流体力学习题讲解--周晓斯--1到3章

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1、流体力学习题讲解流体力学习题讲解-周晓周晓斯斯-1-1到到3 3章章 XIANJIAOTONGUNIVERSITY1-4 1-4 粘性系数粘性系数 的流体流过两平行平板的间隙，间的流体流过两平行平板的间隙，间隙宽隙宽 ，流体在间隙内的速度分布为，流体在间隙内的速度分布为 ，其中，其中c c为待定系数，为待定系数，y y为垂直于平板的坐标。为垂直于平板的坐标。设最大速度设最大速度 试求最大速度在间隙中的位置及平试求最大速度在间隙中的位置及平板壁面的切应力。板壁面的切应力。uu第一章第一章第一章第一章 XIANJIAOTONGUNIVERSITY解：解：解：解：（1 1 1 1）最大速度在间隙中的

2、位置最大速度在间隙中的位置最大速度在间隙中的位置最大速度在间隙中的位置当当当当 XIANJIAOTONGUNIVERSITY（2 2 2 2）平板壁面的切应力）平板壁面的切应力）平板壁面的切应力）平板壁面的切应力建立坐标系建立坐标系分析速度变化规律分析速度变化规律切应力公式切应力公式 XIANJIAOTONGUNIVERSITY XIANJIAOTONGUNIVERSITY代入已知数据：代入已知数据：代入已知数据：代入已知数据：边壁上边壁上边壁上边壁上 y=0 y=0 y=0 y=0u另：上壁另：上壁另：上壁另：上壁 XIANJIAOTONGUNIVERSITYuu第二章第二章第二章第二章2-

3、32-3 计算大洋深处压强时需计及海水的可压缩性。计算大洋深处压强时需计及海水的可压缩性。（1 1）假设海水的体积弹性模量）假设海水的体积弹性模量 为常数，试推导压强和深度间为常数，试推导压强和深度间的关系（考虑海水密度随深度的变化）。的关系（考虑海水密度随深度的变化）。（2 2）设海水）设海水 ，在洋面，在洋面 ，试计算，试计算6km6km深处的静压强。如假设海水密度为常数深处的静压强。如假设海水密度为常数 ，则，则6km6km处压强又为多少？处压强又为多少？XIANJIAOTONGUNIVERSITY解：（解：（解：（解：（1 1 1 1）设水面处压强为设水面处压强为设水面处压强为设水面处

4、压强为 ；密度；密度；密度；密度 ；水底水底水底水底h h h h米处，压强为米处，压强为米处，压强为米处，压强为 ；密度为；密度为；密度为；密度为 ；XIANJIAOTONGUNIVERSITY XIANJIAOTONGUNIVERSITY（2 2 2 2）密度是随深度变化的密度是随深度变化的密度是随深度变化的密度是随深度变化的密度为常数密度为常数密度为常数密度为常数 XIANJIAOTONGUNIVERSITY疑问解疑问解疑问解疑问解答答答答目的是为了建立深度目的是为了建立深度目的是为了建立深度目的是为了建立深度h h与压强与压强与压强与压强p p之间的关系！之间的关系！之间的关系！之间的

5、关系！体积弹性模量体积弹性模量体积弹性模量体积弹性模量：0h依照建立的坐标系来定：依照建立的坐标系来定：依照建立的坐标系来定：依照建立的坐标系来定：密度和体积的关系：密度和体积的关系：密度和体积的关系：密度和体积的关系：海水密度随深度的变化海水密度随深度的变化 XIANJIAOTONGUNIVERSITY有的采用以下近似公式分析：有的采用以下近似公式分析：有的采用以下近似公式分析：有的采用以下近似公式分析：注意：该公式只是在注意：该公式只是在注意：该公式只是在注意：该公式只是在压强不是很高压强不是很高压强不是很高压强不是很高的情况下，压强增量与体的情况下，压强增量与体的情况下，压强增量与体的情

