直线与直线之间的位置关系

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1、直线与直线之间的位置关直线与直线之间的位置关系系立体几何立体几何2.1.2空间中直线与直线空间中直线与直线之间的位置关系之间的位置关系平面内两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系相交直线相交直线相交直线相交直线（有一个公共点）（有一个公共点）abo平行直线平行直线平行直线平行直线（无公共点）（无公共点）ab复习引入复习引入螺螺 母母abcdef新课探究新课探究观察下列图形，说说空间中两条直线的位置关系探究一立交桥立交桥思考：存在不存在一个平面同时过思考：存在不存在一个平面同时过上面两条直线？上面两条直线？问题问题1：在平面几何中，两直线的位置在平面几何中，两直线的位置关系如何？关系如何？讲

2、授新课讲授新课问题问题2：没有公共点的直线一定平行吗？没有公共点的直线一定平行吗？问题问题3：没有公共点的两直线一定在同没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？一平面内吗？abcd1.异面直线的定义异面直线的定义:不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线。1)1)异面直线既不平行也不相交异面直线既不平行也不相交一、空间两条直线的位置关系一、空间两条直线的位置关系2)2)定义中定义中“任何任何”是指两条直是指两条直线永远不具备确定平面的条件，线永远不具备确定平面的条件，即是不可能找到一个平面同时即是不可能找到一个平面同时包含这两条直线；包含这两条直

3、线；不能认为分别在两个平面内的不能认为分别在两个平面内的两条直线叫异面直线。两条直线叫异面直线。a与与b是是相交相交直线直线a与与b是是平行平行直线直线a与与b是是异面异面直线直线abM它们可能异面，可能相交，也可能平行。它们可能异面，可能相交，也可能平行。abab它们可能异面，可能相交，也可能平行。它们可能异面，可能相交，也可能平行。也不能认为不在同一平面内的两条直线叫异面直线。也不能认为不在同一平面内的两条直线叫异面直线。说明说明:画异面直线时画异面直线时,为了为了体现体现它们不共面的特点。它们不共面的特点。常借常借 助一个或两个平面来衬托助一个或两个平面来衬托.如图：如图：aabaAbb

4、(1)(3)(2)3）异面直线的画法）异面直线的画法4 4）异面直线的判定方法：）异面直线的判定方法：不同在任何一个平面内。不同在任何一个平面内。既不相交也不平行的直线。既不相交也不平行的直线。连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。内不经过此点的直线是异面直线。已知：如图已知：如图求证：直线求证：直线AB和和a是异面直线。是异面直线。BAa证明证明:(反证法反证法)假设直线假设直线AB和和a不是异面直线。不是异面直线。则直线则直线AB和和a一定共面，设为一定共面，设为（公理（公理2的推论的推论1）所以直线所以直线A

5、B和和a是异面直线。是异面直线。这与已知这与已知A 矛盾，矛盾，按平面基本性质分按平面基本性质分同在一个平面内同在一个平面内相交直线平行直线 不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内:异面直线 有一个公共点有一个公共点:按公共点个数分按公共点个数分相交直线无无 公公 共共 点点平行直线异面直线 2 2、空间中直线与直线之间的位置关系、空间中直线与直线之间的位置关系 A1B1C1D1CBDA练习练习1、如图所示：正方体的棱所在的直线如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线中，与直线A1B异面的有哪些？异面的有哪些？答案：答案：D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1A1B1C1D1CBDA

6、练习练习1、如图所示：正方体的棱所在的直线如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线中，与直线A1B异面的有哪些？异面的有哪些？下图长方体中下图长方体中平行平行相交相交异面异面BD和和FH是是直线直线EC和和BH是是直线直线BH和和DC是是直线直线BACDEFHG(2).与棱与棱AB所在直线异面的棱共有所在直线异面的棱共有条条?4分别是分别是：CG、HD、GF、HE课后思考课后思考:这个长方体的棱中共有多少对异面直线这个长方体的棱中共有多少对异面直线?(1)说出以下各对线段的位置关系说出以下各对线段的位置关系?练习练习31.画两个相交平面，在这两个平面内各画画两个相交平面，在这两个平面内各画一条

7、直线，使它们成为：一条直线，使它们成为：平行直线；平行直线；相交直线；相交直线；异面直线异面直线.巩固：巩固：1.画两个相交平面，在这两个平面内各画画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：一条直线，使它们成为：平行直线；平行直线；相交直线；相交直线；异面直线异面直线.ab 巩固：巩固：1.画两个相交平面，在这两个平面内各画画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：一条直线，使它们成为：平行直线；平行直线；相交直线；相交直线；异面直线异面直线.ab ab 巩固：巩固：1.画两个相交平面，在这两个平面内各画画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：一条直

8、线，使它们成为：平行直线；平行直线；相交直线；相交直线；异面直线异面直线.ab ab ab 巩固：巩固：2.两条异面直线指：两条异面直线指：A.空间中不相交的两条直线；空间中不相交的两条直线；B.不在同一平面内的两条直线；不在同一平面内的两条直线；C.不同在任一平面内的两条直线；不同在任一平面内的两条直线；D.分别在两个不同平面内的两条直线；分别在两个不同平面内的两条直线；E.空间没有公共点的两条直线；空间没有公共点的两条直线；F.既不相交，又不平行的两条直线既不相交，又不平行的两条直线.巩固：巩固：()填空：填空：1、空间两条不重合的直线的位置关系有、空间两条不重合的直线的位置关系有_、_、

