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1、3.1 3.1 导数的概念导数的概念曲线的切线和瞬时速度曲线的切线和瞬时速度3.1 导数的概念曲线的切线和瞬时速度1问：、切线的定义：问：、切线的定义：、这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，、这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么能否那么能否对任何曲线对任何曲线都用该定义都用该定义“曲线的切线曲线的切线”呢？呢？与曲线只有一个公共点的直线与曲线只有一个公共点的直线例如：抛物线例如：抛物线旧切线的定义不适合了旧切线的定义不适合了问：、切线的定义：、这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，与曲2曲线：曲线：y=f(x)上上有两点有两点P(x0,y0)，Q（x0+x，y0+y），），割线割线的倾斜角为的倾斜角为，
2、则，则观察：不动，点观察：不动，点Q沿着沿着曲线无限向点曲线无限向点P靠近，靠近，运动的情况？运动的情况？的运动情况？的运动情况？XY0PQM割线割线的斜的斜率率曲线：y=f(x)上观察：不动，点Q沿着XY0PQM割线33.1 导数的概念导数的概念1曲线的切线曲线的切线3.1 导数的概念1曲线的切线4、切线：、切线：曲线：曲线：y=f(x)上有两点上有两点P(x0,y0)，Q（x0+x，y0+y），），当点当点Q沿着曲线无限接近于点沿着曲线无限接近于点P，即即x 时，如果时，如果割线割线PQ有一个极限位置有一个极限位置PT，那么叫做曲线在点处的那么叫做曲线在点处的切线切线、切线的斜率：、切线的
3、斜率：设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为那么当那么当x 时，时，割线的斜率的极限，割线的斜率的极限，就是就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率，即、切线：曲线：当点Q沿着曲线无限接近于点P，即x 5 我们发现我们发现,当点当点Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线PQ有一个极限位置有一个极限位置PT.则我们把直线则我们把直线PT称为曲称为曲线在点线在点P处的处的切线切线.设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线PQ的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:重要结论：重要结论：函数函数 y=f(x)在点
4、在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x63.1 导数的概念导数的概念、已知曲线、已知曲线y=2x2上一点上一点A(1,2)，求：，求：（）点处的切线的斜率；（）点处的切线的斜率；（）点处的切线方程。（）点处的切线方程。2、求曲线、求曲线y=x2在点在点(,)处的切线方程处的切线方程y=4x-2y=-4x-33.1 导数的概念、已知曲线y=2x2上一点A(1,2)7三、例题选讲三、例题选讲例例1:求过曲线求过曲线y=cosx上点上点P()且与过这点的切线垂且与过这
5、点的切线垂 直的直线方程直的直线方程.三、例题选讲例1:求过曲线y=cosx上点P(8例例6:求过点求过点P(3,5)且与曲线且与曲线y=x2相切的直线方程相切的直线方程.说明说明:曲线上求在点曲线上求在点P处的切线与求过点处的切线与求过点P的切线有区别的切线有区别.在点在点P处的切线处的切线,点点P必为切点必为切点,求过点求过点P的切线的切线,点点P 未必是切点未必是切点.应注意概念的区别应注意概念的区别,其求法也有所不同其求法也有所不同.解解:设所求切线的切点在设所求切线的切点在A(x0,y0).因为因为A是曲线是曲线y=x2上的一点上的一点,所以所以,y0=x02 .又因为函数又因为函数
6、y=x2的导数为的导数为 所以过点所以过点A(x0,y0)的的切线的斜率为切线的斜率为由于所求切线过由于所求切线过P(3,5)和和A(x0,y0)两点两点,故其斜率又故其斜率又应为应为 .联立联立,解得解得:例6:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.说明9故切点分别为故切点分别为(1,1)或或(5,25).当切点为当切点为(1,1)时时,切线的斜率为切线的斜率为k1=2x0=2;当切点为当切点为(5,25)时时,切线的斜率为切线的斜率为k2=2x0=10;所以所求的切线有两条所以所求的切线有两条,方程分别为方程分别为:y-1=2(x-1)或或y-25=10(x-5),即即y=2x
7、-1或或y=10 x-25.练习练习2:若直线若直线y=3x+1是曲线是曲线y=ax3的切线的切线,试求试求a的值的值.解解:设直线设直线y=3x+1与曲线与曲线y=ax3相切于点相切于点P(x0,y0),则有则有:y0=3x0+1,y0=ax03,3ax02=3.由由,得得3x0+1=ax03,由由得得ax02=1,代入上式可得代入上式可得:3x0+1=x0,x0=-1/2.所以所以a(-1/2)3=1,a=4.故切点分别为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时,10例例 求曲线求曲线f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线的斜率处的切线的斜率切线方程为切线方程为:，即即 例 求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线的11
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