线性代数-矩阵及其运算ppt课件

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1、第二章 矩阵及其运算(Matrix&Operation)矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到数学上的一个重要工具。矩阵的应用已经渗透到了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各了包括自然科学、人文科学、社会科学在内的各个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的个领域。在矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规作用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些基本规则与技巧。则与技巧。第二章第二章矩阵及其运算矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是矩阵及其运算矩阵是线性代数的一个主要研究对象，也是

2、某班级同学早餐情况某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名姓名馒头馒头包子包子鸡蛋鸡蛋稀饭稀饭周星周星驰驰4221张曼张曼玉玉0000陈水陈水扁扁4986为了方便，常用下面右边的数表表示为了方便，常用下面右边的数表表示2.1矩阵的概念矩阵的概念2.1.12.1.1矩阵的引入矩阵的引入矩阵的引入矩阵的引入某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名馒头包子姓名馒头包子1.定义定义2.1由由mn个个aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成的排成的m行行n列的数表列的数表称称m行行n列矩阵，简称列矩阵，

3、简称mn矩阵。记作矩阵。记作2.1.2矩阵的定义矩阵的定义1.定义定义2.1由由mn个个aij(i=1,2,m;2.说明说明:矩阵与行列式不同矩阵与行列式不同1)形式不同形式不同矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同矩阵的行列数可不同，但行列式必须行列数同.2)内容不同内容不同矩阵是一个数表，但行列式必是一个数矩阵是一个数表，但行列式必是一个数.3.实矩阵、复矩阵实矩阵、复矩阵2.说明说明:矩阵与行列式不同矩阵与行列式不同形式不同内容不同形式不同内容不同5.矩阵矩阵相等相等充要条件是充要条件是:4.同型矩阵同型矩阵两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵两矩阵的行列数分别相等称它们是同型矩阵5

4、.矩阵矩阵相等相等充要条件是充要条件是:2.1.2一些特殊矩阵一些特殊矩阵1.方阵方阵若若A为为n行行n列的矩阵，称列的矩阵，称A为为n阶方阵。阶方阵。2.行矩阵、列矩阵行矩阵、列矩阵行矩阵行矩阵只有一行的矩阵。只有一行的矩阵。列矩阵列矩阵只有一列的矩矩阵只有一列的矩矩阵3.零矩阵、单位矩阵零矩阵、单位矩阵2.1.2一些特殊矩阵一些特殊矩阵1.方阵方阵2.行矩阵、列矩行矩阵、列矩n阶单位矩阵阶单位矩阵n阶单位矩阵阶单位矩阵4.对角矩阵与数量矩阵对角矩阵与数量矩阵5.上（下）三角形矩阵上（下）三角形矩阵4.对角矩阵与数量矩阵对角矩阵与数量矩阵5.上（下）三角形矩阵上（下）三角形矩阵2.2 2.2

5、 矩阵的运算矩阵的运算2.2.1.2.2.1.矩阵的加法与数乘矩阵的加法与数乘:注：矩阵的加法只能在两个注：矩阵的加法只能在两个同型矩阵之间进行；同型矩阵之间进行；两个矩阵相加时，对应两个矩阵相加时，对应元素进行相加。元素进行相加。1.矩阵的加法（定义矩阵的加法（定义2.2）:A=(aij)、B=(bij)2.2矩阵的运算矩阵的运算2.2.1.矩阵的加法与数乘矩阵的加法与数乘:2.矩阵的数乘矩阵的数乘定义定义2.3数数与矩阵与矩阵的乘积记为的乘积记为A或或A，并规定：，并规定：负矩阵负矩阵:A=(aij)减法：减法：B=+(B)2.矩阵的数乘负矩阵矩阵的数乘负矩阵:A=(aij)3.矩阵线性运

