职高数学第一轮复习排列与组合

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1、职高数学第一轮复习排列职高数学第一轮复习排列与组合与组合返回目录返回目录1理解排列、理解排列、组合的概念合的概念2能利用能利用计数原理推数原理推导排列数公式、排列数公式、组合数公式合数公式3能解决能解决简单的的实际问题考试大纲考试大纲问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加名去参加某

2、天一项活动，有多少种不同的选法？某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3从已知的从已知的3个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 ,并成一并成一组组问题问题2从已知的从已知的3 个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 ,按照一按照一定的顺序定的顺序排成一列排成一列.问题问题1排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合 排列与组合的排列与组合的

3、概念有什么共概念有什么共同点与不同点同点与不同点？组合定义组合定义:组合定义组合定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个个元素元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个元素的一个个组合组合排列定义排列定义:一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元个元素，素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同元素中个不同元素中取出取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列.共同点共同点:都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素”不同点不同点:排列排

4、列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关，而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关.思考一思考一:ab b与与b ba是相同的排列还是相同的组合是相同的排列还是相同的组合?为什么为什么?思考二思考二:两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢两个相同的组合呢?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同.元素相同元素相同概念理解概念理解 构造排列分成两步完成，先取后排；而构造构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤组合就是其中一个步骤.思考三思考三:组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗?一一、概念、概念1、排列与组合的区别、排列与组

5、合的区别 将一个事件内的元素的顺序调换，如果将一个事件内的元素的顺序调换，如果这个事件不变，那么是组合问题这个事件不变，那么是组合问题,如果这个如果这个事件改变，那么是排列问题。事件改变，那么是排列问题。排列问题要考虑位置关系；排列问题要考虑位置关系；组合问题不需要考虑位置关系。组合问题不需要考虑位置关系。2、乘法原理与加法原理、乘法原理与加法原理判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3 3个元素的子集有个元素的子集有多少个多少个?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条

6、铁路线上共需准备多少种个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票车票?有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有共有多少种分法多少种分法?组合问题组合问题(4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手共需握手多少次多少次?组合问题组合问题(5)(5)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个游览个游览,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?组合问题组合问题(6)(6)从从4 4个风景点中

7、选出个风景点中选出2 2个个,并确定这并确定这2 2个风景点的游览顺序个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.从从n个不同的元素中任取个不同的元素中任取m个不同的元素的组合个不同的元素的组合数为数为二、基本公式二、基本公式从从n个不同的元素中任取个不同的元素中任取m个不同的元素的排列个不同的元素的排列数为数为 知知知知 识识识识 梳梳梳梳 理理理理 返回目录返回目录1 1n!返回目录返回目录 三、七类典型的排列组合问题三、七类典型的排列组合问题1、有特殊元素或

8、特殊位置的排列问题、有特殊元素或特殊位置的排列问题：一般地，分步处理，优先（第一步）处理特一般地，分步处理，优先（第一步）处理特殊元素或特殊位置。殊元素或特殊位置。练习：从练习：从7名运动员选名运动员选4人参加人参加4 100米的接力赛，其中甲乙两米的接力赛，其中甲乙两人都不跑中间两棒的方法有多少人都不跑中间两棒的方法有多少种？种？2、相邻的排列问题：、相邻的排列问题：一般地，（分两步）先将相邻的元素合并一般地，（分两步）先将相邻的元素合并（看成一个元素）与其它元素一起排列好，（看成一个元素）与其它元素一起排列好，再处理好合并的元素间的位置关系再处理好合并的元素间的位置关系。例：在学校的一次演

9、讲比赛中，高一、高二、高三例：在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有分别有1名、名、2名、名、3名同学获奖，将这六名同学排名同学获奖，将这六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有排法共有()A6种种 B36种种 C72种种 D120种种解析解析 将这六名同学排成一排，可按以下步骤进行：将这六名同学排成一排，可按以下步骤进行：把高一的把高一的1名同学、高二的名同学、高二的2名同学、高三的名同学、高三的3名同学分名同学分别当作一个整体排成一排，有别当作一个整体排成一排，有3216种排法；种排法；高二的高二的2名同学之间，有名

10、同学之间，有2种排法；种排法；高三的高三的3名同学之间，有名同学之间，有3216种排法；种排法；根据分步乘法计数原理，不同的排法共有根据分步乘法计数原理，不同的排法共有62672种，种，故选故选C.返回目录返回目录思考流程思考流程(1)分析：属排列分析：属排列问题；推理：相；推理：相邻问题；结论：捆：捆绑法得出法得出结论返回目录返回目录3、不相邻的排列问题、不相邻的排列问题 一般地，（分两步）先将普通元素排列好，一般地，（分两步）先将普通元素排列好，再将不相邻的元素插入普通元素间的空隙。再将不相邻的元素插入普通元素间的空隙。4、两类不同的元素的混合排列问题、两类不同的元素的混合排列问题 一般地

11、，先取后排（分步处理），先分别一般地，先取后排（分步处理），先分别从两类元素中取出需用元素的从两类元素中取出需用元素的 组合，再混合组合，再混合在一起进行排列。在一起进行排列。5、可重复的排列、可重复的排列 一般地，应该从位置方面进行考虑。一般地，应该从位置方面进行考虑。（当对元素和位置分辨不清时，可从两方面（当对元素和位置分辨不清时，可从两方面分别进行考虑通顺者为正确）分别进行考虑通顺者为正确）例：由1，2，3，4，5，可以组成多少个有重复数字的五位数。6、分配问题、分配问题 一般原则是分步地一般原则是分步地“取取”，（含排列的意味），（含排列的意味）最好是先分堆（遇到平均分堆就除以堆数的排

