幻方这是一个奇特的八阶幻方。这是一个奇特的八阶幻方。它除了具有富兰克林幻方它除了具有富兰克林幻方的性质以外的性质以外，这个幻方还是一个这个幻方还是一个“间隔幻方间隔幻方”，即相，即相间地从大幻方中取出一些数，可以组成小的幻方，比间地从大幻方中取出一些数，可以组成小的幻方，比如下面便是其中的两个四阶幻方如下面便是其中的两个四阶幻方(它的制作方法，兰色它的制作方法，兰色和黄色各为一个幻方和黄色各为一个幻方)：我们先把上图中数字逐个间隔地取出来，排成如下面我们

54、先把上图中数字逐个间隔地取出来，排成如下面的四阶方阵的四阶方阵.这是一个奇特的八阶幻方。它除了具有富兰克林幻方的性质以外，这7.7.杨辉的九阶幻方杨辉的九阶幻方 我我国国南南宋宋时时期期数数学学家家杨杨辉辉在在他他的的续续古古摘摘奇奇算算经经上上给给出出的的九九阶阶幻幻方方也也有有许许多多更更为为奇奇特特的的性性质质（有有些性质是近来才被发现的）。些性质是近来才被发现的）。7.杨辉的九阶幻方幻方的解题课件（3 3）若把上述）若把上述9 9个个3 3阶幻方的幻和值写在阶幻方的幻和值写在3 3阶方阶方阵中，又构成一个阵中，又构成一个3 3阶幻方。这个幻方的阶幻方。这个幻方的九个数分别为首项为九个数

55、分别为首项为111111，末项为，末项为135135，公差为公差为3 3的等差数列。如果将将这些数按的等差数列。如果将将这些数按大小顺序的序号写入三阶方阵，所得图大小顺序的序号写入三阶方阵，所得图表正是表正是“洛书洛书”幻方；幻方；120135114117123129132111126492357816（3）若把上述9个3阶幻方的幻和值写在3阶方阵中，又构成一个n(4)将幻方中从外向里看则每个将幻方中从外向里看则每个“回回”形上圈里的八形上圈里的八个数字与中心数个数字与中心数41又分别可构成三阶幻方又分别可构成三阶幻方(共四层，即共四层，即四个四个)，即它嵌套着四个三阶幻方。，即它嵌套着四个三

56、阶幻方。(4)将幻方中从外向里看则每个“回”形上圈里的八个数字与中8.8.双重幻方双重幻方 下下图图是是一一个个双双重重幻幻方方，即即把把其其各各方方格格中中数数字字平平方方后后得得到到的的新新方方阵阵也也是是一一个个幻幻方方。原原幻幻方方的的幻幻和和是是260260，新新幻幻方方的的幻幻和和是是1118011180。2020世世纪纪初初，法法国国人人里里列列经经过过长长期期探探索索找找到到了了近近200200个双重幻方。个双重幻方。8.双重幻方531356057348301995346475618121622423952612716337252431444502646449384313234

57、151152212862405448201110175545365862932733595313560573483019953464756181219.9.乘积幻方乘积幻方 下下图图是是一一个个乘乘积积幻幻方方，即即其其各各横横行行、直直列列、对对角角线线上上数数字字之之和和分分别别相相等等，同同时时，各各数数字字之之积积也也分分别别相相等等。该该幻幻方方的的幻幻和和是是840840，其其各行数字乘积是各行数字乘积是2058068231856000 2058068231856000 9.乘积幻方46811171021576200203196023217554691537821616117521

58、7190587513511450871841891368150261453891136922711910410823174225573011625133120512616220739341382431002910515246811171021576200203196023217510.10.六角幻方六角幻方前前面面所所谈谈到到的的幻幻方方都都是是正正方方形形幻幻方方，那那么么有有没没有有正正六六边边形形的的幻幻方方呢呢？也也就就是是说说，能能否否在在边边长长为为n n的的正正六六边边形形内内的的各各小小六六边边形形内内填填入入不不同同的的数数字字，使使得得各各条条直直线线上上各各数数字字之之和

59、和都都相相等等呢呢（称称为为n n阶阶六六角角幻幻方方）？19101910年年，有有一一个个叫叫亚亚当当斯斯的的青青年年开开始始试试图图排排出出一一个个3 3阶六角幻方。阶六角幻方。后后来来人人们们研研究究发发现现，只只有有当当n n=3=3时时，六六角角幻幻方方才才是是存存在在的的。3 3阶阶六六角角幻幻方方的的幻幻和和为为3838。10.六角幻方151310121484965111718173219163阶六角幻方151310121484965111718173219163horse法生成奇阶幻方法生成奇阶幻方先在任意一格内放入1。向左走1步，并下走2步放入2(称为马步)，向左走1步，并下走2步放入3，依次类推放到n。在n的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下边放入2n+1。如下图用Horse法生成的5阶幻方：775839201725334156684930117363442516785940212645435267695031127455453617796041223654637278705132137556472818806142234665738199715233147667482910816243245horse法生成奇阶幻方先在任意一格内放入1。向左走1步幻方的解题课件