6、算律：矩阵线性运算律：(1)A+B=B+A (2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+(A)=O (4)1A=A (5)(kl)A=k(lA)(6)(k+l)A=kA+lA (7)k(A+B)=kA+kB3.矩阵线性运算律：矩阵线性运算律：例例1若若X满足满足其中其中求求X.解解X=例例1若若X满足满足其中求其中求X.解解X=2.2.2.矩阵的乘法矩阵的乘法：1.矩阵的乘法定义（定义矩阵的乘法定义（定义2.5）设矩阵设矩阵A为为ms 阶矩阵、矩阵阶矩阵、矩阵B为为sn 阶矩阵，阶矩阵，A=(aij)ms、B=(bij)sn，则矩阵，则矩阵A与与B 的乘的乘积为一积为一mn 阶矩阵阶矩阵C=

7、(cij)mn，记，记C=AB，且且2.2.2.矩阵的乘法：矩阵的乘法：就是说，矩阵就是说，矩阵C 的第的第i 行第行第j 列的元素等于列的元素等于矩阵矩阵A 的第的第i 行的所有元素与矩阵行的所有元素与矩阵B 的第的第j 列的对应元素的乘积之和。列的对应元素的乘积之和。就是说，矩阵就是说，矩阵C的第的第i行第行第j列的元素等于矩阵列的元素等于矩阵A的的例例2计算计算 例例2计算计算例例3.非齐次线性方程组的矩阵表示非齐次线性方程组的矩阵表示记记则非齐次线性方程组可简记为则非齐次线性方程组可简记为例例3.非齐次线性方程组的矩阵表示记非齐次线性方程组的矩阵表示记则非齐次线性方程组则非齐次线性方程

8、组关于矩阵乘法的注意事项：关于矩阵乘法的注意事项：（1）矩阵）矩阵A与矩阵与矩阵B做乘法必须是左矩阵的列数与右做乘法必须是左矩阵的列数与右矩阵的行数相等；矩阵的行数相等；（2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是是 A左乘左乘B的乘积，的乘积，BA是是A右乘右乘B的乘积；的乘积；2.矩阵乘法与加法满足的运算规律矩阵乘法与加法满足的运算规律关于矩阵乘法的注意事项：关于矩阵乘法的注意事项：2.矩阵乘法与加法满足的运算规律矩阵乘法与加法满足的运算规律（3 3）ABAB与与BABA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定同时会有意义；即是有意义，也 不一

9、定相等；不一定相等；（4 4）AB=O AB=O 不一定有不一定有A=OA=O或或B=O B=O；A(XA(X Y)=O Y)=O 且且 A O A O 也不可能一定有也不可能一定有X=YX=Y例例4（3）AB与与BA不一定同时会有意义；即是有意义，也不一定同时会有意义；即是有意义，也例例4定理定理2.1 若矩阵若矩阵A的第的第i行是零行，则乘积行是零行，则乘积AB的第的第i行行也是零；若矩阵也是零；若矩阵B的第的第j行是零列，则乘积行是零列，则乘积AB的第的第j列也是零。若列也是零。若A(或或B)是零矩阵，则乘积是零矩阵，则乘积AB也是零矩也是零矩阵。阵。例例5设设求求AB与与BA解解定理定

10、理2.1若矩阵若矩阵A的第的第i行是零行，则乘积行是零行，则乘积AB的第的第i行也行也只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：足结合律，而不满足交换律，因而有下面的式子：(1)An Am=An+m (2)(An)m=An m (3)(AB)k Ak Bk3.矩阵的乘幂：设矩阵的乘幂：设A 是是n 阶方阵，定义阶方阵，定义：只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满只有方阵，它的乘幂才有意义。由于矩阵的乘法满足结合律，而不满例例6解解例例6解解4.4.方阵方阵A的的n次多项式次多项式4.

