同济版高等数学上册复习资料

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1、高等数学高等数学(上上)总复习总复习第一部分 复习的重点及题型分析第二部分 高等数学(上)方法综述 第一部分第一部分 复习的重点及题型分析复习重点复习重点三个基本计算三个基本计算 极限极限,导数导数,积分积分两个基本应用两个基本应用 导数应用导数应用,积分应用积分应用一个基本理论一个基本理论 有关中值的定理及应用有关中值的定理及应用一一.三个基本计算三个基本计算 (约约 70%)1.极限的计算极限的计算(约约 24%)主要题型主要题型(1)利用基本方法求极限利用基本方法求极限函数的连续性函数的连续性;四则运算法则四则运算法则;极限存在准则极限存在准则;两个重要极限两个重要极限;等价无穷小替换等

2、价无穷小替换;洛必塔法则洛必塔法则.(2)利用特殊方法求极限利用特殊方法求极限导数定义导数定义;定积分定义定积分定义;微分中值定理微分中值定理;变限积分求导变限积分求导;讨论左右极限讨论左右极限.(3)无穷小量的比较无穷小量的比较例题分析例题分析例例1.计算计算解解:解解:利用等价关系利用等价关系例例2.设设 f(x)处处连续处处连续,且且 f(2)=3,计算计算解解:化为指数形式化为指数形式,利用利用例例3.计算计算解解:例例4.计算计算 例例5.计算计算解解:令令 例例6.计算计算解解:令令例例7.计算计算解解:利用等价无穷小利用等价无穷小例例8.计算计算 解解:例例9.求求解解:令令则则

3、原式原式=洛洛例例10.计算计算解解:直接用洛必塔直接用洛必塔法则不方便法则不方便利用等价无穷小利用等价无穷小例例11.计算计算解解:利用微分中值定理利用微分中值定理例例12.计算计算解解:洛洛这是积分变量这是积分变量例例13.求求原式原式=洛洛利用等价无穷小利用等价无穷小解解:例例14.已知已知解解:对所给等式左边用洛必塔法则对所给等式左边用洛必塔法则,得得再利用再利用可知可知求求 a,b.2.导数和微分的计算导数和微分的计算 (约约 18%)主要题型主要题型(1)计算计算复合函数复合函数的导数和微分的导数和微分;(2)计算计算隐函数隐函数的导数和微分的导数和微分;(3)参数方程参数方程求一

4、阶、二阶导数求一阶、二阶导数;(4)用导数定义求用导数定义求特殊点特殊点的导数值的导数值;(5)计算计算 n 阶导数阶导数.(包括包括对数微分法对数微分法)例题分析例题分析例例1.已知已知解法解法1.等式两边对等式两边对 x 求导求导,得得故故 解法解法2.等式两边取对数等式两边取对数,得得 两边对两边对 x 求导求导,得得 故故 例例2.已知已知解：解：两边取对数，得两边取对数，得两边对两边对 x 求导求导例例3.证明下述函数在证明下述函数在 x=0 连续且可导连续且可导证证:因为因为又又 在在 x=0 连续且可导连续且可导.思考思考:若函数改为若函数改为 是否有同样的是否有同样的 结论结论

5、?例例4.已知已知解解:,求求 例例5.设设 解解:例例6.设设解解:例例7.设设求解解:例例8.求求解解:方法方法1.利用归纳法可证利用归纳法可证方法方法2.利用莱布尼兹求导公式利用莱布尼兹求导公式的的 n 阶导数阶导数.例例9.设设求求解解:3.不定积分与定积分的计算不定积分与定积分的计算 (约约 28%)主要题型主要题型(1)利用基本积分方法计算不定积分利用基本积分方法计算不定积分;(2)利用基本积分方法及公式计算定积分利用基本积分方法及公式计算定积分;(3)利用简化技巧计算积分利用简化技巧计算积分;(4)广义积分的计算及收敛性判别广义积分的计算及收敛性判别.例题分析例题分析例例1.求求

6、解解:令令令令例例2.求求解解:例例3.求求解解:原式原式=例例4.求求解解:例例5.讨论积分讨论积分解解:的敛散性的敛散性.发散发散可见原积分发散可见原积分发散.例例6.求求解解:奇函数奇函数偶函数偶函数例例7.已知已知解解:对所给等式两边求导对所给等式两边求导,得得求求利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”,得得 例例8.设设,求求(P270 题题13)解解:令令则则例例9.已知已知解解:由已知条件得由已知条件得求求例例10.求求 解解:利用利用 P248 例例6(2),即即 例例11.利用递推公式计算下列广义积分利用递推公式计算下列广义积分解解:(P260 题题3)二二.两个基本应用两个基本应用

7、(约约 24%)1.导数的应用导数的应用(约约 16%)主要题型主要题型(1)导数的几何应用导数的几何应用(2)利用导数研究函数形态利用导数研究函数形态(3)求解最值问题求解最值问题(4)利用导数证明恒等式利用导数证明恒等式(5)利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式例例1.设函数在定义域内可导,的图形如右图所示,则导函数的图形为 .(2001考研考研)提示提示:在某区间I 内可导,则在I 内是的极值点例题分析例题分析例例2.证明在上单调增加.证证:令在 x,x+1 上利用拉氏中值定理,故当 x 0 时,从而在上单调增.得例例3.证明当证明当 x 0 时时,证法证法1:设设则则故故 证法证法

