工学弹塑性力学轴的扭转ppt课件

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1、第七章第七章 轴的扭转轴的扭转圆轴的弹性扭转圆轴的弹性扭转非圆截面杆件的弹性扭转非圆截面杆件的弹性扭转圆轴的弹塑性扭转圆轴的弹塑性扭转非圆截面杆件的弹塑性扭转非圆截面杆件的弹塑性扭转第七章 轴的扭转圆轴的弹性扭转171 圆轴的弹性扭转圆轴的弹性扭转1.应力分量：应力分量：xyzoMt trxyoyxb bt tzxt tzyt tRr71 圆轴的弹性扭转应力分量：xyzoMtrxyoyx21.应力分量：应力分量：xyoyxb bt tzxt tzyt tRr平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程平衡微分方程应力边界条件：应力边界条件：侧面：侧面：端面：端面：FxFyM应力分量：xyoyxbtzx

2、tzytRr平衡微分方程应力边界3 用应力表示的相容方程：用应力表示的相容方程：用应力表示的相容方程：用应力表示的相容方程：弹性解：弹性解：用应力表示的相容方程：弹性解：42.应变分量：应变分量：2.应变分量：52.位移分量：位移分量：2.位移分量：6工学弹塑性力学轴的扭转ppt课件7位移分量：位移分量：位移条件：位移条件：（1）坐标原点固定：）坐标原点固定：（2）原点的单元固定：）原点的单元固定：位移分量：位移条件：（1）坐标原点固定：8xyzoMt tr位移分量：位移分量：（1）坐标原点固定：）坐标原点固定：（2）原点的单元固定：）原点的单元固定：v过原点沿过原点沿 z 向的线段在向的线段

3、在 xoz、zoy 面内不转动：面内不转动：v过原点沿过原点沿 x 向的线段在向的线段在 xoy面内不转动：面内不转动：刚体位移为零。刚体位移为零。单位长度的单位长度的相对扭转角相对扭转角xyzoMtr位移分量：（1）坐标原点固定：（2）原点的单9平截面平截面假设假设xyuvuq qq qq qrxyA平截面假设xyuvuqqqrxyA1072 非圆截面杆件的弹性扭转非圆截面杆件的弹性扭转一、应力分量一、应力分量yxoyxb bt tzxt tzyr平衡微分方程平衡微分方程xyzoM72 非圆截面杆件的弹性扭转一、应力分量yxoyxbt11 用应力表示的相容方程：用应力表示的相容方程：用应力表

4、示的相容方程：用应力表示的相容方程：用扭转应力函数表用扭转应力函数表用扭转应力函数表用扭转应力函数表示的相容方程。示的相容方程。示的相容方程。示的相容方程。用应力表示的相容方程：用扭转应力函数表示的相容方程。12边界条件：边界条件：侧面：侧面：xodydxN Nds侧面边界条件：侧面边界条件：多连域：多连域：边界条件：侧面：xodydxNds侧面边界条件：多连域：13端面：端面：xyoyxq qRrFxFyMdxdyAB端面：xyoyxqRrFxFyMdxdyAB14二、二、应变分量：应变分量：二、应变分量：15三、位移分量：三、位移分量：v不计刚体位移不计刚体位移q q 为为单位长度的相对扭

5、转角单位长度的相对扭转角w三、位移分量：不计刚体位移q 为单位长度的相对扭转角w16工学弹塑性力学轴的扭转ppt课件17解题步骤：解题步骤：（1）确定扭转应力函数：）确定扭转应力函数：（2）确定应力函数中的待定常数：）确定应力函数中的待定常数：（3）确定应力分量：）确定应力分量：（5）确定单位长度的扭转角及位移分量：）确定单位长度的扭转角及位移分量：w解题步骤：（1）确定扭转应力函数：（2）确定应力函数中的待18xy0AiAabcdFxFyv多连体：多连体：xy0AiAabcdFxFy多连体：19 例题例题例题例题1 1：椭圆截面杆的扭转：椭圆截面杆的扭转：椭圆截面杆的扭转：椭圆截面杆的扭转o

6、abxy解：解：解：解：满足：满足：满足：满足：M端面边界条件：端面边界条件：例题1：椭圆截面杆的扭转oabxy解：满足：M端面边界条件20 例题例题例题例题1 1：椭圆截面杆的扭转：椭圆截面杆的扭转：椭圆截面杆的扭转：椭圆截面杆的扭转解：解：解：解：应力分量：应力分量：oabxyM单位长度的扭转角：单位长度的扭转角：例题1：椭圆截面杆的扭转解：应力分量：oabxyM单位长度21位移分量：位移分量：扭杆的横截面不再保持为平面，而翘曲为曲面。扭杆的横截面不再保持为平面，而翘曲为曲面。oabxyM位移分量：扭杆的横截面不再保持为平面，而翘曲为曲面。oabx22 例题例题例题例题2 2：空心圆轴的扭