11、方阵方阵A的的n次多项式次多项式5.5.矩阵的转置矩阵的转置定义定义2.6 A2.6 A的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作A AT T，是将，是将A A的行列互换后所的行列互换后所得矩阵如果得矩阵如果 A A是一个是一个 mn mn 阶矩阵，阶矩阵，A AT T 是一个是一个 nm nm 阶矩阵阶矩阵。矩阵的转置的性质矩阵的转置的性质5.矩阵的转置矩阵的转置的性质矩阵的转置矩阵的转置的性质证明证明（1）、（）、（2）、（）、（3）易证，下证明）易证，下证明(4).设矩阵设矩阵A为为ms 阶矩阵，矩阵阶矩阵，矩阵B为为sn阶矩阵，那么：阶矩阵，那么：(AB)T与与BTAT是同型矩阵；是同型矩阵；又

12、设又设C=A B，因为，因为CT的第的第i 行第行第j 列的元素正好是列的元素正好是C 的的cji，即，即cji=aj1b1i+aj2b2i+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+bsiajs而而b1i，b2i，bsi 正好是正好是BT的第的第i 行，行，aj1,aj2,ajs 正正好是好是AT的第的第j 列，因此列，因此cji 是是BTAT的第的第i 行第行第j 列的元列的元素。故素。故(AB)T=ATBT证明证明6.对称矩阵与反对称矩阵对称矩阵与反对称矩阵设设A为为n 阶方阵，阶方阵，若若AT=A，即即aij=aji (i,j=1,2,n)，称矩阵称矩阵A 为对称矩阵；为对称矩阵；若若

13、AT=A，即即aij=aji (i,j=1,2,n)，称矩阵称矩阵A 为反对称矩阵。为反对称矩阵。如右边的矩阵如右边的矩阵A 为对称矩阵为对称矩阵6.对称矩阵与反对称矩阵如右边的矩阵对称矩阵与反对称矩阵如右边的矩阵7.方阵的行列式方阵的行列式（1）方阵）方阵A 的行列式，记为的行列式，记为|A|或或detA。注意：行列式与方阵是两个不同的概念，注意：行列式与方阵是两个不同的概念，且它们的记号也是不同的。且它们的记号也是不同的。（2）方阵的行列式满足以下运算规律）方阵的行列式满足以下运算规律(设设A、B为为n 阶方阵，阶方阵，为实数为实数)7.方阵的行列式方阵的行列式1)伴随矩阵：设伴随矩阵：设

14、A=(aij)nn，矩阵，矩阵A中元素中元素aij的代数余的代数余子式子式Aij构成的如下矩阵构成的如下矩阵8 8、再讲几类特殊的矩阵、再讲几类特殊的矩阵称矩阵称矩阵A的伴随矩阵，记为的伴随矩阵，记为A1)伴随矩阵：设伴随矩阵：设A=(aij)nn，矩阵，矩阵A中元素中元素ai矩阵运算举例矩阵运算举例矩阵运算举例矩阵运算举例线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件 设对于设对于n 阶方阵阶方阵A，若存在，若存在n

15、 阶方阵阶方阵B 使得使得 A B=B A=E 恒成立，则称矩阵恒成立，则称矩阵A 可逆或满秩矩阵可逆或满秩矩阵,或非奇异矩阵；或非奇异矩阵；B 称为称为A 的逆矩阵，记为的逆矩阵，记为A1=B 。1）.若矩阵若矩阵A可逆，则可逆，则A的逆矩阵是唯一的。的逆矩阵是唯一的。证明：证明：设设A有两个逆矩阵有两个逆矩阵B1、B2，则，则 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B21、可逆矩阵的定义（定义、可逆矩阵的定义（定义2.8）2、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质、可逆矩阵的唯一性、存在性及性质2.3逆矩阵逆矩阵设对于设对于n阶方阵阶方阵A，若存在，若存在n阶方阵阶方阵B使得使得证

