正弦定理、余弦定理应用举例

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1、山东金榜苑文化传媒集团山东金榜苑文化传媒集团步步高大一轮复习讲义步步高大一轮复习讲义正弦定理、余弦定理应用举例正弦定理、余弦定理应用举例主页主页1解斜三角形的常见类型及解法解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的在三角形的6个元素中要已知三个个元素中要已知三个(除三角外除三角外)才能求解，常才能求解，常见类型及其解法如表所示见类型及其解法如表所示.已知条件已知条件应用定理用定理一般解法一般解法一边和两角一边和两角(如如a,B,C)两边和夹角两边和夹角(如如a,C,b)三边三边(a,b,c)两边和其中两边和其中一边的对角一边的对角 (a,b,A)正弦定理余正弦定理余弦定理弦定理余弦定理余弦定理正弦

2、定理正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理由由A+B+C=180,求角求角A,再用正弦再用正弦定理求出定理求出b与与c.用余弦定理求出用余弦定理求出A,B,再由再由A+B+C=180求出角求出角C角角.由余弦定理求第三边由余弦定理求第三边c；由正弦定；由正弦定理求出小边所对的角；再由理求出小边所对的角；再由ABC180求出另一角求出另一角 由正弦定理求出角由正弦定理求出角B;由由ABC180,求出角求出角C;再利用正弦定理或余再利用正弦定理或余弦定理求弦定理求c.可有两解可有两解,一解或无解一解或无解 主页主页 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90

3、的水平角的水平角,叫方向角叫方向角.(2)方向角方向角 目目标标方方向向线线方方向向一一般般可可用用“偏偏”多多少少度度来来表表示示,这这里里第第一一个个“”号号是是“北北”或或“南南”字字,第第二二个个“”号号是是“东东”字字或或“西西”字字.OA的方向角为；的方向角为；OB的方向角为；的方向角为；OC的方向角为；的方向角为；OD的方向角为的方向角为.北偏东北偏东6060北偏西北偏西3030西南方向西南方向南偏东南偏东2020主页主页(4)水平距离、垂直距离、坡面距离水平距离、垂直距离、坡面距离(3)方位角方位角 从正北方向顺时针转到目标方向从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如线的水平

4、角，如B点的方位角为点的方位角为 如图如图BC代表水平距离代表水平距离,AC代表垂直距离代表垂直距离,AB代表坡面代表坡面距离距离.主页主页 如如图图把把坡面的铅直高度坡面的铅直高度h和水平宽度为和水平宽度为l 的的比比叫做叫做坡度坡度(或叫做坡比或叫做坡比),用字母用字母i表示表示,坡度一般写成坡度一般写成h:l的形式的形式.如如i=1:4,(5)坡度、坡角：坡度、坡角：坡面与水平面所成的坡面与水平面所成的二面角二面角的度数叫做的度数叫做坡坡角角,坡角与坡度之间有如下关系：坡角与坡度之间有如下关系：主页主页B题号题号答案答案12345主页主页B主页主页测量距离问题测量距离问题测量距离问题测量

5、距离问题 主页主页测量距离问题测量距离问题测量距离问题测量距离问题 主页主页测量距离问题测量距离问题测量距离问题测量距离问题 这这类类实实际际应应用用题题，实实质质就就是是解解三三角角形形问问题题，一一般般都都离离不不开开正正弦弦定定理理和和余余弦弦定定理理，在在解解题题中中，首首先先要要正正确确地地画画出出符符合合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解 主页主页主页主页【例例2】某某人人在在塔塔的的正正东东沿沿着着南南偏偏西西60的的方方向向前前进进40米米后后，望望见见塔塔在在东东北北方方向向，若若沿沿途途测测得得塔塔顶顶的的最最大大仰

6、仰角为角为30，求塔高，求塔高测量高度问题测量高度问题测量高度问题测量高度问题主页主页测量高度问题测量高度问题测量高度问题测量高度问题 在在测测量量高高度度时时，要要正正确确理理解解仰仰角角、俯俯角角的的概概念念，画画出出准准确确的的示示意意图图，恰恰当当地地选选取取相相关关的的三三角角形形和和正正、余余弦弦定定理理逐逐步步进进行行求解注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识求解注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识【例例2】某某人人在在塔塔的的正正东东沿沿着着南南偏偏西西60的的方方向向前前进进40米米后后,望望见塔在东北方向见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最大仰角为若沿途测得塔顶的最

