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1、 空间中的垂直关系空间中的垂直关系 习题课习题课 空间中的垂直关系 教学目标1线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化2线线垂直、线面垂直、面面垂直的综合应用教学目标基础知识基础知识要点回顾要点回顾两条相交直两条相交直线垂直垂直 垂直于垂直于 基础知识要点回顾两条相交直线垂直 垂直于 基础知识基础知识要点回顾要点回顾垂垂线 基础知识要点回顾垂线 基础知识基础知识要点梳理要点梳理交交线 基础知识要点梳理交线 空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直、空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直、空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直、空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直、
2、平面与平面垂直平面与平面垂直平面与平面垂直平面与平面垂直.它们之间存在相互转化关系：它们之间存在相互转化关系：它们之间存在相互转化关系：它们之间存在相互转化关系：直线与直直线与直直线与直直线与直 直线与平直线与平直线与平直线与平 平面与平平面与平平面与平平面与平线垂直线垂直线垂直线垂直 面垂直面垂直面垂直面垂直 面垂直面垂直面垂直面垂直 性质性质性质性质判定判定判定判定 性质性质性质性质判定判定判定判定 空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与变式：变式：如图如图,AB为圆为圆O的直径的直径,C为圆周上异于为圆周上异于AB的任一点的任一点,PA 面面ABC,问问:图中共有多少图中
3、共有多少个个Rt?【分析】【分析】【分析】【分析】找出直角三角形找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直也就是找出图中的线线垂直.思考思考1 线线垂直问题线线垂直问题 如图所示，如图所示，PA 面面ABC,BC 面面PAC，则图中有哪几，则图中有哪几个直角三角形？个直角三角形？变式：变式：如图所示，如图所示，PA 面面ABC,在在 ABC中，中，BC AC，则图中直角三角形的个数是则图中直角三角形的个数是变式：如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于AB的任一点,【解析】【解析】【解析】【解析】PA 面面ABC,PA AC,PA BC,PA AB.AB为圆为圆O的直径的直径,AC BC.又又 A
4、C BC,PA BC,PAAC=A,BC 面面PAC.PC 平面平面PAC,BC PC.故图中有四个直角三角故图中有四个直角三角形形:PAC,PBC,PAB,ABC.【解析】PA面ABC,【典例探讨】【典例探讨】例例1 1、如图所示，在空间四边形、如图所示，在空间四边形ABCD中，中，ABAD，CBCD，求证求证BDAC.【典例探讨】【典例探讨】【典例探讨】例例1 1、如图所示，在空间四边形、如图所示，在空间四边形ABCD中，中，ABAD，CBCD，求证求证BDAC.证明：证明：取取BD的中点的中点E，连连接接AE、CE，ABAD，AE BD，又又 CBCD CE BD，又又 AECEE，AE
5、 平面平面ACE，CE 平面平面ACE，BD 平面平面ACE.又又 AC 平面平面ACE,BD AC.【典例探讨】证明：取BD的中点E，【评析】【评析】【评析】【评析】线线垂直可由线面垂直的性质推得线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平直线和平面垂直面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线这是寻找线线垂直的重要依据线垂直的重要依据.【评析】线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这例例2 2、平行四边形、平行四边形ABCD的对角线交点为的对角线交点为O，点，点P在平行四边形在平行四边形ABCD所在平面外，所在平面外，且且PAPC，PDPB，判断
6、，判断PO与平面与平面ABCD的位置关系，并加以证明。的位置关系，并加以证明。证明：证明：POPO平平面面ABCD.ABCD.O为平行四边形为平行四边形ABCD对角线的交点，对角线的交点，OAOC.又又PAPC,POAC.POAC.同理同理POBD.POBD.又又ACBDACBDO O，AC 平面平面ABCD，BD 平面平面ABCD，POPO平平面面ABCD.ABCD.线面垂直问题线面垂直问题 例2、平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形A【评析】【评析】【评析】【评析】证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为