16、明：充分性证明：充分性由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有：法的定义有：AA*=A*A=|A|E，又，又|A|02）.定理定理2.2A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是|A|0，且，且A可逆可逆时有时有证明：充分性证明：充分性由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有由行列式的代数余子式的性质及矩阵乘法的定义有3）.对于对于n 阶方阵阶方阵A、B 若有若有AB=E 则：则：A、B 均可均可逆，且它们互为可逆矩阵。逆，且它们互为可逆矩阵。证明：证明：AB=E|A|B|=1 故故|A|0且且|B|0，A、B均可逆，又均可逆，又BA=BABB1=BB1=E

17、,故故A1=B必要性证明：必要性证明：A可逆可逆A A1=A1A=E故故|A|A1|=1，即，即|A|0，A可逆，可逆，同时还有同时还有奇异矩阵与非奇异矩阵：若奇异矩阵与非奇异矩阵：若n方阵方阵的行列式的行列式|A|0，称矩阵，称矩阵A为非奇异矩阵，否则矩阵为非奇异矩阵，否则矩阵A称为奇异矩阵。称为奇异矩阵。3）.对于对于n阶方阵阶方阵A、B若有若有AB=E则：则：4）.逆矩阵的性质逆矩阵的性质如果如果A、B均可逆，那么均可逆，那么AT与与AB都可逆，且都可逆，且(A 1)1A(AT)1(A1)T(AB)1B1A1(kB)1k1A1(k为非零）为非零）|A1|=|A|1证明：证明：A、B均可逆

18、均可逆AA1=A1AE 故故(AA1)T=(A1)TATET=E(AT)1=(A1)T同理同理(AB)(B 1 A1)(B 1 A1)(AB)E(A)1=1 A14）.逆矩阵的性质逆矩阵的性质有关逆矩阵例题有关逆矩阵例题有关逆矩阵例题有关逆矩阵例题线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件 本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，本节来介绍一个在处理高阶矩阵

19、时常用的方法，即矩阵的分块。将矩阵即矩阵的分块。将矩阵A用若干条横线与若干条纵线用若干条横线与若干条纵线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵A的子块。的子块。以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。特别在运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。运算中，把这些小矩阵当做一个数来处理。2.4 2.4 分块矩阵分块矩阵本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即本节来介绍一个在处理高阶矩阵时常用的方法，即线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件即即Aij与与Bij有相同的列数与行数，则：有相同的列数与

20、行数，则：A与与B 的和就是以的和就是以Aij与与Bij为元素的形式矩阵相加。为元素的形式矩阵相加。2.4.1分块矩阵的加法：分块矩阵的加法：设矩阵设矩阵A,矩阵矩阵B为为：即即Aij与与Bij有相同的列数与行数，则：有相同的列数与行数，则：A与与B的和就是以的和就是以A2.4.2分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法：设矩阵设矩阵Amn、Bnp 且矩阵且矩阵A 列列的分法与矩阵 B 的行的分法相同。2.4.2分块矩阵的乘法：设矩阵分块矩阵的乘法：设矩阵Amn、Bnp且且线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件2.4.3分块矩阵的转置分块矩阵的转置2.4.3分块矩阵的转置分块矩阵的转置

21、它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称在主对角线上的矩阵均为不全为零的方阵，则称A为为准对角矩阵（或对角块矩阵）。准对角矩阵（或对角块矩阵）。对于准对角矩阵，有以下运算性质对于准对角矩阵，有以下运算性质：若若A与与B是具有相同分块的准对角矩阵，且设是具有相同分块的准对角矩阵，且设2.4.4准对角矩阵准对角矩阵 若矩阵若矩阵A的分块矩阵具有以下形式的分块矩阵具有以下形式它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角它的特点是不在主对角线上的子块全为零矩阵，而在主对角则：则：则：若准对角矩阵若准对角矩

22、阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵阵A也可逆，且也可逆，且若准对角矩阵若准对角矩阵A的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵的主对角线上的每一个方阵均可逆，则矩阵A也可也可2.4.5矩阵分块的应用矩阵分块的应用2.4.5矩阵分块的应用矩阵分块的应用线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件2.4.6矩阵按列分块矩阵按列分块1.矩阵按列分块矩阵按列分块2.4.6矩阵按列分块矩阵按列分块1.矩阵按列分块矩阵按列分块2.线性方程线性方