7、大仰角为30,求塔高求塔高主页主页 (2011广广东东揭揭阳阳一一模模)如如图图,某某人人在在塔塔的的正正东东方方向向上上的的C处处在在与与塔塔垂垂直直的的水水平平面面内内沿沿南南偏偏西西60的的方方向向以以每每小小时时6千千米米的的速速度度步步行行了了1分分钟钟以以后后，在在点点D处处望望见见塔塔的的底底端端B在在东东北北方方向上，已知沿途塔的仰角向上，已知沿途塔的仰角AEB,的最大值为的最大值为60.(1)求求该该人人沿沿南南偏偏西西60的的方方向向走走到到仰仰角角最最大大时时，走走了了几几分钟；分钟；(2)求塔的高求塔的高AB.主页主页主页主页 (2011广广东东揭揭阳阳一一模模)如如图

8、图,某某人人在在塔塔的的正正东东方方向向上上的的C处处在在与与塔塔垂垂直直的的水水平平面面内内沿沿南南偏偏西西60的的方方向向以以每每小小时时6千千米米的的速速度度步步行行了了1分分钟钟以以后后，在在点点D处处望望见见塔塔的的底底端端B在在东东北北方方向上，已知沿途塔的仰角向上，已知沿途塔的仰角AEB,的最大值为的最大值为60.(2)求塔的高求塔的高AB.主页主页正、余弦定理在平面几何中的综合应用正、余弦定理在平面几何中的综合应用正、余弦定理在平面几何中的综合应用正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例【例3】如图所示】如图所示,在梯形在梯形ABCD中中,ADBC,AB5,AC9,BCA30,A

9、DB45,求求BD的长的长主页主页正、余弦定理在平面几何中的综合应用正、余弦定理在平面几何中的综合应用正、余弦定理在平面几何中的综合应用正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例【例3】如图所示】如图所示,在梯形在梯形ABCD中中,ADBC,AB5,AC9,BCA30,ADB45,求求BD的长的长 要要利利用用正正、余余弦弦定定理理解解决决问问题题，需需将将多多边边形形分分割割成成若若干干个个三三角角形形在在分分割割时时，要要注注意意有有利利于于应应用用正正、余余弦弦定定理理主页主页 如如图图所所示示，ACD是是等等边边三三角角形形，ABC是是等等腰腰直直角角三三角角形形，ACB90，BD交交AC

10、于于E，AB2.(1)求求cosCBE的的值值；(2)求求AE.主页主页运用正、余弦定理解决实际应用问题运用正、余弦定理解决实际应用问题 (1)分清已知条件和未知条件分清已知条件和未知条件(待求待求).(2)将问题集中到一个三角形中将问题集中到一个三角形中,如如ABC和和BCD.(3)利用正弦定理或余弦定理求解利用正弦定理或余弦定理求解主页主页运用正、余弦定理解决实际应用问题运用正、余弦定理解决实际应用问题主页主页运用正、余弦定理解决实际应用问题运用正、余弦定理解决实际应用问题主页主页运用正、余弦定理解决实际应用问题运用正、余弦定理解决实际应用问题 解斜三角形应用题的一般步骤为：解斜三角形应用

11、题的一般步骤为：第一步：第一步：分析：分析：理解题意理解题意,分清已知与未知分清已知与未知,画出示意图；画出示意图；第第二二步步：建建模模：根根据据已已知知条条件件与与求求解解目目标标，把把已已知知量量与与 求求解解量量尽尽量量集集中中在在有有关关的的三三角角形形中中，建建立立一一 个个解解斜斜三三角角形的数学模型；形的数学模型；第第三三步步：求求解解：利利用用正正弦弦定定理理或或余余弦弦定定理理有有序序地地解解出出三三角角形，求得数学模型的解；形，求得数学模型的解；第第四四步步：检检验验：检检验验上上述述所所求求的的解解是是否否符符合合实实际际意意义义，从从而得出实际问题的解而得出实际问题的

12、解主页主页方法与技巧方法与技巧 1合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型概念建立三角函数模型 2把生活中的问题化为二维空间解决，即在把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值一个平面上利用三角函数求值 3合理运用换元法、代入法解决实际问题合理运用换元法、代入法解决实际问题主页主页失误与防范失误与防范 在解实际问题时，应正确理解如下角的含义在解实际问题时，应正确理解如下角的含义 1方方向向角角从从指指定定方方向向线线到到目目标标方方向向线线的的水水平角平角 2方方位位角角从从正正北北方方向向线线顺顺时时针针到到目目标标方方

13、向向线的水平角线的水平角 3坡度坡度坡面与水平面的二面角的度数坡面与水平面的二面角的度数 4仰仰角角与与俯俯角角与与目目标标视视线线在在同同一一铅铅直直平平面面内内的的水水平平视视线线和和目目标标视视线线的的夹夹角角，目目标标视视线线在在水水平平视视线线上上方方时时称称为为仰仰角角，目目标标视视线线在在水水平平视视线线下下方方时时称为俯角称为俯角主页主页作业纸作业纸:课时规范训练课时规范训练:P.1-2 预祝各位同学，预祝各位同学，_年高考取得好成绩年高考取得好成绩!主页主页一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题题号题号1234答案答案BCDAA组组专项基础训练题组专项基础训练题组主页主页主

