线性矩阵不等式1

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1、线性矩阵不等式线性矩阵不等式1 1主要内容主要内容线性矩阵不等式概论线性矩阵不等式概论系统性能分析系统性能分析控制器设计控制器设计线性矩阵不等式概论线性矩阵不等式概论线性矩阵不等式的一般表示线性矩阵不等式：线性矩阵不等式：仿射矩阵不等式仿射矩阵不等式仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f(x)=A x+b，这里，A 是一个 mk 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为 其中 可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。凸（约束）问题定定义（凸集）（凸集）一个集合一个集合的的连线仍在集合内

2、。仍在集合内。和和及参数及参数有有称称为的凸的凸组合。合。称为凸的，如果集合中任意两点称为凸的，如果集合中任意两点即任意给定两点即任意给定两点和和将矩阵不等式的解约束在将矩阵不等式的解约束在矩阵变量定义的空间中矩阵变量定义的空间中关于凸集定关于凸集定义的理解的理解Schur补定理补定理引理引理 (Schur Complement)对于分于分块对称称阵其中其中b)，且，且c)，且，且a)为方阵，则以下三个条件是等价的：为方阵，则以下三个条件是等价的：Schur补应用补应用 若要证明存在对称矩阵若要证明存在对称矩阵P0,Q0,R0,使得如下不等使得如下不等式成立式成立 只需证明只需证明如下线性矩阵

3、不等式如下线性矩阵不等式(LMI)成立成立 Schur补补：是将非线性矩阵不等式转化为线：是将非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的有效工具性矩阵不等式的有效工具标准的线性矩阵不等式问题标准的线性矩阵不等式问题可行性问题可行性问题(LMIP)求不等式的可行解求不等式的可行解 检验是否存在检验是否存在x，使得，使得 成立。成立。特征值问题特征值问题(EVP)求不等式的优化解求不等式的优化解广义特征值问题广义特征值问题(GEVP)仿射矩阵函数的不等式优化问仿射矩阵函数的不等式优化问题题Linear Matrix Inequality(LMI)系统性能分析系统性能分析连续时间系统3.1.1系统增益指

4、标 考虑L2范数对于平方可积的信号 ，定义 其中 是向量的欧式范数。这样定义的 正好是信号 的能量。将所有有限能量的全体记成 即 也称为信号 的 范数 L范数对幅值有界的信号 ，定义 当 是一个标量信号时，等于 的峰值。将所有幅值有界的信号全体记成 即 也称为信号 的 范数。四个性能指标IE(Impulse-to-Energy)增益：EP(Energy-to-Peak)增益：EE(Energy-to-Energy)增益：PP(Peak-to-Peak)增益：定理1-IE若有一最优值 ，则定理2-EP若有一最优值 ，则定理3-EE定理4-PPH2性能T的H2范数的平方等于系统脉冲响应的总的输出能

5、量。(IE)系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信号激励下的稳态输出方差来解释。(EP)对于SISO系统用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数H性能增益 有一个频率域的解释：它恰好等于传递函数 的 范数，即用线性矩阵不等式刻画系统的H范数定理：定理：针对系系统(3.1.1)和和给定的一个常数定的一个常数 0,若若存在存在对称矩称矩阵P0,使得如下使得如下线性矩性矩阵不等式成立不等式成立则有则有|T(s)|,且系统渐进稳定。且系统渐进稳定。证明：证明：对上述不等式分别左乘对上述不等式分别左乘,右乘矩阵右乘矩阵diag1/2I,1/2I,-1/2I,得得记记X=P运用运用Schur补，可得补，可得若若D=0,则有则有严格真传递函数阵的严格真传递函数阵的H范数与矩范数与矩阵不等式的等价关系不等式的等价关系给出了系统给出了系统H范数与范数与LMI之间的关系之间的关系使得使得H控制问题可基于控制问题可基于LMI进行求解进行求解有界实引理(Bounded real lemma)控制器设计控制器设计H控制器设计状态反馈H控制H控制律的存在条件和设计方法H次优控制H最优控制结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！33