23、程组的系数矩阵按列分块后线性方程组组的系数矩阵按列分块后线性方程组的等价形式的等价形式2.线性方程组的系数矩阵按列分块后线性方程组的等价形式线性方程组的系数矩阵按列分块后线性方程组的等价形式如果把系数矩阵如果把系数矩阵A A按列分成按列分成 n n块，则线性方程组可块，则线性方程组可记作记作如果把系数矩阵如果把系数矩阵A按列分成按列分成n块，则线性方程组可记作块，则线性方程组可记作2.5 初等变换与初等矩阵2.5.1矩阵的初等变换矩阵的初等变换(Elementaryoperation)1 初等变换 定义定定下面的三种变换称为矩阵的下面的三种变换称为矩阵的初等变换初等变换：(i).对调两行对调两

24、行(ii).以非以非0数乘以某一行的所有元素；数乘以某一行的所有元素；(iii).把某一行所有元素的把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去倍加到另一行对应的元素上去把把定定义义中中的的“行行”换换成成“列列”，即即得得矩矩阵阵的的初初等等列列变变换换的的定义。定义。矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换初等变换。显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一种初等变换。是同一种初等变换。2.5初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵2.5.1矩阵的初等变换矩阵的初等变换(El例18 设（1）用行初

25、等变换用行初等变换把把A化为阶梯形，进一化为阶梯形，进一步化为行标准形步化为行标准形（2）再用列初等变换再用列初等变换把把A化为标准形化为标准形解解（1）例例18设（设（1）用行初等变换）用行初等变换把把A化为阶梯形，进一步化为化为阶梯形，进一步化为（行阶梯形）（行阶梯形）（行阶梯形）（行阶梯形）线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件线性代数线性代数-矩阵及其运算矩阵及其运算ppt课件课件2行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵定义定义2.11一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一个矩阵称为行阶梯形矩阵，如果从第一行起，每行第一个非零元素前面零的个数逐行一行起，每行第一个非零元素前面零的个数

26、逐行增加，一旦出现零行，则后面各行（如果有的话）增加，一旦出现零行，则后面各行（如果有的话）都是零行都是零行如下面的阶梯形矩阵如下面的阶梯形矩阵2行阶梯形矩阵定义行阶梯形矩阵定义2.11一个矩阵称为行阶梯形矩阵，一个矩阵称为行阶梯形矩阵，行标准型行标准型下面形式的矩阵称为行标准型下面形式的矩阵称为行标准型下面形式的矩阵称为标准型下面形式的矩阵称为标准型行标准型下面形式的矩阵称为行标准型下面形式的矩阵称为标准型行标准型下面形式的矩阵称为行标准型下面形式的矩阵称为标准型3.定理定理2.3设设A是一个是一个m行行n列矩阵，通过行初等变换可列矩阵，通过行初等变换可以把以把A化为如下行标准型化为如下行标

27、准型3.定理定理2.3设设A是一个是一个m行行n列矩阵，通过行初等变换可以把列矩阵，通过行初等变换可以把4定理定理矩阵矩阵A可经初等变换化为标准形可经初等变换化为标准形:4定理定理矩阵矩阵A可经初等变换化为标准形可经初等变换化为标准形:（1）.已知已知分别将分别将A的第一、二行互换和将的第一、二行互换和将A的第一列的的第一列的 2倍加到第二列，求出相应的初等矩阵倍加到第二列，求出相应的初等矩阵,并用矩阵并用矩阵乘法将这两种变换表示出来乘法将这两种变换表示出来。（1）.已知已知解解交换交换A的第一、二行，可用二阶初等矩阵的第一、二行，可用二阶初等矩阵左乘左乘A：解解交换交换A的第一、二行，可用二