12、列数），最好是先分堆（遇到平均分堆就除以堆数的排列数），再分配（排列）再分配（排列）（1）注意分注意分“堆堆”与分给与分给“人人”的区别；的区别；（2）注意均匀分配与不均匀分配的区别；注意均匀分配与不均匀分配的区别；（3）注意分给注意分给“人人”的不均匀分配时有对某些人指定量的不均匀分配时有对某些人指定量与不指定量的区别与不指定量的区别返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录归纳总结归纳总结求排列求排列问题的基本解法有的基本解法有 返回目录返回目录直接法直接法对无限制条件的排列，直接列出排列数无限制条件的排列，直接列出排列数计算算优先法先法对特殊元素特殊元素(或位置或位置)优先安排先安

13、排捆捆绑法法对有相有相邻元素的排列元素的排列插空法插空法对有不相有不相邻元素排列元素排列(间隔排列隔排列)分排分排问题对元素分成多排，可元素分成多排，可归结为一排考一排考虑，再分，再分段研究段研究先整体后先整体后局部局部对“小集小集团”排列排列问题定序定序问题可先不考可先不考虑顺序限制序限制进行排列，再除去定序行排列，再除去定序元素的全排列元素的全排列间接法接法正正难则反，等价反，等价转化化处理理1、有、有3名男生，名男生，4名女生，求在不同的要求下相应的排列方法数。名女生，求在不同的要求下相应的排列方法数。1）全体排成一行）全体排成一行2）选其中）选其中5人排成一行人排成一行3）全体排成一行

14、，其中甲只能在中间或两头位置）全体排成一行，其中甲只能在中间或两头位置4）全体排成一行，其中甲乙只能在两头。）全体排成一行，其中甲乙只能在两头。5）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边6）全体排成一行，男生女生各在一起，）全体排成一行，男生女生各在一起，7）全体排成一行，其中男生必须在一起）全体排成一行，其中男生必须在一起8）全体排成一行，其中男女生各不相邻）全体排成一行，其中男女生各不相邻9）全体排成一行，甲必须在乙的左边）全体排成一行，甲必须在乙的左边10）排成前后两排，前排三人，后排四人。）排成前后两排，前排三人，后排四人。1、用、用

15、0、1、2、3、4、5可组成可组成-个能被个能被25整除的整除的无重复数字的四位数。无重复数字的四位数。解：分两类，尾数为25与50。练习练习题题(1)三位老三位老师和三位学生站成一排，要求任何和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相两位学生都不相邻，则不同的排法不同的排法总数数为_种种(2)用用0，1，2，3，4这五个数字五个数字组成无重复数字的五成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之在两个奇数数字之间，这样的五位数有的五位数有_个个（3）某班毕业班晚会原定的五个节目已排成节目单，开）某班毕业班晚会原定的五个节目已排成节目单，开演前又增加演前

16、又增加2个节目，如果将这个节目，如果将这2个节目插入原节目单中，个节目插入原节目单中，那么不同的插法有（）个那么不同的插法有（）个返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录（3）分两类，两个节目分开与两个节目相邻。）分两类，两个节目分开与两个节目相邻。另解：第一步：先把一个节目插空，有另解：第一步：先把一个节目插空，有6个空位可选，然个空位可选，然后产生了后产生了7个空位，第二步：再把第二个节目插入，有个空位，第二步：再把第二个节目插入，有7种种方法。方法。故共有故共有42种种返回目录返回目录返回目录返回目录例：在例：在100件产品中有件产品中有98件合格品，件合格品，2件次品。产品检件

17、次品。产品检验时验时,从从100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3件。件。(1)一共有多少种不同的抽法一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？件中至多有一件是次品的抽法有多少种？说明：说明：“至少至少”“至多至多”的问题，通常用分类的问题，通常用分类法或间接法求解。法或间接法求解。变式练习变式练习按下列条件，从按下列条件，从12人中选出人中选出5人，有多少种不同选法？人，有多少种不

18、同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2人当选；人当选；（6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1人当选；人当选；例例:某医院有内科医生某医院有内科医生1212名，外科医生名，外科医生8 8名，现要派名，现要派5 5人参加支边医疗队，至少要有人参加支边医疗队，至少要有1 1名内科医生和名内科医生和1 1名外科名外科医生参加，有多少种选法？医

19、生参加，有多少种选法？课堂练习：课堂练习：课堂练习：课堂练习：2、从、从6位同学中选出位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。3、要从、要从8名男医生和名男医生和7名女医生中选名女医生中选5人组成一个医疗队，如果人组成一个医疗队，如果其中至少有其中至少有2名男医生和至少有名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数名女医生，则不同的选法种数为（为（）1、把、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，人，若甲必须分到一车间，

20、乙和丙不能分到二车间，则不同的分若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有法有 种种。99C 探究点四排列、组合的综合应用探究点四排列、组合的综合应用返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录返回目录元素相同问题隔板策略例例.有有1010个运动员名额，分给个运动员名额，分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个,有多少种分配方案？有多少种分配方案？解：因为解：因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空

21、档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）为正整数）,每份至少一个元素每份至少一个元素,可以用可以用 块隔板，插入块隔板，插入n n个元素排成一排的个元素排成一排的 个空隙中，所有分法个空隙中，所有分法数为数为m-1n-1练习题练习题 1.10 1.10个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中,每盒至少每盒至少一个，有多少装法？一个，有多少装法？2.2.高二年级高二年级8 8个班个班,组织一个组织一个1212个人的年级学生分会个人的年级学生分会,每班要求至少每班要求至少1 1人人,名额分配方案有多少种名额分配方案有多少种?练习：练习：1、将、将8个学生干部的培训指标分配给个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，个不同的班级，每班至少分到每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法个名额，共有多少种不同的分配方法？