14、页主页三、解答题三、解答题主页主页主页主页一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题题号题号123答案答案ACBB组专项能力提升题组组专项能力提升题组主页主页三、解答题三、解答题9.如如图图所所示示，海海中中小小岛岛A周周围围38海海里里内内有有暗暗礁礁，船船向向正正南南航航行行，在在B处处测测得得小小岛岛A在在船船的的南南偏偏东东30方方向向,航航行行30海海里里后后，在在C处处测测得得小小岛岛A在在船船的的南南偏偏东东45方方向向，如如果果此此船船不不改改变变航航向向，继继续续向南航行向南航行,有无触礁的危险？有无触礁的危险？主页主页 解解题题是是一一种种实实践践性性技技能能,就就象象游游泳

15、泳、滑滑雪雪、弹弹钢钢琴琴一一样样，只只能能通通过过模模仿仿和和实实践来学到它！践来学到它！波利亚波利亚主页主页任意角的三角函数任意角的三角函数任意角三角函数定义任意角三角函数定义同角三角函数的关系同角三角函数的关系诱导公式诱导公式和差化积，积化和差和差化积，积化和差二倍角公式二倍角公式三角函数线三角函数线平方关系、商式关系平方关系、商式关系奇变偶不变符号看象限任意角任意角正角、负角、零角正角、负角、零角象限角、轴线角象限角、轴线角终边相同的角终边相同的角任意角与弧度制；任意角与弧度制；单位圆单位圆弧度制弧度制定义定义1弧度的角弧度的角正弦函数正弦函数y=sinx三角函数的图象三角函数的图象余

16、弦函数余弦函数y=cosx正切函数正切函数y=tanx图象：图象：描点法(五点法)、图象变换法性质：定义域、值域、对称轴、对称中心 单调性、奇偶性、周期性、对称性图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；图象也可以用五点作图法；图象也可以用五点作图法；用整体代换求单调区间（注意用整体代换求单调区间（注意 的符号）；的符号）；最小正周期最小正周期 ；对称轴对称轴 ,对称中心为对称中心为三三角角函函数数三角函数模型的简三角函数模型的简单应用单应用建筑学、航海、天文建筑学、航海、天文物理学等

17、物理学等角度与弧度互化；特殊角的弧度数；弧长公式、扇形面积公式主页主页 1运运用用正正、余余弦弦定定理理处处理理实实际际测测量量中中的的距距离离、高高度度、角角度度等等问问题题，实实质质是是数数学学知知识识在在生生活活中中的的应应用用，要要解解决决好好，就就要要把把握握如如何何把把实实际际问问题题数数学学化化，也也就就是是一个抽象、概括的问题，即建立数学模型一个抽象、概括的问题，即建立数学模型 (2)一般步骤：一般步骤：分析：分析：建模：建模：求解：求解：检验：检验：忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点主页主页例例1.(2010福福建建高高考考)某某港港口口O要要将将一一件件重重要要物物品

18、品用用小小艇艇送送到到一一艘艘正正在在航航行行的的轮轮船船上上在在小小艇艇出出发发时时，轮轮船船位位于于港港口口O北北偏偏西西30且且与与该该港港口口相相距距20海海里里的的A处处，并并正正以以30海海里里/小小时时的的航航行行速速度度沿沿正正东东方方向向匀匀速速行行驶驶假假设设该该小小艇艇沿沿直直线线方方向向以以v海海里里/小小时时的的航航行行速速度度匀匀速行驶，经过速行驶，经过t小时与轮船相遇小时与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到假设小艇的最高航行

19、速度只能达到30海里海里/小小时时,试设计航行方案试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大即确定航行方向和航行速度的大小小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由并说明理由.主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页解解:如图如图,设在时刻设在时刻 t(小时小时)台风中心为台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t60(千米千米)主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页主页1.地地平平面面上上一一旗旗杆杆OP，为为测测得得它它的的高高度度h，在在地地平平面面上上取取一一基基线线AB，AB200m，在在A处处测测得得P点点的的仰仰角角为为OAP30，在在B处处测测得得P点点的的仰仰角角OBP45，又又测测得得AOB60，则旗杆的高，则旗杆的高h_(精确到精确到0.1m)如图如图OPh，OAP30,OBP45,AOB60,AB200m,在在AOP中，中，AOP90，AOOPcot30h,同理在同理在BOP中得中得OBh，在在OAB中，由余弦定理得中，由余弦定理得,AB2OA2OB22OAOBcosAOB，20023h2h22h2cos60,132.8 主页主页D主页主页B主页主页A主页主页