7、证明线面垂直，一般先从现垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决高线与添加辅助线解决.【评析】证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证例例3 3如图，长方体如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，中，ABAD1，AA12，点，点P为为DD1的中点的中点求证：平面求证：平面PAC平面平面BDD1.面面垂直问题面面垂直问题 证证明：明：长长方体方体ABCDA1B1C1D1中，中，ABAD1，底面底面ABCD是正方形，是正方形，AC BD，又又 DD1 平面平
8、面ABCD，AC 平面平面ABCD，DD1 AC，又又 DD1BDD，DD1 平面平面BDD1，BD 平面平面BDD1，AC 平面平面BDD1，又又 AC 平面平面PAC,平面平面PAC 平面平面BDD1.例3如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD跟踪练习：跟踪练习：如图，如图，P为为ABC所在平面外一点，所在平面外一点，PA平面平面ABC于点于点A，ADBC于点于点D，求证：平面，求证：平面PBC平面平面PAD.证证明：明：PA 平面平面ABC，且，且BC平面平面ABC，PA BC，又又 AD BC，PAADA，且且AD平面平面PAD，PA平面平面PAD，BC 平面平面PAD，BC
9、平面平面PBC，平面平面PBC 平面平面PAD.跟踪练习：证明：PA平面ABC，且BC平面ABC，【评析】【评析】【评析】【评析】当有面面垂直时，一般是在一个面内找当有面面垂直时，一般是在一个面内找（作）交线的垂线，则有线垂直于面；（作）交线的垂线，则有线垂直于面；在证面面垂直时，一般可先从现有的直线寻在证面面垂直时，一般可先从现有的直线寻找平面的垂线，若没有，可作辅助线解决找平面的垂线，若没有，可作辅助线解决.【评析】当有面面垂直时，一般是在一个面内找（作）交线的垂线，1 1、空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直空间的垂直关系有直线与直
10、线垂直、直线与平面垂直空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直、平面与平面垂直、平面与平面垂直、平面与平面垂直.它们之间存在相互转化关系：它们之间存在相互转化关系：它们之间存在相互转化关系：它们之间存在相互转化关系：直线与直直线与直直线与直直线与直 直线与平直线与平直线与平直线与平 平面与平平面与平平面与平平面与平线垂直线垂直线垂直线垂直 面垂直面垂直面垂直面垂直 面垂直面垂直面垂直面垂直 性质性质性质性质判定判定判定判定 性质性质性质性质判定判定判定判定 2 2、要证明想要证明想要证明想要证明想判定判定判定判定，由已知想，由已知想，由已知想，由已知想性质性质性质性质 1
11、、空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直、平PABC探究：探究：如图，已知如图，已知PAPA平面平面ABCABC，平面，平面PABPAB平面平面PBCPBC，求证：求证：BCBC平面平面PABPABPABC探究：如图，已知PA平面ABC，平面PAB平面P探究：探究：如图，已知如图，已知PAPA平面平面ABCABC，平面，平面PABPAB平面平面PBCPBC，求证：求证：BCBC平面平面PABPABPABCE证明：过点证明：过点A作作AEPB于于E，平面平面PAB平面平面PBC，平面平面PAB平面平面PBC=PB，AE 平面平面PAB，AE平面平面PBC.BC平面平面PBC,AEBCPA平面平面PAB,AE平面平面PAB,且且PAAE=A，BC平面平面PABPA平面平面ABC，BC平面平面ABC,PABC探究：如图，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC，P答案：1、A 2、3、证明：作SOBC，垂足为O，连接AO，侧面SBC底面ABCD，平面SBC平面ABCD=BC，且SO平面SBC，SO底面ABCD.AO，BO平面ABCD，SOAO，SOBO.又SASB，AOSBOS AOBO.又ABC45，故AOB为等腰直角三角形，即AOBO，又BCSO，且SOOAO，BC平面SOA，SA平面SOA,SABC.答案：
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