7、转：空心圆轴的扭转：空心圆轴的扭转：空心圆轴的扭转oabxy解：解：解：解：满足：满足：满足：满足：M端面边界条件：端面边界条件：例题2：空心圆轴的扭转oabxy解：满足：M端面边界条件：23四、弹性扭转的薄膜比拟四、弹性扭转的薄膜比拟v比拟：比拟：两个概念完全不同的问题，如果数学表达式相同，两个概念完全不同的问题，如果数学表达式相同，可借助比较直观的简单问题讨论复杂的抽象的问题。可借助比较直观的简单问题讨论复杂的抽象的问题。v薄膜在均匀压力作用下的垂度与等截面扭杆问题的应力函数薄膜在均匀压力作用下的垂度与等截面扭杆问题的应力函数在数学上是相似的，故可用比拟方法求扭转问题的解答。在数学上是相似

8、的，故可用比拟方法求扭转问题的解答。（2）边界形状与扭杆横截面相同。）边界形状与扭杆横截面相同。（1）薄膜均匀张在水平边界上。）薄膜均匀张在水平边界上。（3）给薄膜施加均匀压力。）给薄膜施加均匀压力。q薄膜上的点产生垂度薄膜上的点产生垂度薄膜具有柔顺性薄膜具有柔顺性薄膜只受表面张力作用薄膜只受表面张力作用z(x,y)四、弹性扭转的薄膜比拟比拟：两个概念完全不同的问题，如果数学24qz(x,y)公式推导：公式推导：（1）建立坐标系：）建立坐标系：xyoxzo（2）取微元体：）取微元体：dxdy薄膜单位长度上的张力：薄膜单位长度上的张力：TTdxTdyTdyTdxzza ab bqTdyTdya

9、ab bqz(x,y)公式推导：（1）建立坐标系：xyoxzo（2）25qz(x,y)xyoxzodxdy薄膜在周边上的挠度：薄膜在周边上的挠度：TdxTdyTdyTdxzza ab bqTdyTdya ab b薄膜与支承面间体积的薄膜与支承面间体积的2倍：倍：qz(x,y)xyoxzodxdy薄膜在周边上的挠度：Tdx26（1）薄膜的垂度对应扭转应力函数，薄膜与支承面体积的）薄膜的垂度对应扭转应力函数，薄膜与支承面体积的2倍对应扭矩。倍对应扭矩。讨论：讨论：（2）薄膜在）薄膜在 y 方向斜率对应扭杆在同一点处方向斜率对应扭杆在同一点处 x 方向的剪应力。薄膜在方向的剪应力。薄膜在 x 方向斜

10、率对应扭杆在同一点处方向斜率对应扭杆在同一点处 y 方向的剪应力的大小。方向的剪应力的大小。v扭杆横截面上某一点沿任意方向的剪应力，等于薄膜对扭杆横截面上某一点沿任意方向的剪应力，等于薄膜对应点处沿垂直方向的斜率。应点处沿垂直方向的斜率。v最大剪应力对应于薄膜斜率最大处。最大剪应力对应于薄膜斜率最大处。（1）薄膜的垂度对应扭转应力函数，薄膜与支承面体积的2倍对应27v剪应力剪应力 t t 等于等于 的梯度的模，方向沿的梯度的模，方向沿 =const 曲线（薄曲线（薄膜中的等高线）的切线方向。膜中的等高线）的切线方向。v 的等值线称剪应力迹线。的等值线称剪应力迹线。v最大剪应力产生于最大剪应力产

11、生于 的梯度最大处（薄膜中等高线密度最的梯度最大处（薄膜中等高线密度最大处）。大处）。剪应力 t 等于 j 的梯度的模，方向沿 j=const 曲28（3 3）剪应力环量定理：）剪应力环量定理：在扭转应力函数的闭合曲线上，剪应力沿其迹线的回路积分（剪在扭转应力函数的闭合曲线上，剪应力沿其迹线的回路积分（剪应力环量）与所围面积成正比。应力环量）与所围面积成正比。Adst t证明：证明：（3）剪应力环量定理：在扭转应力函数的闭合曲29（4 4）利用薄膜比拟不仅可用实验方法模拟扭转问题，而且有）利用薄膜比拟不仅可用实验方法模拟扭转问题，而且有助于寻找应力函数，分析扭杆内的应力分布情况，找出助于寻找应

