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1、拉普拉斯方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程1(一一)球坐标中的拉普拉斯算子球坐标中的拉普拉斯算子利用该关系式直接将直角坐标系中的拉普拉斯算子化算在球利用该关系式直接将直角坐标系中的拉普拉斯算子化算在球坐标系中，运算比较麻烦，这里我们利用坐标系中，运算比较麻烦，这里我们利用来推导拉普斯算子在球坐标中的表达式。如图4-1所示，取一微六面体ABCDEFGH，球坐标和直角坐标的关系是(一)球坐标中的拉普拉斯算子利用该关系式直接将直角坐标系中的2图 4-1图 4-13将 用于该微六面体，得其中r为微六面体的体积,i=1,2,6表示微六面体的6个面。表示 在第i个面上的值，i为第i个面的面积。在AEHD上，n与
2、p增加的方向反向，所以有该面的面积为 ，所以将 用于该微六面体，得其中4 所以有，在AEFB上，n的方向与增加的方向相反，由于沿增加方向的线元长度为d，所以，同理有，所以有，在AEFB上，n的方向与增加的方向相反，由于沿增加方向5在ABCD上，n的方向与增加的方向相反，由于沿增加方向的线元长度为 sin d ，所以该面的面积为 d d，所以得综合以上几式，得拉普拉斯算子在球坐标中的表达式：在ABCD上，n的方向与增加的方向相反，由于沿增加方向的6(二二)分离变量法分离变量法令上式等于零，然后两边同乘以平方，得球坐标中的拉普拉斯方程分离变量法就是将方程的解分解为依赖于不同自变量的函数之积。令(二
3、)分离变量法令上式等于零，然后两边同乘以平方，得球坐7得两边同除以移项得：等号两边必然等于同一常数，所以得两边同除以移项得：等号两边必然等于同一常数，所以8进一步对第二个方程作变量分离，令有：移项，并令两边同等于，整理得：令 将上式进行改化，得连带勒让德方程：进一步对第二个方程作变量分离，令有：移项，并令两边同等于 9当=0时简化为称为勒让德方程。当=0时简化为称为勒让德方程。104.2 勒让得函数勒让得函数(一一)勒让得方程的级数解勒让得方程的级数解勒让得函数是勒让得方程在一1,1中有界条件下的特征函数。勒让得方程还可以写成令其级数解为得4.2 勒让得函数(一)勒让得方程的级数解勒让得函数是
4、勒让11将第一项更换指标，得显然，要使原级数为勒让得方程的解，上式中x的系数必须等于零，即得递推公式得到两个解将第一项更换指标，得显然，要使原级数为勒让得方程的解，上式中12(二二)级数解的收敛性级数解的收敛性对于上式中的两个级数来说，我们可以将 看成是x平方的幕级数，将 看成是x与-x2的幕级数之积。对于这两个幕级数来说，由于它们具有相同的递推公式，收敛半径也必然相等，有：就是说，当x在(-1,1)中时，前面的两个级数解都是收教的，表明这两个解都有界。当x=士1时，两个级数解均无界。(二)级数解的收敛性对于上式中的两个级数来说，我们可以将 13(三三)勒让得函数勒让得函数为了解决方程的两个幕
5、级数解在(-1,1)中有界而在x=士1时均无界的矛盾，令 的值为n(n+1)，其中n为大于等于零的整数，则系数的递推公式变为:由这个递推公式,使那两个无穷级数中有一个变为多项式。当n为偶数时,变为多项式，仍为无穷级数，当n为奇数时，仍为无穷级数，变为多项式。两个多项式都在一1,1中有界，两个无穷级数则都在(一1,1)中有界，在x=士1时无界。因而勒让得方程在一1,1中有界条件下的特征值是n(n十1)，对应的特征函数为相应的多项式。(三)勒让得函数为了解决方程的两个幕级数解在(-1,1)中有14 我们把上述多项式最高次项的系数规定为此时该多项式称为n阶勒让得函数，并且 表示。在上述递推公式中令i
