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1、泰勒中值定理泰勒中值定理B.Taylor 1685-1731 英国英国泰勒中值定理泰勒中值定理B.Taylor 1685-1731142246420246观察观察 sinx 与一个多项式函数与一个多项式函数 f(x)42246420246观察 sinx 与一个多项式函数 f 242246420246422464202463问题的提出问题的提出（如下图）（如下图）以平直代曲以平直代曲以切直代曲以切直代曲问题的提出（如下图）以平直代曲以切直代曲4泰勒展开定理汇总课件5不足不足:问题问题:1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计、误差不能估计.不足:问题:1、精确度不高；2、误差不能估计.6分
2、析分析:2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好17泰勒展开定理汇总课件8泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理泰勒(Taylor)中值定理9证明证明:证明:10泰勒展开定理汇总课件11泰勒展开定理汇总课件12拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项用于极限计算皮亚诺形式的余项用于极限计算拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项用于极限计13麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式 Maclau
3、rin 公式是公式是Taylor中值定理的特殊中值定理的特殊形式，但却是独立于形式，但却是独立于Taylor中值定理并且迟中值定理并且迟于它被提出来的。于它被提出来的。Maclaurin 1698-1746 1698-1746 英国英国麦克劳林(Maclaurin)公式 Maclau14注注 意意:3.凡是用一元微分学中的定理、技巧能解决的问凡是用一元微分学中的定理、技巧能解决的问题，大部分都可以用题，大部分都可以用Taylor 定理来解决。掌握了定理来解决。掌握了Taylor 定理以后，回过头来看前面的那些理论，定理以后，回过头来看前面的那些理论，似乎一切都在你的掌握之中了，你或许会有一种似
4、乎一切都在你的掌握之中了，你或许会有一种“会当凌绝顶，一览众山小会当凌绝顶，一览众山小”的感觉！从这个意的感觉！从这个意义上来讲，说义上来讲，说“Taylor 定理是一元微分学的顶峰定理是一元微分学的顶峰”并非妄言。并非妄言。注 意:3.凡是用一元微分学中的定理、技巧能解决的问题，大15Taylor公式公式Maclaurin 公式公式Taylor公式Maclaurin 公式16简单的应用简单的应用解解代入公式代入公式,得得简单的应用解代入公式,得17由公式可知由公式可知估计误差估计误差其误差其误差由公式可知估计误差其误差18泰勒展开定理汇总课件19 对于我们初学者来说，在给出函数的对于我们初学
5、者来说，在给出函数的Taylor展开式或者展开式或者Maclaurin展开式时，我们展开式时，我们要知道有一个余项存在，也就是说一个一般要知道有一个余项存在，也就是说一个一般的函数不与一个的函数不与一个n 次多项式函数完全相等，两次多项式函数完全相等，两者有些差别，差别用余项来体现。但是余项者有些差别，差别用余项来体现。但是余项具体的表达式我们现在可以不用考虑太多。具体的表达式我们现在可以不用考虑太多。比如，给出函数比如，给出函数 的的Maclaurin展开式展开式 对于我们初学者来说，在给出函数的比如，给出函数 20 常用简单函数的麦克劳林公式常用简单函数的麦克劳林公式 常用简单函数的麦克劳
6、林公式21可以注意到，正弦函数是一个可以注意到，正弦函数是一个奇函数奇函数，所以，所以 的的Maclaurin 展开的表达式中展开的表达式中只有只有x 的的奇奇数次方项数次方项，并且并且所以我们可以通过这种方式来很快捷地掌握所以我们可以通过这种方式来很快捷地掌握 的的Maclaurin 展开式展开式可以注意到，正弦函数是一个奇函数，所以 的22所以，我们可以得到用所以，我们可以得到用n次多项式来近似表次多项式来近似表示正弦、余弦函数的示正弦、余弦函数的近似计算结果，而且可近似计算结果，而且可以看到，随着以看到，随着n的增大，近似效果就越来越的增大，近似效果就越来越好，好，x的取值范围就可以随之
7、而扩大。的取值范围就可以随之而扩大。所以，我们可以得到用n次多项式来近似表示正弦、余弦函数的近似23播放播放播放24所以，有一个公式就可以想象并得到其它所以，有一个公式就可以想象并得到其它的几个公式。的几个公式。所以，有一个公式就可以想象并得到其它30例例2 解解这就是所谓的这就是所谓的“间接展开间接展开”。例2 解这就是所谓的“间接展开”。31泰勒展开定理汇总课件32泰勒展开定理汇总课件33泰勒展开定理汇总课件34泰勒展开定理汇总课件35泰勒展开定理汇总课件36解解例例3 解例3 37麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式麦克劳林(Maclaurin)公式38Taylor公式公式Ma
8、claurin 公式公式Taylor公式Maclaurin 公式39 对于我们初学者来说，在给出函数的对于我们初学者来说，在给出函数的Taylor展开式或者展开式或者Maclaurin展开式时，我们展开式时，我们要知道有一个余项存在，也就是说一个一般要知道有一个余项存在，也就是说一个一般的函数不与一个的函数不与一个n 次多项式函数完全相等，两次多项式函数完全相等，两者有些差别，差别用余项来体现。但是余项者有些差别，差别用余项来体现。但是余项具体的表达式我们现在可以不用考虑太多。具体的表达式我们现在可以不用考虑太多。比如，给出函数比如，给出函数 的的Maclaurin展开式展开式 对于我们初学者来说，在给出函数的比如，给出函数 40
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