6、况下，压强增量与体积改变量之间的关系，仅仅只是积改变量之间的关系，仅仅只是积改变量之间的关系，仅仅只是积改变量之间的关系，仅仅只是数量上数量上数量上数量上的关系，并不能代表的关系，并不能代表的关系，并不能代表的关系，并不能代表任何情况下压强与体积之间的任何情况下压强与体积之间的任何情况下压强与体积之间的任何情况下压强与体积之间的实质变化实质变化实质变化实质变化关系！关系！关系！关系！即，例如：缩小体积：即，例如：缩小体积：即，例如：缩小体积：即，例如：缩小体积：，需要压强：，需要压强：，需要压强：，需要压强：代表其变化关系只能采用：代表其变化关系只能采用：代表其变化关系只能采用：代表其变化关系

7、只能采用：从微观角从微观角度分析推度分析推导导 XIANJIAOTONGUNIVERSITY2-14 2-14 如题如题2-142-14图所示，一图所示，一端有铰链的倾斜闸门，其宽端有铰链的倾斜闸门，其宽度度b=1.5mb=1.5m，闸门与水平面的，闸门与水平面的交角为交角为 ，池中水，池中水深深 ，水面到铰链，水面到铰链轴的距离轴的距离 ，求提，求提起闸门所需要的力起闸门所需要的力 ，不，不考虑闸门的重量与铰链的摩考虑闸门的重量与铰链的摩擦阻力。擦阻力。HaQ题题 2-14 2-14图图 XIANJIAOTONGUNIVERSITYHaQoshp解：以闸门与液面的交点为解：以闸门与液面的交点

8、为解：以闸门与液面的交点为解：以闸门与液面的交点为o o点，点，点，点，沿闸门向下方向建立坐标沿闸门向下方向建立坐标沿闸门向下方向建立坐标沿闸门向下方向建立坐标S S，取，取，取，取微元微元微元微元dsds，在面积，在面积，在面积，在面积bdsbds内，液体压内，液体压内，液体压内，液体压力对链轴取矩：力对链轴取矩：力对链轴取矩：力对链轴取矩：故有：故有：故有：故有：XIANJIAOTONGUNIVERSITYQQ对链轴取矩：对链轴取矩：对链轴取矩：对链轴取矩：由力矩平衡，得：由力矩平衡，得：由力矩平衡，得：由力矩平衡，得：联立求解：联立求解：联立求解：联立求解：得：得：得：得：XIANJIA

9、OTONGUNIVERSITY2-21 2-21 一个一个3m3m直径的敞开容直径的敞开容器装满水，容器有一半球的器装满水，容器有一半球的底（如题图底（如题图2-212-21所示）。试所示）。试确定对此曲面底静水压力的确定对此曲面底静水压力的大小，作用线，以及作用方大小，作用线，以及作用方向。向。XIANJIAOTONGUNIVERSITY由液体自重所产生的静压力的大小由液体自重所产生的静压力的大小由液体自重所产生的静压力的大小由液体自重所产生的静压力的大小代入数据得代入数据得代入数据得代入数据得 XIANJIAOTONGUNIVERSITY 对对对对于于于于底底底底盖盖盖盖，由由由由于于于于

10、在在在在水水水水平平平平方方方方向向向向上上上上压压压压强强强强分分分分布布布布对对对对称称称称，所所所所以以以以流流流流体体体体静静静静压压压压强强强强作作作作用用用用在在在在底底底底盖盖盖盖上上上上的的的的总总总总压压压压力力力力的的的的水水水水平平平平分分分分力力力力为为为为零零零零。底底底底盖盖盖盖上上上上总总总总压压压压力力力力的的的的垂垂垂垂直分力即为直分力即为直分力即为直分力即为。XIANJIAOTONGUNIVERSITY一、曲面上的总压力一、曲面上的总压力 水平分力水平分力Px结论结论：作用于曲面上的静水总压力：作用于曲面上的静水总压力P的水平分力的水平分力Px等于作用于该等