12、力函数，分析扭杆内的应力分布情况，找出最大剪应力的位置。最大剪应力的位置。例题例题例题例题3 3：矩形截面杆的扭转：矩形截面杆的扭转：矩形截面杆的扭转：矩形截面杆的扭转解：解：解：解：abxyzxabxzz(y)应力函数：应力函数：应力函数：应力函数：（4）利用薄膜比拟不仅可用实验方法模拟扭转问题，而且有助于寻30abxyzxxzz(y)应力函数：应力函数：应力函数：应力函数：Mabxyzxxzz(y)应力函数：M31abxy应力函数：应力函数：应力函数：应力函数：应力分量：应力分量：应力分量：应力分量：M一般情况：一般情况：一般情况：一般情况：1234510 0.1410.2080.2229

13、 0.2630.2810.2910.3120.3330.3330.3120.2910.2820.2670.246abxy应力函数：应力分量：M一般情况：12345100.32五、薄壁杆件的扭转五、薄壁杆件的扭转1.开口薄壁杆件开口薄壁杆件biaiM第第 i 个长条：个长条：（薄膜比拟）（薄膜比拟）五、薄壁杆件的扭转1.开口薄壁杆件biaiM第 i 个长条332.闭口薄壁杆件闭口薄壁杆件外边界：外边界：dsMxyd dha ayxq无重刚无重刚性平板性平板内边界：内边界：取：取：A：杆壁中心线包围的面积：杆壁中心线包围的面积最大剪应力发生在壁厚最小处。最大剪应力发生在壁厚最小处。剪应力环量定理：

14、剪应力环量定理：2.闭口薄壁杆件外边界：dsMxydhayxq无重刚性平板34dsMxyd dqha ayx等厚薄壁杆件：等厚薄壁杆件：S：杆壁中心线全长：杆壁中心线全长dsMxydqhayx等厚薄壁杆件：S：杆壁中心线全长35 剪力流剪力流S1、S2、S3：剪应力：剪应力t t1、t t2、t t3作用线全长作用线全长3.具有两个内边界的闭口薄壁杆件具有两个内边界的闭口薄壁杆件A1d d3 3A2d d1 1qh2h1h3t t1 1t t2 2剪应力环量定理：剪应力环量定理：d d2 2t t3 3 剪力流S1、S2、S3：剪应力t1、t2、t336A1d d3 3qh23.具有两个内边界

15、的闭口薄壁杆件具有两个内边界的闭口薄壁杆件A2d d1 1d d2 2h1h3t t1 1t t2 2t t3 3解答：解答：A1d3qh23.具有两个内边界的闭口薄壁杆件A2d1d23774 圆轴的弹塑性扭转圆轴的弹塑性扭转理想弹塑性材料：理想弹塑性材料：g gt t1.弹性极限扭矩弹性极限扭矩xyzoMt trt tsxyoMeR弹性解：弹性解：屈服条件：屈服条件：74 圆轴的弹塑性扭转理想弹塑性材料：gt1.弹性极限382.弹塑性阶段弹塑性阶段t tsxyoMeRxyoMpRt tsrp2.弹塑性阶段tsxyoMeRxyoMpRtsrp393.塑性极限扭矩塑性极限扭矩xyoMpRt ts

16、rpxyoMlRt ts3.塑性极限扭矩xyoMpRtsrpxyoMlRts404.残余应力：残余应力：当扭矩加至当扭矩加至 Mp 后再卸载至零，在圆轴中产生的应力。后再卸载至零，在圆轴中产生的应力。Mp:卸去的应力：卸去的应力：（按弹性计算）（按弹性计算）残余应力：残余应力：rt trRrp4.残余应力：当扭矩加至 Mp 后再卸载至零，在圆轴中产生4174 非圆截面杆件的弹塑性扭转非圆截面杆件的弹塑性扭转一、弹性解一、弹性解74 非圆截面杆件的弹塑性扭转一、弹性解42二、全塑性解二、全塑性解塑性应力函数塑性应力函数平衡方程：平衡方程：屈服条件：屈服条件：Tresca：Mises：二、全塑性解

17、塑性应力函数平衡方程：屈服条件：Tresca：43全塑性条件下构件内应力函数应满足的基本方程全塑性条件下构件内应力函数应满足的基本方程边界条件：边界条件：侧面上无面力：侧面上无面力：端面上：端面上：全塑性条件下构件内应力函数应满足的基本方程边界条件：侧面上无44讨论：讨论：v对于理想弹塑性材料，剪切屈服极限对于理想弹塑性材料，剪切屈服极限 k 为常数，为常数，|grad p|=k 表明：应力函数表明：应力函数 p 所代表的曲面斜率所代表的曲面斜率为常数。为常数。v p(x,y)是一个等倾斜面构成的多面体，其坡度为是一个等倾斜面构成的多面体，其坡度为k.v所有所有 p(x,y)的等值线是相互平行

