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1、西南交大西南交大-材料力学材料力学-龚晖龚晖-截面几何性质截面几何性质3.组合截面的静矩组合截面的静矩3 3）截面对形心轴的静矩为）截面对形心轴的静矩为0，4.组合截面的形心坐标公式组合截面的形心坐标公式1）静矩和形心坐标均与所取的坐标系有关，）静矩和形心坐标均与所取的坐标系有关，2）静矩和形心坐标均可正可负，）静矩和形心坐标均可正可负，4 4）静矩为）静矩为0的轴为截面的形心轴。的轴为截面的形心轴。例例 求图示求图示T形截面的形心位置。形截面的形心位置。1001002020y解：建立参考坐标系。zA1A2=40 mmz=20 mmA1A2A3z=-80 mmzyodyC I2 极惯性矩 惯性
2、矩 惯性积 1.1.极惯性矩极惯性矩2.惯性矩惯性矩1)极惯性矩、惯性矩和惯性积均与所取的坐标系有关，极惯性矩、惯性矩和惯性积均与所取的坐标系有关，OzyyzdA3.惯性积惯性积2)惯性积可正可负惯性积可正可负3)单位单位m4 或或 mm44.4.惯性半径惯性半径（单位（单位m 或或 mm）OzyyzdA解：解：取平行于取平行于x轴的狭长条，轴的狭长条，则则 dA=b dy同理同理dyy例例 试计算图示矩形截面对于其对称轴试计算图示矩形截面对于其对称轴x和和y的惯性矩。的惯性矩。yhCzby和和z中只要有一根轴是截面的对称轴，则中只要有一根轴是截面的对称轴，则Iyz=0思思考考：O为为直直角角
3、三三角角形形ABD斜斜边边上上的的中中点点，y、z轴轴为为过过点点且且分分别别平平行行于于两两条条直直角角边边的的两两根根轴轴，关关于于惯惯性性积积Iyz=_。zABDyOabIyz=0hzybC例：试计算图示圆截面对于其例：试计算图示圆截面对于其形心轴的形心轴的惯性矩。惯性矩。zdyyz解：解：-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积1.1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 yhCzbz平行移轴公式平行移轴公式注意：注意：4.a、b代表形心代表形心C在在yoz座标系中的坐标，可正可负。座标系中的坐标，可正可负。aycyzczCOb1.两轴必须平行；两
4、轴必须平行；2.两轴中必须有一轴为形心轴：两轴中必须有一轴为形心轴：已知对形心轴的惯性矩和惯性积已知对形心轴的惯性矩和惯性积:已知非形心轴的惯性矩和惯性积已知非形心轴的惯性矩和惯性积:3.在一组平行轴系中对形心轴的惯性矩最小；在一组平行轴系中对形心轴的惯性矩最小；解：解：例例-5 -5 求图示求图示T T形截面对水平形心轴的惯性矩形截面对水平形心轴的惯性矩1001002020yzC20A2A1=1.867 106 mm4=3.467 106 mm4Iz=1.867 106+3.467 106=5.334 106 mm4yaa补例补例1 1 求图示截面对其形心轴的惯性矩。求图示截面对其形心轴的惯
5、性矩。解：解：A1A21)1)求求I Iy y2)2)求求y yC CzzCCyaaA1A2zzCC3)3)求求IzCyCzCz0-4 惯性矩和惯性积的转轴公式截面的主惯性轴和主惯性矩1.1.惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 yhCzbz1zyOazy11注意：注意：1.两个座标系的原点两个座标系的原点必须重合；必须重合；2.两轴惯性矩之和为常量两轴惯性矩之和为常量2.2.截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩(1)主惯性轴主惯性轴:截面对其惯性积为截面对其惯性积为0的的一对一对坐标轴。坐标轴。(2)主惯性矩主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。截面对于主惯性轴的惯性矩
6、。(3)形心主惯性轴：主惯性轴的原点与形心重合。形心主惯性轴：主惯性轴的原点与形心重合。(4)形心主惯性矩形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。截面对于形心主惯性轴的惯性矩。极大值Imax极小值IminzyC101012080CC例：试计算截面的形心主例：试计算截面的形心主惯性矩。惯性矩。解：解：1)求形心坐标求形心坐标2)求对自身形心轴求对自身形心轴的的惯性矩惯性矩3)由由平行移轴公式平行移轴公式求对整个截面形求对整个截面形心轴的心轴的惯性矩惯性矩4)用转轴公式确定主轴位置用转轴公式确定主轴位置zc0yc0a=113.8zyC101012080CC3.3.形心主轴的确定形心主轴的确定3
7、)3)较小的形心主矩是最小值，较小的形心主矩是最小值，但较大的形心主矩不是最大值；但较大的形心主矩不是最大值；1)1)过同一点的轴系中，主矩是唯过同一点的轴系中，主矩是唯一的；一的；2)2)过不同点的轴系中，主轴和主过不同点的轴系中，主轴和主矩是不同的；矩是不同的；zAo oz00yy08)8)无对称轴（例）；无对称轴（例）；6)6)截面有两根互相垂直的对称轴，则截面有两根互相垂直的对称轴，则这两根轴即为形心主轴；这两根轴即为形心主轴；7)7)截面只有一根对称轴时，该对称轴截面只有一根对称轴时，该对称轴是一根形心主轴，另一根形心主轴是一根形心主轴，另一根形心主轴与该轴垂直；与该轴垂直；5)5)正多边形任意一根形心轴均为形心正多边形任意一根形心轴均为形心主轴；主轴；4)4)截面有三根或以上的对称轴时，则截面有三根或以上的对称轴时，则过形心的任一根轴均为形心主轴，过形心的任一根轴均为形心主轴，且惯性矩相等；且惯性矩相等；解：解：1 1）解法一）解法一补例补例2 2 直径为直径为d d的四分之一圆形，的四分之一圆形，C C是其形心，已知是其形心，已知yzC，试求试求Iz。ozCyCz02 2）解法二）解法二yzCoz1y1z03 3）解法三）解法三yzCoy1z1CA1A2A3z04 4）解法四）解法四yzCoy1z1Cz0A1A2A3A3
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