11、于作用于该曲面的垂直投影面（矩形平面）上的静水总压力，方向水平指曲面的垂直投影面（矩形平面）上的静水总压力，方向水平指向受力面，作用线通过铅垂面积向受力面，作用线通过铅垂面积Az的压强分布图体积的重心。的压强分布图体积的重心。dPzEFdPxdP(dA)z(dA)xZPxAzBAFEhAxO(y)XIANJIAOTONGUNIVERSITY 垂直分力垂直分力Pz式中：式中：Vp 压力体体积压力体体积结论结论：作用于曲面上的静水总压力：作用于曲面上的静水总压力P的铅垂分力的铅垂分力Pz等于该曲面上等于该曲面上的压力体所包含的液体重量，其作用线通过压力体的重心，方的压力体所包含的液体重量，其作用线

12、通过压力体的重心，方向铅垂指向受力面。向铅垂指向受力面。dPzEFdPxdP(dA)z(dA)xBAPzBAFEhxZO(y)XIANJIAOTONGUNIVERSITY二向二向曲面上的总压力大小曲面上的总压力大小是平面汇交力系的合力是平面汇交力系的合力 总压力作用线与水平面夹角总压力作用线与水平面夹角（方向方向）过过Px作用线（通过作用线（通过AZ压强分布图形心）和压强分布图形心）和Pz作用线（通过作用线（通过压力体的形心）的交点，作与水平面成压力体的形心）的交点，作与水平面成角的直线就是总压角的直线就是总压力作用线，该线与曲面的交点即为力作用线，该线与曲面的交点即为总压力作用点总压力作用点

13、。XIANJIAOTONGUNIVERSITY2-23 2-23 一扇形闸门如图所一扇形闸门如图所示，圆心角示，圆心角=60=60，其，其转轴位于自由面上，试转轴位于自由面上，试确定作用于闸门上的液确定作用于闸门上的液体总压力及该力与水平体总压力及该力与水平面的交角，并求液体总面的交角，并求液体总压力绕闸门转轴的力矩。压力绕闸门转轴的力矩。闸门宽度闸门宽度b=6mb=6m，半径，半径R=2mR=2m。ABhOR XIANJIAOTONGUNIVERSITYABhORZDD解：闸门前水深为：解：闸门前水深为：解：闸门前水深为：解：闸门前水深为：水平分力：水平分力：水平分力：水平分力：铅直分力铅直

14、分力铅直分力铅直分力：(包围在虚压力体体积中的液体重量包围在虚压力体体积中的液体重量包围在虚压力体体积中的液体重量包围在虚压力体体积中的液体重量)XIANJIAOTONGUNIVERSITY液体总压力的大小：液体总压力的大小：液体总压力的大小：液体总压力的大小：总压力与水平方向的夹角：总压力与水平方向的夹角：总压力与水平方向的夹角：总压力与水平方向的夹角：别的解法？别的解法？别的解法？别的解法？XIANJIAOTONGUNIVERSITY有同学这样解：有同学这样解：有同学这样解：有同学这样解：闸门每一处受水的压力都垂直于该处切线，所以有：闸门每一处受水的压力都垂直于该处切线，所以有：闸门每一处

15、受水的压力都垂直于该处切线，所以有：闸门每一处受水的压力都垂直于该处切线，所以有：在在在在x x方向：方向：方向：方向：在在在在z z方向：方向：方向：方向：XIANJIAOTONGUNIVERSITY2-28 2-28 如题如题2-282-28图所示，图所示，用用U U形管测量汽车加速度，形管测量汽车加速度，已知已知 ，当汽，当汽车加速行驶时，测得车加速行驶时，测得 ，求汽车的加速度，求汽车的加速度a a。题题 2-28 2-28图图hla XIANJIAOTONGUNIVERSITY解：根据压强差平衡微分方程式：解：根据压强差平衡微分方程式：解：根据压强差平衡微分方程式：解：根据压强差平衡

