函数的微分及其在近似计算中的应用ppt课件

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1、函函数数的的微微分分 微分的定义微分的定义 微分的几何意义微分的几何意义 基本初等函数基本初等函数的微分公式与的微分公式与微分的运算法则微分的运算法则 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用 微分的近似计算微分的近似计算 误差估计误差估计 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 和、差、积、商的微分法则和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则复合函数的微分法则 1函 微分的定义 微分的几何意义 基本初等函数 微分在近似第七节第七节 函数的微分函数的微分一一一一.微分的定义：微分的定义：微分的定义：微分的定义：1.1.实例实例函数增量的构成函数增量的构成x0 x0函数的增量由两部

2、分构成：函数的增量由两部分构成：2第七节 函数的微分一.微分的定义：1.实例函数增量的构2 2、微分的定义、微分的定义 设函数设函数y=f(x)在某区间内有定义，在某区间内有定义，区间内，如果函数的增量区间内，如果函数的增量可表示为可表示为 （1 1）其中其中 是不依赖于是不依赖于 的常数，而的常数，而 是比是比高阶无穷小，高阶无穷小，那么称函数那么称函数 在点在点 是可微的，而是可微的，而 叫做函数叫做函数 相应于自变量增量相应于自变量增量 x的微分的微分，在点在点 记作记作dy，即：即：及及在这在这 定义定义定义定义 32、微分的定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义，区间设函数设函数在

3、点在点可微可微,则有则有(1)成立，即成立，即等式两端除以等式两端除以因此因此,如果函数如果函数在点在点可微，可微，则则在点在点也一定可导也一定可导,且且3 3、问题：函数可微的条件是什么？、问题：函数可微的条件是什么？于是于是,当当时时,由上式就得到由上式就得到根据极限与无穷小的关系根据极限与无穷小的关系,上式可写为上式可写为反之反之,如果如果在在存在存在,可导可导,即即 4设函数在点可微,则有(1)成立，即等式两端除以因此,如果函则则故上式相当于故上式相当于(1)式式,在点在点可微。可微。则则4.函数可微的充要条件：函数可微的充要条件：如函数如函数的微分为的微分为显然，函数的微分显然，函数

4、的微分与与和和有关。有关。函数在任意点的微分函数在任意点的微分,称为称为函数的微分函数的微分,记作记作即即5则故上式相当于(1)式,在点可微。则4.函数可微的充要条件5 5、微分的几何意义、微分的几何意义xyM0NPQx0TO当当 很小时，很小时，65、微分的几何意义xyM0NPQx0TO当 很小时，例例1 求函数求函数解解 函数函数例例2 求函数求函数解解 先求函数在任意点的微分先求函数在任意点的微分7例1 求函数解 函数例2 求函数解 先求函数在任意点的微通常把通常把自变量的增量自变量的增量称为称为自变量的微分自变量的微分.记作记作即即则函数则函数 的微分又可记作：的微分又可记作：这表明这

5、表明,函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.因此因此,导数也叫导数也叫“微商微商”.导数（微商）即微分之商。导数（微商）即微分之商。8通常把自变量的增量称为自变量的微分.记作即则函数 二二二二.基本初等函数的微分公式与微分运算法则基本初等函数的微分公式与微分运算法则基本初等函数的微分公式与微分运算法则基本初等函数的微分公式与微分运算法则1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式导数公式导数公式微分公式微分公式9二.基本初等函数的微分公式与微分运算法则1.基本初等函数的2.函数的和、差、积、商的微分法则函数的和、差、积、商的微分法则1

6、02.函数的和、差、积、商的微分法则10函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则3.3.复合函数的微分法则复合函数的微分法则微分公式的形式不变性微分公式的形式不变性。由此可见，无论是自变量还是中间变量的可微函数，微分形式由此可见，无论是自变量还是中间变量的可微函数，微分形式保持不变保持不变。这一性质叫做这一性质叫做微分形式不变性微分形式不变性。11函数和、差、积、商的求导法则函数和、差、积、商的微分法则3.4 4、利用微分公式的形式不变性计算、利用微分公式的形式不变性计算 利用微分公式的形式不变性，不仅可以求函数的微分，而

7、且利用微分公式的形式不变性，不仅可以求函数的微分，而且可以求导数，只要可以求导数，只要把微分运算进行到只剩自变量的微分把微分运算进行到只剩自变量的微分，就可以，就可以得到函数的导数。得到函数的导数。例例3：124、利用微分公式的形式不变性计算 利用微分公式的形式不变性2、分别按照分别按照dx、dy合并同类项。合并同类项。得到得到g1(x,y)dy=g2(x,y)dx利用微分公式的形式不变性，求隐函数的微分和导数的步骤：利用微分公式的形式不变性，求隐函数的微分和导数的步骤：1、不论自变量还是函数，对方程两边求微分。并将微分进行、不论自变量还是函数，对方程两边求微分。并将微分进行到到dy、dx。3

8、、132、分别按照dx、dy合并同类项。利用微分公式的形式不变性，在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。解解解解把把2x+1看成中间变量看成中间变量u，则，则例例4求求例例5求求14在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。解解把2x+1看例例7 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。解解:解解 应用积的微分法则得：应用积的微分法则得：(1)因为因为例例6 求求15例7 在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。1616第八节第八节 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的

9、应用解：解：例例1：17第八节 微分在近似计算中的应用解：例1：17解：解：例例2：18解：例2：18利用上式可导出工程上常用的几个公式利用上式可导出工程上常用的几个公式（）：）：假定假定很小很小在在 式中，取式中，取得得19利用上式可导出工程上常用的几个公式（解解解解20解解20绝对误差：绝对误差：相对误差：相对误差：在实际工作中，由于某个量的精确值往往是无法知道的，在实际工作中，由于某个量的精确值往往是无法知道的，所以绝对误差和相对误差无法求得。所以绝对误差和相对误差无法求得。21绝对误差：相对误差：在实际工作中，由于某个量的精确值往往是无绝对误差绝对误差 限：限：相对误差限：相对误差限：

10、22绝对误差 限：相对误差限：22解：解：通常把通常把绝对误差限绝对误差限与与相对误差限相对误差限简称为简称为绝对误差绝对误差与与相对误差相对误差。例例5：23解：通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差。例小小 结：结：4近似计算公式近似计算公式5工业上常用的几个近似公式工业上常用的几个近似公式6.绝对误差与相对误差的定义及计算绝对误差与相对误差的定义及计算1微分的定义、公式微分的定义、公式2微分的几何意义微分的几何意义3基本初等函数的微分公式与微分运算法则基本初等函数的微分公式与微分运算法则作业作业作业作业:习题习题习题习题2-72-72-72-7，2-82-82-82-8，总习题二，总习题二，总习题二，总习题二学习指导学习指导学习指导学习指导 例题例题例题例题2.15,2.162.15,2.162.15,2.162.15,2.16，第二章自测题第二章自测题第二章自测题第二章自测题作业纸：作业纸：作业纸：作业纸：P16P16P16P16 下次交下次交下次交下次交P15-16P15-16P15-16P15-1624小 结：4近似计算公式5工业上常用的几个近