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1、一、一、一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程及其解法二、二、一阶线性微分方程的简单应用一阶线性微分方程的简单应用三、三、小结及作业小结及作业6.2 6.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程及其解法6.2 一阶线性微分方程1判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：一、一阶线性微分方程及其解法一、一阶线性微分方程及其解法例例1 1在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次的，则称其为一阶线性微分方程。的，则称其为一阶线性微分方程。1.1.一阶线性微分方程的定义一阶线性微分方程的定义判下
2、列微分方程是否为一阶线性微分方程：一、一阶线性微分方程及2（1 1）、（）、（4 4）是一阶线性的，）是一阶线性的，其余的是非线性的其余的是非线性的.解解2.2.一阶线性微分方程的一般式一阶线性微分方程的一般式3.3.一阶线性微分方程的分类一阶线性微分方程的分类 当当 时，方程（时，方程（1）称为一阶线性）称为一阶线性齐次齐次微微分方程。分方程。当当 时，方程（时，方程（1）称为一阶线性）称为一阶线性非齐次非齐次微分方程。微分方程。（1）、（4）是一阶线性的，其余的是非线性的.解2.一阶3（1）一阶线性齐次微分方程）一阶线性齐次微分方程分离变量法分离变量法4.4.一阶线性微分方程的解法一阶线性
3、微分方程的解法1）一般式）一般式2）解法）解法3）通解公式）通解公式（1）一阶线性齐次微分方程分离变量法4.一阶线性微分方程4解解例例2 2则通解则通解解例2则通解5（2）一阶线性非齐次微分方程）一阶线性非齐次微分方程常数变易法常数变易法1）一般式）一般式2）解法）解法3）通解公式）通解公式齐次的齐次的通解通解非齐次的特解（2）一阶线性非齐次微分方程常数变易法1）一般式2）解法3）6为非齐次线性方程的解，则为非齐次线性方程的解，则4）常数变易法）常数变易法通解通解为非齐次线性方程的解，则4）常数变易法通解7解解例例3 3则通解为则通解为 解例3则通解为 8解解例例4 4则通解为则通解为 原方程
4、变形为原方程变形为其中其中解例4则通解为 原方程变形为其中9因此方程满足初始条件的特解为因此方程满足初始条件的特解为二、一阶线性微分方程的应用二、一阶线性微分方程的应用 1.分析问题分析问题,设出所求未知函数设出所求未知函数,确定初始条件。确定初始条件。2.建立微分方程。建立微分方程。3.确定方程类型确定方程类型,求其通解求其通解.4.代入初始条件求特解代入初始条件求特解.应用微分方程解决实际问题的步骤应用微分方程解决实际问题的步骤:因此方程满足初始条件的特解为二、一阶线性微分方程的应用 1.10例例5 5解解设所求曲线方程为设所求曲线方程为从而从而即即其中其中则通解为则通解为 例5解设所求曲
5、线方程为从而即其中则通解为 11因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为12 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落的速度成正比的速度成正比(比例系数比例系数 ，起跳时的速度为，起跳时的速度为0，求下落的速度与时间，求下落的速度与时间 的函数关系。的函数关系。例例6 6设速度与时间的函数关系为：设速度与时间的函数关系为：解解由牛顿第二定律知：由牛顿第二定律知：即即其中其中则通解为则通解为 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落13因此所求速度与时间的函数关系为因此所求速度与时间的函数关系为因此所求速度与时间的函数关系为14三、小结三、小结 1.一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程2.一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程（1）一般式）一般式（2）通解公式）通解公式（1）一般式）一般式（2）通解公式）通解公式三、小结 1.一阶线性齐次微分方程2.一阶线性非齐次微分15
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