28、阶初等矩阵的第一、二行，可用二阶初等矩阵将将A的第一列的的第一列的 2倍加到第二列，即用三阶初等矩阵倍加到第二列，即用三阶初等矩阵右乘右乘A：将将A的第一列的的第一列的2倍加到第二列，即用三阶初等矩阵倍加到第二列，即用三阶初等矩阵2.5.2初等矩阵初等矩阵1.初等矩阵的定义（定义初等矩阵的定义（定义2.12）由由单单位位矩矩阵阵E经经过过一一次次初初等等变变换换得得到到的的矩矩阵阵称称为为初初等矩阵。等矩阵。对对应应于于三三种种行行初初等等变变换换，可可以以得得到到三三种种行行初初等等矩矩阵。阵。人人们们从从大大量量的的实实际际计计算算中中发发现现：对对经经过过一一次次初初等等变变换换等等同同

29、于于对对矩矩阵阵左左乘乘或或右右乘乘一一个个适适当当的的矩矩阵阵，此矩阵就是下面的所谓初等矩阵。此矩阵就是下面的所谓初等矩阵。2.5.2初等矩阵初等矩阵1.初等矩阵的定义（定义初等矩阵的定义（定义2.12）由）由(1)对于对于n阶单位矩阵阶单位矩阵I，交换，交换E的第的第行行，得到的初等矩阵记作：，得到的初等矩阵记作：对于对于n阶单位矩阵阶单位矩阵I，交换，交换E的第的第(2)用非零数用非零数k乘以乘以I的第的第行，得到的初等矩行，得到的初等矩阵记作阵记作:(2)用非零数用非零数k乘以乘以I的第的第行，得到的初等行，得到的初等(3)将将I的的第第行行的的倍倍加加到到第第行行，得得到到的的初等矩

30、阵记作：初等矩阵记作：(3)将将I的第的第行的行的倍加到第倍加到第(4)同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵2.初等矩阵之间的关系初等矩阵之间的关系(4)同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵同样用列初等变换可以得到相应的的初等矩阵2.初等矩初等矩3.可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；4.初等矩阵与初等变换之间的关系初等矩阵与初等变换之间的关系；1）.先看下面的例题先看下面的例题3.可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵；4.初初1）行初等

31、矩阵左乘矩阵）行初等矩阵左乘矩阵（3）.列初等矩阵右乘矩阵列初等矩阵右乘矩阵1）行初等矩阵左乘矩阵（）行初等矩阵左乘矩阵（3）.列初等矩阵右乘矩阵列初等矩阵右乘矩阵2）.结论结论定理定理2.4A为矩阵为矩阵,对对A进行初等行变换等同于用相应的进行初等行变换等同于用相应的行初等矩阵左乘行初等矩阵左乘A，对，对A进列变换等同于用相进列变换等同于用相应的列初等矩阵右乘应的列初等矩阵右乘A。5.矩阵等价矩阵等价定义定义2.13若矩阵若矩阵A经过行（列）初等变换可化为经过行（列）初等变换可化为B则称则称A与与B行（列）等价。若矩阵行（列）等价。若矩阵A经过初等变换可经过初等变换可化为化为B则称则称A与与

32、B等价等价2）.结论定理结论定理2.45.矩阵等价定义矩阵等价定义2.136.初等矩阵可逆性初等矩阵可逆性初等矩阵是可逆的，且有初等矩阵是可逆的，且有6.初等矩阵可逆性初等矩阵是可逆的，且有初等矩阵可逆性初等矩阵是可逆的，且有7.结论结论定理定理2.6可逆矩阵可逆矩阵A可表示为有限个初等矩阵的可表示为有限个初等矩阵的积，进一步可以表示为有限个行初等矩阵的积；积，进一步可以表示为有限个行初等矩阵的积；也可以表示为有限个列初等矩阵的积也可以表示为有限个列初等矩阵的积。证明：证明：因为任意矩阵因为任意矩阵A，有行、列初等矩阵，有行、列初等矩阵使得使得7.结论定理结论定理2.6可逆矩阵可逆矩阵A可表示