8、2:当当 x 0 时时,在 x,x+1 上利用拉氏中值定理,得例例4.证明证明:证证:即即 例例5.证明当证明当证证:归结为证归结为证 即即 在在(0,1)上不好判别正负号上不好判别正负号 提示提示:证明证明 f(0)是是 f(x)在在(,1)上的最大值上的最大值.说明说明:若改为证明当若改为证明当 x 1 时时,如何证明如何证明?有两个根有两个根;例例6.讨论方程讨论方程有几个实根有几个实根.解解:设设令令得得(最大值最大值)注意注意因此因此当当时时,当当时时,只有一个根；只有一个根；当当时时,无实根无实根.(P153 题题6)例例7.求双曲线的曲率半径 R,并分析何处 R 最小?解解:则利

9、用例例8.求内接于半径为求内接于半径为R 的球内的正圆锥体的最大体积的球内的正圆锥体的最大体积.解解:设锥体的底半径为设锥体的底半径为 r,高为高为 h,如图如图 因因 ADB BDE,所以所以圆锥体体积圆锥体体积 为极大值点为极大值点 在在(0,2R)内只有唯一驻点内只有唯一驻点,且为极大值点且为极大值点,故为最大故为最大 值点值点,最大值为最大值为 2.定积分的应用定积分的应用 (约约 8%)(1)利用定积分计算面积利用定积分计算面积直角坐标方程参数方程 极坐标方程(2)利用定积分计算弧长及旋转体体积利用定积分计算弧长及旋转体体积(3)定积分的物理应用定积分的物理应用(4)有关定积分的证明

10、题有关定积分的证明题主要题型主要题型例题分析例题分析例例1.求曲线求曲线解解:设切点为设切点为则切线方程为则切线方程为令令得得与其通过原点的切线及与其通过原点的切线及 y 轴所围图形轴所围图形 的面积的面积.故所求面积为故所求面积为 例例2.求曲线求曲线解解:列表列表:绕绕 x 轴旋转所得轴旋转所得旋转体的体积旋转体的体积.例例3.求抛物线求抛物线解解:与直线与直线所围的图形绕所围的图形绕 y 轴轴旋转一周所得旋转体体积旋转一周所得旋转体体积.（此题也可用柱壳法）（此题也可用柱壳法）（一般法）（一般法）例例4.求由圆求由圆解解:圆的方程为圆的方程为围成的平面图形绕围成的平面图形绕 x 轴旋转轴

11、旋转一周形成的旋转体体积一周形成的旋转体体积.利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”（这是柱壳法）（这是柱壳法）例例5.证明提示提示:令令,得得 x=1,0,判别判别 x=1 为为 f(x)在在上的唯一极大点上的唯一极大点,故故则则时时例例6.求抛物线求抛物线在在(0,1)内的一条切线内的一条切线,使它使它与与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解:设抛物线上切点为设抛物线上切点为则该点处的切线方程为则该点处的切线方程为它与它与 x,y 轴的交点分别为轴的交点分别为所求面积所求面积且为最小点.故所求切线为得 0,1 上的唯一驻点三三.一个基本理论一个基本理论 有关中值

12、的问题有关中值的问题(约约 5%)主要题型主要题型(1)讨论函数的零点问题或方程根的问题讨论函数的零点问题或方程根的问题存在性存在性唯一性唯一性 常用常用介值定理介值定理;罗尔定理罗尔定理 利用利用单调性单调性;反证法反证法(2)利用微分和积分利用微分和积分中值定理中值定理证明等式或不等式证明等式或不等式例例1.叙述拉格朗日中值定理并证明之叙述拉格朗日中值定理并证明之.提示提示:利用逆向思维设出满足利用逆向思维设出满足罗尔定理罗尔定理的辅助函数的辅助函数.例题分析例题分析例例2.设常数至少有一正根,且不超过证证:设,则均为正值,证明方程若则为一正根,且符合题意.若则由根的存在定理知,又至少存在

13、一个使,即所给方程至少有一个不超过的正根.证明方程证明方程 例例3.已知已知证证:先证先证存在性存在性.使再证再证唯一性唯一性.在在 0,1 上有唯一的根上有唯一的根.则则 因此因此,即即 假设方程还有一根假设方程还有一根则则 无妨设无妨设x 0 0 时时,F(x)可导可导,故连故连续续,问问 a 取何值时取何值时 F(x)连续连续?显然连续显然连续,2.注意综合试题注意综合试题(1)极限与其它知识点的结合极限与其它知识点的结合(2)求导与积分方法的结合求导与积分方法的结合(3)导数应用与积分应用结合导数应用与积分应用结合3.具体要求具体要求全面复习全面复习,抓住三基抓住三基,动手动脑动手动脑,认真细致认真细致.防止低级错误防止低级错误:正负号搞错正负号搞错;不定积分丢不定积分丢 C;微分积分漏写微分积分漏写 导数与积分公式记反导数与积分公式记反 抄错题或漏题抄错题或漏题;(4)微分中值定理与积分中值定理结合微分中值定理与积分中值定理结合填空填空:写出下列函数的导数和原函数写出下列函数的导数和原函数函数函数 导函数导函数 原函数原函数