16、微分方程式：单位质量力：单位质量力：单位质量力：单位质量力：在液面上为大气压强：在液面上为大气压强：在液面上为大气压强：在液面上为大气压强：有：有：有：有：hlaxz又：又：又：又：别的解法？别的解法？XIANJIAOTONGUNIVERSITY题题2-28 2-28 另解：另解：参照右图所示建立坐标系。根据流参照右图所示建立坐标系。根据流参照右图所示建立坐标系。根据流参照右图所示建立坐标系。根据流体静力学基本方程式，有：体静力学基本方程式，有：体静力学基本方程式，有：体静力学基本方程式，有：其中：其中：其中：其中：XIANJIAOTONGUNIVERSITY等压面有：等压面有：等压面有：等压

17、面有：积分后得到：积分后得到：积分后得到：积分后得到：当：当：当：当：所以有：所以有：所以有：所以有：把把把把代入，得到：代入，得到：代入，得到：代入，得到：XIANJIAOTONGUNIVERSITY题题2-28 2-28 又解：又解：如右图所示，作用力与等压如右图所示，作用力与等压如右图所示，作用力与等压如右图所示，作用力与等压面相垂直，所以有：面相垂直，所以有：面相垂直，所以有：面相垂直，所以有：XIANJIAOTONGUNIVERSITY2-29 2-29 如题如题2-292-29图所示，一圆柱图所示，一圆柱形容器，其顶盖中心装有一敞形容器，其顶盖中心装有一敞口的测压管，容器装满水，测

18、口的测压管，容器装满水，测压管中的水面比顶盖高压管中的水面比顶盖高h,h,容器容器直径为直径为D,D,当它绕自身轴以角速当它绕自身轴以角速度度 旋转时，顶盖受液体向旋转时，顶盖受液体向上的作用力有多大？上的作用力有多大？zx XIANJIAOTONGUNIVERSITY建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系zx XIANJIAOTONGUNIVERSITY顶盖受到的向上的压力为顶盖受到的向上的压力为顶盖受到的向上的压力为顶盖受到的向上的压力为:zx XIANJIAOTONGUNIVERSITY题题2-29 2-29 另解：另解：z zr rD Dh h

19、 XIANJIAOTONGUNIVERSITYz zr rP P XIANJIAOTONGUNIVERSITYuu第三章第三章第三章第三章3-17 3-17 以拉格朗日变数（以拉格朗日变数（a,b,ca,b,c）给出流场）给出流场式中式中k k为非零常数，请判断：为非零常数，请判断：（1 1）速度场速度场是否定常；是否定常；（2 2）流场是否可压缩；）流场是否可压缩；（3 3）是否有旋流场。）是否有旋流场。XIANJIAOTONGUNIVERSITY解解解解：（1 1）如果如果如果如果流场内每一点的物理量流场内每一点的物理量流场内每一点的物理量流场内每一点的物理量都不随时间都不随时间都不随时间

20、都不随时间tt而变化，而变化，而变化，而变化，则称定常场：则称定常场：则称定常场：则称定常场：速度速度速度速度不显含不显含不显含不显含时间时间时间时间 XIANJIAOTONGUNIVERSITY采用拉格朗日法，以采用拉格朗日法，以采用拉格朗日法，以采用拉格朗日法，以x x方向为例，方向为例，方向为例，方向为例，aa为变量为变量为变量为变量,k,k为常量；设取为常量；设取为常量；设取为常量；设取k=2k=2；做做做做x x与与与与t t的变化曲线，则可以看出，对应不同的的变化曲线，则可以看出，对应不同的的变化曲线，则可以看出，对应不同的的变化曲线，则可以看出，对应不同的a a，有不同的曲线，有

21、不同的曲线，有不同的曲线，有不同的曲线形式，并且形式，并且形式，并且形式，并且x x是随着是随着是随着是随着t t而变化的，但而变化的，但而变化的，但而变化的，但x x不是流场的物理量，只是空不是流场的物理量，只是空不是流场的物理量，只是空不是流场的物理量，只是空间位置！间位置！间位置！间位置！XIANJIAOTONGUNIVERSITY流场中每一点的物理量都不随时间流场中每一点的物理量都不随时间流场中每一点的物理量都不随时间流场中每一点的物理量都不随时间t t而变化，则称为定常场，对而变化，则称为定常场，对而变化，则称为定常场，对而变化，则称为定常场，对于速度场，这里只与空间坐标于速度场，这