33、为有限个初等矩阵的积，可表示为有限个初等矩阵的积，因因A可逆，所以可逆，所以A的标准形中不可能有零行，的标准形中不可能有零行，从而从而r=n,即有即有于是有于是有因因A可逆，所以可逆，所以A的标准形中不可能有零行，从而的标准形中不可能有零行，从而r=n,证毕证毕初等矩阵的逆还是初等矩阵，故初等矩阵的逆还是初等矩阵，故A初等矩阵的积。初等矩阵的积。又行初等矩阵与列初等矩阵可以互换，故又行初等矩阵与列初等矩阵可以互换，故A可以可以是行初等矩阵的积或列初等矩阵的积。是行初等矩阵的积或列初等矩阵的积。证毕初等矩阵的逆还是初等矩阵，故证毕初等矩阵的逆还是初等矩阵，故A初等矩阵的积。又行初等矩阵初等矩阵的

34、积。又行初等矩阵定理定理2.5矩阵矩阵A与与B等价当且仅当存在可逆的等价当且仅当存在可逆的P与与Q，使得，使得PAQ=B.特别地，矩阵特别地，矩阵A等价于等价于A的标准形。的标准形。证明：证明：初等矩阵的积是可逆；任何矩阵一定可以经初等矩阵的积是可逆；任何矩阵一定可以经过初等变换化为标准形；可逆矩阵一定可以表成有过初等变换化为标准形；可逆矩阵一定可以表成有限初等矩阵的积限初等矩阵的积定理定理2.5矩阵矩阵A与与B等价当且仅当存在可逆的等价当且仅当存在可逆的P与与Q，使得，使得8.可逆矩阵的逆的求法可逆矩阵的逆的求法A可逆可逆,则有行初等行矩阵则有行初等行矩阵使得使得则有则有记记8.可逆矩阵的逆

35、的求法可逆矩阵的逆的求法A可逆可逆,则有行初等行矩阵则有行初等行矩阵则有行初等矩阵则有行初等矩阵使得使得上面的推导，提供了一种新的求矩阵的简上面的推导，提供了一种新的求矩阵的简单方法，举例如下：单方法，举例如下：则有行初等矩阵使得上面的推导，提供了一种新的求矩阵的简单方法则有行初等矩阵使得上面的推导，提供了一种新的求矩阵的简单方法例4 求A的逆矩阵例例4求求A的逆矩阵的逆矩阵例例5求求A的逆矩阵的逆矩阵解解例例5求求A的逆矩阵解的逆矩阵解2.6矩阵的秩矩阵的秩2.6.1 矩阵的秩的概念(Rankofamatrix)1.定义定义在在m n矩阵矩阵A中，任取中，任取k行行k列（列（k m，k n）

36、，），位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在个元素，不改变它们在A中所处中所处的位置次序而得的的位置次序而得的k阶行列式，称为阶行列式，称为矩阵矩阵A的的k阶子式阶子式。2.定定义义2.14 如如果果矩矩阵阵A有有一一个个不不等等于于零零的的r阶阶子子式式D，并并且且所所有有的的r+1阶阶子子式式（如如果果有有的的话话）全全为为零零，则则称称D为为矩矩阵阵A的的最最高高阶阶非非零零子子式式，称称r为为矩矩阵阵A的的秩秩，记记为为R(A)=r，并规定零矩阵的秩等于零。，并规定零矩阵的秩等于零。2.6矩阵的秩矩阵的秩2.6.1矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念(Rank4.由矩

