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1、考研数学基础知识复习考研数学基础知识复习 线性代数线性代数第三章第三章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 与向量空间与向量空间考研数学基础知识复习 1一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论n1、向量的概念与运算向量的概念与运算一、基本概念与基本理论1、向量的概念与运算2一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 1、向量的概念与运算向量的概念与运算一、基本概念与基本理论 3一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 1、向量的概念与运算向量的概念与运算一、基本概念与基本理论 4一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 2、向量间的线性关系、向量间的线性关系一、基本概念与基本理
2、论 52、向量间的线性关系、向量间的线性关系2、向量间的线性关系62、向量间的线性关系、向量间的线性关系2、向量间的线性关系72、向量间的线性关系、向量间的线性关系n几个常用结论：几个常用结论：n 单个非零向量是线性无关的；单个非零向量是线性无关的；n 含有零向量的向量组一定线性相关；含有零向量的向量组一定线性相关；n 基本单位向量组一定线性无关；基本单位向量组一定线性无关；n 两个向量组成的向量组线性相关的充要两个向量组成的向量组线性相关的充要 条件是：对应元素成比例条件是：对应元素成比例.2、向量间的线性关系几个常用结论：83、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩3、向量组的秩和矩阵
3、的秩93、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩3、向量组的秩和矩阵的秩103、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩3、向量组的秩和矩阵的秩113、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩n几个常用结论几个常用结论:n 任一向量组和它的极大线性无关组等价任一向量组和它的极大线性无关组等价;n向量组的任意两个极大线性无关组等价向量组的任意两个极大线性无关组等价;n 两个等价的线性无关向量组所含的向两个等价的线性无关向量组所含的向量个数相同量个数相同;n向量组的任意两个极大线性无关组所向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相同含的向量个数相同.3、向量组的秩和矩阵的秩几个常用结论
4、:向量组的任意两个123、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩3、向量组的秩和矩阵的秩133、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩3、向量组的秩和矩阵的秩143、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩n请注意下面几个常用结论请注意下面几个常用结论3、向量组的秩和矩阵的秩请注意下面几个常用结论153、向量组的秩和矩阵的秩、向量组的秩和矩阵的秩n特别：特别：n掌握用矩阵的行变换求向量组的秩掌握用矩阵的行变换求向量组的秩;n求向量组的极大线性无关组求向量组的极大线性无关组;n用极大线性无关组表示其它向量的方法用极大线性无关组表示其它向量的方法.3、向量组的秩和矩阵的秩特别：16一、基
5、本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 4、向量空间、向量空间一、基本概念与基本理论 17一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 4、向量空间、向量空间一、基本概念与基本理论 184、向量空间、向量空间4、向量空间19一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 4、向量空间、向量空间一、基本概念与基本理论 204、向量空间、向量空间4、向量空间214、向量空间、向量空间4、向量空间224、向量空间、向量空间4、向量空间234、向量空间、向量空间n(5)施密特正交化方法施密特正交化方法4、向量空间(5)施密特正交化方法244、向量空间、向量空间4、向量空间254、向量空间、向量空间4、向
6、量空间26一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 5、重要定理与公式、重要定理与公式一、基本概念与基本理论 275、重要定理与公式、重要定理与公式5、重要定理与公式28一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 5、重要定理与公式、重要定理与公式一、基本概念与基本理论 29一、基本概念与基本理论一、基本概念与基本理论 5、重要定理与公式、重要定理与公式一、基本概念与基本理论 305、重要定理与公式、重要定理与公式5、重要定理与公式31二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 二、典型题型分析及举例 题型
7、I：有关向量组线性相关性的讨32二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 二、典型题型分析及举例 题型I：有关向量组线性相关性的讨33 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.1 题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明 例3.134题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 例例3.2题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明 例3.235题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3
8、.3题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明 例3.336二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.4二、典型题型分析及举例 题型I：有关向量组线性相关性的讨37二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.5二、典型题型分析及举例 题型I：有关向量组线性相关性的讨38二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.6二、典型
9、题型分析及举例 题型I：有关向量组线性相关性的讨39二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.7二、典型题型分析及举例 题型I：有关向量组线性相关性的讨40二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.8二、典型题型分析及举例 题型I：有关向量组线性相关性的讨41题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.9题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明 例3.942题型题
10、型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.10题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明 例3.1043题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.11题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明 例3.1144 题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.12 题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明 例3.1245题型题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明：有关向量组线性相关性的讨论及证明 n例例3.13题型I：有关向量组线性相关性的讨论及证明 例3.1346二
11、、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型II：有关向量组线性表示命题的证明：有关向量组线性表示命题的证明说明：说明：一个向量可否由向量组表示的问题一个向量可否由向量组表示的问题可由下面方法解决可由下面方法解决.（1）定义法；）定义法；（2）相关定理）相关定理二、典型题型分析及举例 题型II：有关向量组47n例例3.14二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型II：有关向量组线性表示命题的证明：有关向量组线性表示命题的证明例3.14二、典型题型分析及举例 题型II：有关向量48n例例3.15题型题型II：有关向量组线性表示命题的证明：有关向量组线性表示命题的证明例3.1
12、5题型II：有关向量组线性表示命题的证明49n例例3.16题型题型II：有关向量组线性表示命题的证明：有关向量组线性表示命题的证明例3.16题型II：有关向量组线性表示命题的证明50n例例3.17题型题型II：有关向量组线性表示命题的证明：有关向量组线性表示命题的证明例3.17题型II：有关向量组线性表示命题的证明51n例例3.18题型题型II：有关向量组线性表示命题的证明：有关向量组线性表示命题的证明例3.18题型II：有关向量组线性表示命题的证明52n例例3.19题型题型II：有关向量组线性表示命题的证明：有关向量组线性表示命题的证明例3.19题型II：有关向量组线性表示命题的证明53二、
13、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例题型题型III：n求向量组的极大线性无关组；求向量组的极大线性无关组；n向量组的秩和矩阵的秩向量组的秩和矩阵的秩.二、典型题型分析及举例题型III：54n例例3.20题型题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩例3.20题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩55n例例3.21题型题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩例3.21题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩56n例例3.22题型题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩例3
14、.22题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩57n例例3.23题型题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩例3.23题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩58n例例3.24题型题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩例3.24题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩59n例例3.25题型题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩例3.25题型III：向量组的极大无关组、秩和矩阵的秩60二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例题型题型IV:与向量空间有关的命题与向量空间有关的命题二、典型题型分析及举例题型IV:与向量空间有关的命题61n例例3.26二、典型题型分析及举例二、典型题型分析及举例 题型题型IV：与向量空间有关的命题：与向量空间有关的命题例3.26二、典型题型分析及举例 62n例例3.27题型题型IV：与向量空间有关的命题：与向量空间有关的命题例3.27题型IV：与向量空间有关的命题63n例例3.28题型题型IV：与向量空间有关的命题：与向量空间有关的命题例3.28题型IV：与向量空间有关的命题64
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