22、里只与空间坐标于速度场，这里只与空间坐标于速度场，这里只与空间坐标x x有关，所以有关，所以有关，所以有关，所以速度场定常速度场定常速度场定常速度场定常！有的解答答案说：有的解答答案说：有的解答答案说：有的解答答案说：速度不是时间的速度不是时间的速度不是时间的速度不是时间的显显显显函数函数函数函数，所以速度场定常，所以速度场定常，所以速度场定常，所以速度场定常，怎么理解？怎么理解？怎么理解？怎么理解？XIANJIAOTONGUNIVERSITY正解：正解：正解：正解：针对场的描述只能是欧拉描述，故不能出现针对场的描述只能是欧拉描述，故不能出现针对场的描述只能是欧拉描述，故不能出现针对场的描述只

23、能是欧拉描述，故不能出现拉格朗日变拉格朗日变拉格朗日变拉格朗日变数（数（数（数（a,b,ca,b,c）！）！）！）！这就是为何要采用：这就是为何要采用：这就是为何要采用：这就是为何要采用：来消去来消去来消去来消去（a,b,ca,b,c）的原因！）的原因！）的原因！）的原因！主要考察主要考察对对基本概念的理解！基本概念的理解！XIANJIAOTONGUNIVERSITY（2 2）根据流体微团总的线变形产生相对体积膨胀率为：）根据流体微团总的线变形产生相对体积膨胀率为：）根据流体微团总的线变形产生相对体积膨胀率为：）根据流体微团总的线变形产生相对体积膨胀率为：XIANJIAOTONGUNIVERS

24、ITY角变形速率：角变形速率：角变形速率：角变形速率：x x轴与轴与轴与轴与y y轴间夹角的变形率为轴间夹角的变形率为轴间夹角的变形率为轴间夹角的变形率为z z轴与轴与轴与轴与x x轴间夹角的变形率为轴间夹角的变形率为轴间夹角的变形率为轴间夹角的变形率为y y轴与轴与轴与轴与z z轴间夹角的变形率为轴间夹角的变形率为轴间夹角的变形率为轴间夹角的变形率为线变形和角变形为零，流体的体积没有变化，由于质量守线变形和角变形为零，流体的体积没有变化，由于质量守线变形和角变形为零，流体的体积没有变化，由于质量守线变形和角变形为零，流体的体积没有变化，由于质量守恒，故密度没有变化，为恒，故密度没有变化，为恒

25、，故密度没有变化，为恒，故密度没有变化，为不可压缩流体。不可压缩流体。不可压缩流体。不可压缩流体。XIANJIAOTONGUNIVERSITY（3 3）根据流体微团的）根据流体微团的）根据流体微团的）根据流体微团的x,y,zx,y,z方向的角速度公式：方向的角速度公式：方向的角速度公式：方向的角速度公式：故流场故流场故流场故流场无旋无旋无旋无旋。XIANJIAOTONGUNIVERSITY3-9 3-9 求下列各流场的流线和迹线。求下列各流场的流线和迹线。（2 2），求通过空间点，求通过空间点 （1,1,11,1,1）的）的一条一条流线；流线；解：流线的微分方程为：解：流线的微分方程为：解：流线的微分方程为：解：流线的微分方程为：令：令：令：令：得：得：得：得：XIANJIAOTONGUNIVERSITY两边积分，换算得到：两边积分，换算得到：两边积分，换算得到：两边积分，换算得到：此时得到无数条流线（不同常数此时得到无数条流线（不同常数此时得到无数条流线（不同常数此时得到无数条流线（不同常数C C），代入条件（），代入条件（），代入条件（），代入条件（1,1,1)1,1,1)，求，求，求，求解得到流线方程：解得到流线方程：解得到流线方程：解得到流线方程：（1 1）和（）和（3 3）问略）问略结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！46