18、的，且与截面的周的等值线是相互平行的，且与截面的周边界平行。边界平行。v截面上的总剪应力截面上的总剪应力 t t 与与 p(x,y)的等值线相切。的等值线相切。v塑性极限扭矩塑性极限扭矩Ml 是塑性应力函数所代表曲面所界体是塑性应力函数所代表曲面所界体积的积的 2 倍。倍。vNadai:沙堆比拟法沙堆比拟法。讨论：对于理想弹塑性材料，剪切屈服极限 k 为常数，45v Nadai 沙堆比拟法：沙堆比拟法：v作一个形状与杆件截面相同的底板。作一个形状与杆件截面相同的底板。v在底板上堆放干沙，直至不能再增加为止。在底板上堆放干沙，直至不能再增加为止。v沙子的内摩擦系数为常数，沙堆表面为斜率为常数沙子

19、的内摩擦系数为常数，沙堆表面为斜率为常数的曲面等倾面。的曲面等倾面。wW：沙堆任意点的高度：沙堆任意点的高度a aa a：沙子的内摩擦角：沙子的内摩擦角1k Nadai 沙堆比拟法：wW：沙堆任意点的高度aa：沙子的46v Nadai 沙堆比拟法：沙堆比拟法：wWa a1k比拟条件：比拟条件：Nadai 沙堆比拟法：wWa1k 比拟条件：47 例题例题例题例题1 1：圆轴的扭转的塑性极限载荷：圆轴的扭转的塑性极限载荷：圆轴的扭转的塑性极限载荷：圆轴的扭转的塑性极限载荷RRha a 例题1：圆轴的扭转的塑性极限载荷RRha48 例题例题例题例题2 2：矩形截面杆扭转的塑性极限载荷：矩形截面杆扭转

20、的塑性极限载荷：矩形截面杆扭转的塑性极限载荷：矩形截面杆扭转的塑性极限载荷a/2ha aa/2b-aba4545o o正方形：正方形：正方形：正方形：例题2：矩形截面杆扭转的塑性极限载荷a/2haa/2b-a49 例题例题例题例题3 3：空心圆截面杆扭转的塑性极限载荷：空心圆截面杆扭转的塑性极限载荷：空心圆截面杆扭转的塑性极限载荷：空心圆截面杆扭转的塑性极限载荷oab比拟：沙堆外表面为等倾面，内边比拟：沙堆外表面为等倾面，内边比拟：沙堆外表面为等倾面，内边比拟：沙堆外表面为等倾面，内边界处高度为常量截锥体界处高度为常量截锥体界处高度为常量截锥体界处高度为常量截锥体ha abha 例题3：空心圆

21、截面杆扭转的塑性极限载荷oab比拟：沙堆外表50三、弹塑性解三、弹塑性解弹性区：弹性区：塑性区：塑性区：边界条件：边界条件：侧面上无面力：侧面上无面力：交界线上：交界线上：三、弹塑性解弹性区：塑性区：边界条件：侧面上无面力：交界线上51v Nadai 薄膜屋顶薄膜屋顶比拟法：比拟法：v在一平板上开一个形状与杆件截面相同的孔。在一平板上开一个形状与杆件截面相同的孔。v在孔上张紧一薄膜。在孔上张紧一薄膜。v在薄膜受压力作用的上面，用透明材料作一与沙堆在薄膜受压力作用的上面，用透明材料作一与沙堆比拟形成的表面相一致的等倾顶盖（屋顶）比拟形成的表面相一致的等倾顶盖（屋顶）P=0：膜水平：膜水平1kP0：膜向上弯曲，弹性变形：膜向上弯曲，弹性变形膜刚接触屋顶：弹性极限状态，截面膜刚接触屋顶：弹性极限状态，截面开始屈服。开始屈服。膜接触屋顶：弹塑性状态，相贴部分膜接触屋顶：弹塑性状态，相贴部分薄膜具有等倾斜率为塑薄膜具有等倾斜率为塑性区；未接触部分为弹性区；未接触部分为弹性区。性区。P Nadai 薄膜屋顶比拟法：P=0：膜水平1kP052 矩形截面杆扭转的薄膜屋顶比拟矩形截面杆扭转的薄膜屋顶比拟矩形截面杆扭转的薄膜屋顶比拟矩形截面杆扭转的薄膜屋顶比拟弹塑性阶段弹塑性阶段弹性阶段弹性阶段全塑性阶段全塑性阶段塑性区塑性区弹弹性性区区 矩形截面杆扭转的薄膜屋顶比拟弹塑性阶段弹性阶段全塑性阶段53