37、阵的秩的定义易得：由矩阵的秩的定义易得：（1）矩阵）矩阵A的秩既不超过行数也不超过列数的秩既不超过行数也不超过列数（2）矩阵）矩阵A的秩等于矩阵的秩等于矩阵A的转置矩阵的秩。不为零的常的转置矩阵的秩。不为零的常数数k与矩阵与矩阵A的积的秩等于矩阵的积的秩等于矩阵A的秩。的秩。（3）n阶矩阵阶矩阵A的秩等于的秩等于n充要条件是充要条件是A为可逆矩阵（满秩为可逆矩阵（满秩矩阵）。矩阵）。（4）若）若A有一个有一个r阶子式不等于零，则阶子式不等于零，则r(A)大于大于等于等于r;若若A所有一个所有一个r+1阶子式等于零，阶子式等于零，则则r(A)小小于等于于等于r。4.由矩阵的秩的定义易得：（由矩阵

38、的秩的定义易得：（1）矩阵）矩阵A的秩既不超过行数也不的秩既不超过行数也不例20 求下列矩阵的秩解：解：A是一个阶梯型是一个阶梯型矩阵，容易看出，A中有一个中有一个三阶子式不为三阶子式不为0，而所有的四阶子式全为，而所有的四阶子式全为0，故，故R(A)3。对于对于B，可以验证，可以验证R(B)2。因为中有一个二阶子式中有一个二阶子式不为不为0，而所有的三阶子式（四个）全为，而所有的三阶子式（四个）全为0，例例20求下列矩阵的秩解：求下列矩阵的秩解：A是一个阶梯型矩阵，容易看出是一个阶梯型矩阵，容易看出2.6.2用初等变换求矩阵的秩用初等变换求矩阵的秩定理定理2.7初等变换不改变矩阵的秩初等变换

39、不改变矩阵的秩证明 从前面的讨论显然有上面的结论从上面的例题很容易看出：从上面的例题很容易看出：阶梯型阶梯型矩阵的秩易求，矩阵的秩易求，因此我们用初等变换方法求矩阵的秩因此我们用初等变换方法求矩阵的秩例例21用初等变换求下列矩阵的秩用初等变换求下列矩阵的秩2.6.2用初等变换求矩阵的秩定理用初等变换求矩阵的秩定理2.7初等变换初等变换故故A的秩为的秩为3故故A的秩为的秩为3定理定理2.8设矩阵设矩阵A，可逆的，可逆的P与与Q，则，则r(PA)=r(A)2.6.3矩阵秩矩阵秩的不等式的不等式r(AQ)=r(A)r(PAQ)=r(A)证明证明从前面的讨论显然有上面的结论从前面的讨论显然有上面的结论

40、以下结论很重要，会经常应用以下结论很重要，会经常应用定理定理2.9两个矩阵积的秩不超过每个因子的秩，两个矩阵积的秩不超过每个因子的秩，设设A是是m n矩阵，矩阵，B是是n k矩阵矩阵,则则定理定理2.8设矩阵设矩阵A，可逆的，可逆的P与与Q，则，则r(PA)=r(证明 设 r(A)=r由定理 2.5可逆的P与Q使得于是将分块于是有证明证明设设r(A)=r由定理由定理2.5可逆的可逆的P与与Q再由定理再由定理2.8，有，有同理可证再由定理再由定理2.8，有同理可证，有同理可证定理定理2.10（Sylvester公式）公式）A是是m n矩阵，矩阵，B是是n k矩阵，则矩阵，则特别定理定理2.10（Sylvester公式）公式）A是是mn矩阵，矩阵，定理定理2.11A、B是是m n矩阵，则矩阵，则证明将将A,B排成排成m 2n的矩的矩阵阵则有则有由定理由定理2.9有有定理定理2.11A、B是是mn矩阵，则证明将矩阵，则证明将A,B排成排成m2综上，有综上，有由定理由定理2.7综上，有由定理综上，有由定理2.7例例22设设A为为n阶幂等矩阵，即阶幂等矩阵，即证明证明证明证明由有由定理由定理2.10有另一方面另一方面由定理由定理2.11 有故有例例22设设A为为n阶幂等矩阵，即证明证明由有由定理阶幂等矩阵，即证明证明由有由定理2.