9、_三种。三种。2、没有公共点的两条直线可能是、没有公共点的两条直线可能是_直线，也有可能是直线，也有可能是 _直线。直线。3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 有有_。平行平行相交相交异面异面平行平行异面异面相交、异面相交、异面练习提升练习提升“a，b是异面直线是异面直线”是指是指ab=,且且a不平行于不平行于b；a 平面平面，b 平面平面且且ab=a平面平面，b 平面平面不存在平面不存在平面，能使，能使a 且且b 成立成立1、上述结论中，正确的是上述结论中，正确的是（）（A）（B）（C）（D）2、长方体的一条体对角线与长方

10、体的棱所组成的异面、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有直线有（）（A）2对对（B）3对对（C）6对对（D）12对对CC3、两条直线、两条直线a,b分别和异面直线分别和异面直线c,d都相交，则都相交，则直线直线a，b的位置关系是（的位置关系是（）（A）一定是异面直线（）一定是异面直线（B）一定是相交直线）一定是相交直线（C）可能是平行直线）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线）可能是异面直线，也可能是相交直线4、一条直线和两条异面直线中的一条平行、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它则它和另一条的位置关系是和另一条的位置关系是()（A）平行（）平行（B）相交（

11、）相交（C）异面（）异面（D）相交或异面）相交或异面DD探究探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DA如图是一个正方体的展开图如图是一个正方体的展开图,如果将它如果将它还原为正方体还原为正方体,那么那么AB,CD,EE,GH这四条线段所在直线是异面直线的有这四条线段所在直线是异面直线的有对对?答答:共有三对共有三对abced我们知道我们知道,在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢在空间这一规律是否还成立呢?观察观察:将一张纸如图进行折叠将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边

12、则各折痕及边a,b,c,d,e,之间有何关系？之间有何关系？a b c d e 公理：公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行平行线的传递性平行线的传递性二、空间直线的平行关系二、空间直线的平行关系若若a b，b c，1、平行关系的传递性、平行关系的传递性caabc ca则则a c。公理公理4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据的作用：它是判断空间两条直线平行的依据公理：公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行平行推广推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行：在空间平行于一条已知直线的所有直线都

13、互相平行二二.空间直线的平行关系：空间直线的平行关系：例例2.已知已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：，求证：EFGH是一个平行四边形。是一个平行四边形。证明：连结证明：连结BD EH是是 ABD的中位线的中位线 EH BD且且EH=BD同理，同理，FG BD且且FG=BD EH FG且且EH=FG EFGH是一个平行四边形是一个平行四边形如果再加上条件如果再加上条件AC=BD,那么四边形那么四边形EFGH是什么图是什么图形？形？AB D

14、EFGHC在平面内在平面内,我们可以证明我们可以证明“如果一个角的两边与另一个角的如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补两边分别平行，那么这两个角相等或互补”空间中这一结空间中这一结论是否仍然成立呢？论是否仍然成立呢？定理（等角定理）：定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补观察观察:如图所示如图所示,长方体长方体ABCD-A1B1C1D1中中,ADC与与 A1D1C1,ADC与与 A1B1C1两边分别对应平行两边分别对应平行,这两组角的大小这两组角的大小关系如何关系如何

15、?答答:从图中可看出从图中可看出,ADC=A1D1C1,ADC+A1B1C1=180OD1C1B1A1CABD二二.空间直线的平行关系：空间直线的平行关系：2.等角定理等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。角相等或互补。问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？问：这两个角什么时候相等，什么时候互补？三三.异面直线所成的角异面直线所成的角在平面内在平面内,两条直线相交成四两条直线相交成四个角个角,其中其中不大于不大于90度度的角称为它的角称为它们的夹角们的夹角,用以刻画两直线的错开用以刻画两直线的错开程度程度

16、,如图如图.在空间在空间,如图所示如图所示,正方体正方体ABCDEFGH中中,异面直线异面直线AB与与HF的错开程度可以怎样来刻的错开程度可以怎样来刻画呢画呢?ABGFHEDCO问题提出问题提出复习回顾复习回顾解决问题解决问题异面直线所成角的定义异面直线所成角的定义:如图如图,已知两条异面直线已知两条异面直线a,b,经过空间任经过空间任一点一点O作作直线直线a a,b b 则把则把a 与与b 所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异面直线所叫做异面直线所成的角成的角(或夹角或夹角).abb aO思想方法思想方法:平移转化成相交直线所成的角平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形