6、=n-2，可以得到：以此类推，可以得到：，.归纳可以得到:我们把上述多项式最高次项的系数规定为此时该多项式称为15因此，得到勒让德函数的具体表达式：(四四)罗巨格公式罗巨格公式勒让得函数的另一个表达形式是称为罗巨格公式。因此，得到勒让德函数的具体表达式：(四)罗巨格公式勒让得函数164.3 连带勒让得函数连带勒让得函数(一一)连带勒让得方程与勒让得方程的关系连带勒让得方程与勒让得方程的关系 连带勒让得函数是连带勒让得方程在【-1,1】中有界条件下的特征函数。还可以写成：做变量代换，可以求得：4.3 连带勒让得函数(一)连带勒让得方程与勒让得方程的关系17将前三式代入连带勒让德方程，整理得：求导
7、并整理得:得：可见，连带勒让得方程两个线性无关的解可由勒让得方程两个线性无关的解确定。将前三式代入连带勒让德方程，整理得：求导并整理得:得：可见，18(二二)连带勒让得方程的级数解连带勒让得方程的级数解 由上式可以求出连带勒让得方程两个线性无关的解，(三三)级数解的收敛性级数解的收敛性当k为偶数时,将上式中的求和指标i换成i+K/2，得(二)连带勒让得方程的级数解 由上式可以求出连带勒让得方19当i足够大时，考虑到B1（x）中的级数为x2的级数，B2（x）中的级数为x与一个x2的级数之积，所以这两上级数均可被当作正项级数处理，由于级数的前面有限项并不影响级数的收敛性，所以只要分别无界，B1,B
8、2也无界。可以证明，当x趋于士1时，y1(x)和y2(x)分别趋于无穷，也就是说，y1(x)和y2(x)在x=士1时无界，因而B1(x)和B2(x)在x=士1时无界。当i足够大时，考虑到B1（x）中的级数为x2的级数，B2（20(四四)连带勒让得函连带勒让得函数数 为了得到1,1中的有界解，我们仍然取a=n(n+1)，其中n为大于等于零的整数，此时 显然，若n为偶数，则B1(x)中的无穷级数变成多项式，B2(x)中的无穷级数保持为无穷级数;若n为奇数，则B1(x)中的无穷级数保持为无穷级数，B2(x)中的无穷级数变成多项式。这两个多项式都在一1,1中有界，因而由它们得到的B1(x)或B2(x)
9、也有界。则连带勒让得方程在-1,1中的有界解为将Pn的表达式代入，得(四)连带勒让得函数 为了得到1,1中的有界解21得得22经度方向方程的求解经度方向方程的求解233.4 球函数 在第一节中，我们将球坐标中的拉普拉斯方程的解分解成了 三个函数的积，并解出：最后，我们来求解 当趋于零时，。所以，适用于研究内部有界的调和函数。，适用于研究外部有界的调和函数。3.4 球函数 在第一节中，我们将球坐标中的拉普拉24 由分离变童法求得的拉普拉斯方程最一般的解为所有可能的乘积 的线性组合。设坐标原点在某一闭合曲面的内部，则在该曲面内部拉普拉斯方程分离变量有限解的一般形式为 由分离变童法求得的拉普拉斯方程
10、最一般的解为所有可254.5球函数的几何意义n(一)勒让得函数的零点4.5球函数的几何意义(一)勒让得函数的零点26球函数的几何意义n(二)面球函教的几何意义当k=0时，面球函数退化成P(cos)，由于它在00之间有，n个零点，并且每经过一次零点改变一次正负号，所以，(cos)由纬线将球面分成n十1个正负相间的条带，叫带球函数,是P3(cos)的示意图，零点为50.8,90和129.2球函数的几何意义(二)面球函教的几何意义当k=0时，面球函数27球函数的几何意义球函数的几何意义28球函数的几何意义球函数的几何意义29球函数的几何意义球函数的几何意义30第四章1球函数及其性质课件31球函数的规格化球函数的规格化32球函数的规格化球函数的规格化33习题n1证明:习题1证明:34
第四章1球函数及其性质课件