17、问题即化空间图形问题为平面图形问题思考思考:这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗?即即O点位点位置不同时置不同时,这一角的大小是否改变这一角的大小是否改变?异面直线所成的角的范围异面直线所成的角的范围(0,90oo如果两条异面直线如果两条异面直线a,b 所成的角为直所成的角为直角，我们就称这两角，我们就称这两条直线互相垂直条直线互相垂直,记为记为a b注2a 思考思考:这个角的大小与这个角的大小与O点的位置有关吗点的位置有关吗?即即O点位置不同时点位置不同时,这一角的大小这一角的大小是否改变是否改变?a a,a a a a(公理公理4),解答：解答：如图如图设设a 与与b

18、 相交所成的角为相交所成的角为 1,a 与与b所成的角为所成的角为 2,同理同理b b,1=2(等角定理等角定理)b aO 1aab 2答答:这个角的大小与这个角的大小与O点的位置点的位置无关无关.说明：aa1b1O1、分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的、分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的锐角（直角）叫做两异面直线所成的角锐角（直角）叫做两异面直线所成的角2、定义由等角定理解释：、定义由等角定理解释：为了简便，在求作异面直线所成的角时为了简便，在求作异面直线所成的角时,O点点常选在其中的一条直线上常选在其中的一条直线上(如线段如线段的的端点端点,线段的线段的中点中点等等)b a

19、O如果两条异面直线所成的角是直角，如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两就说这两条异面直线互相垂直条异面直线互相垂直。相交垂直（有垂足）相交垂直（有垂足）垂直垂直 异面垂直（无垂足）异面垂直（无垂足）OO因此，异面直线所成角的范围是（因此，异面直线所成角的范围是（0，3、特例：、特例：求异面直线所成的角的步骤是求异面直线所成的角的步骤是:一作一作(找找)：作（或找）平行线：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角。面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角三求：在一恰当的三角形中求出角4 4、解题时，常将异面直线所成的角转化相交直线所成的角实

20、现了空间问题平化。、解题时，常将异面直线所成的角转化相交直线所成的角实现了空间问题平化。5、求异面直线所成的角的基本法则：、求异面直线所成的角的基本法则：作平行线，构三角形作平行线，构三角形探究？D1C1B1A1CABD（1）如图，观察长方体）如图，观察长方体ABCD-A1B1C1D1，有没有两条棱，有没有两条棱所在所在的直线是相互垂直的异面直线？的直线是相互垂直的异面直线？（2）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，）如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，另一条直线是否与这条直线垂直？另一条直线是否与这条直线垂直？（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？）垂直于同一条直线的两条直线是否

21、平行？如图，已知正方体如图，已知正方体ABCDABCDABCDABCD中。中。（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线BABA是异面直线？是异面直线？（2 2）直线）直线BABA和和CCCC的夹角是多少？的夹角是多少？（3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线AAAA垂直？垂直？解：（解：（1 1）由异面直线的判）由异面直线的判定方法可知，与直线定方法可知，与直线成异面直线的有直线成异面直线的有直线，ABCDABCD例例3如图，已知正方体如图，已知正方体 中。中。（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？是异面直线？（2 2）直线）直线 和和

22、的夹角是多少？的夹角是多少？（3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线 垂直？垂直？解：（解：（2 2）由）由 可可知，知，等于异面直线等于异面直线与与 的夹角的夹角,所以异面所以异面直线直线 与与 的夹角为的夹角为45450 0。(3)直线直线与直线与直线都垂直都垂直.ABCDABCD例例3ABGFHEDC课堂练习课堂练习1如图，正方体如图，正方体ABCD-EFGH中中,O为侧面为侧面ADHE的中心，求的中心，求(1)BE与与CG所成的角？所成的角？(2)FO与与BD所成的角？所成的角？解解:(1)如图如图:BF CG，EBF(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线BE与与CG

23、所成的角，所成的角，又又 BEF中中 EBF=45 ，所以所以BE与与CG所成的角是所成的角是45ooO连接连接HA、AF，依题意知依题意知O为为AH中点中点,HFO=30o(2)连接连接FH，所以所以FO与与BD所成的夹角是所成的夹角是30o四边形四边形BFHD为平行四边形，为平行四边形，HF BD HFO(或其补角或其补角)为异面直线为异面直线FO与与BD所成的角所成的角 HDEA，EAFB HDFB=则则AH=HF=FA AFH为等边为等边 如图如图,已知长方体已知长方体ABCD-EFGH中中,AB=,AD=,AE=2(1)求求BC和和EG所成的角是多少度所成的角是多少度?(2)求求AE

24、和和BG所成的角是多少度所成的角是多少度?解答：解答：(1)GF BCEGF（或其补角）为所求（或其补角）为所求.Rt EFG中，求得中，求得 EGF=45o(2)BF AEFBG（或其补角）为所求（或其补角）为所求,Rt BFG中，求得中，求得 FBG=60o课堂练习课堂练习2ABGFHEDC2不同在不同在 任何任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义异面直线的定义:相交直线相交直线 平行直线平行直线异面直线异面直线空间两直线的位置关系空间两直线的位置关系课堂小结课堂小结公理：公理：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行异面直线的求法异面直线的求法:一作一作(找找)二证三求二证三求空间中，如果两个角的两边分别对应平行，空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补等角定理：等角定理：异面直线的画法异面直线的画法用平面来衬托用平面来衬托异面直线所成的角异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角作业：名师一号名师一号再见！再见！