一函数二函数的极限三函数的连续课件

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1、n一一 函数函数n二二 函数的极限函数的极限n三三 函数的连续性函数的连续性1.1.1 常量与变量常量与变量 常量：在某一变化过程中不变化，保持一定的数值的常量：在某一变化过程中不变化，保持一定的数值的 量叫做常量。量叫做常量。变量：在某一变化过程中变化，可以取不同的数值的变量：在某一变化过程中变化，可以取不同的数值的 量叫做变量。量叫做变量。常量与变量的划分是相对的。常量与变量的划分是相对的。定义定义1：设：设x 和和 y 为同一过程两个变量为同一过程两个变量，若对非空数集，若对非空数集D 中任一中任一x（记为（记为 ），在数集，在数集M中存在中存在 y （记为（记为 ）按一定的法则）按一定

2、的法则 f 有有 唯一确定的唯一确定的 值与之对应，则称值与之对应，则称 f 是定义在是定义在D上的上的函数函数。记作记作 y=f y=f(x x)数集数集D称为该函数称为该函数 的的定义域定义域，x 叫做叫做自变量，自变量，y 叫做叫做因变量。因变量。自变量取自变量取 时的函数值时的函数值 记成记成 、或或 1.1.2 函数的概念函数的概念全体函数值的集合全体函数值的集合 称为函数的值域。称为函数的值域。函数的两个要素函数的两个要素 函数的函数的对应法则对应法则对应法则对应法则和和定义域定义域定义域定义域称为函数的两个要素称为函数的两个要素.（）对应法则）对应法则 分段函数：在定义域的不同部

3、分内用不同的解析式分段函数：在定义域的不同部分内用不同的解析式 表示的函数，称为分段函数。表示的函数，称为分段函数。分段函数分段函数符号函数符号函数1.1.3 函数的表示方法函数的表示方法 （1）解析法：用数学公式或方程来表示变量间的函数关系。）解析法：用数学公式或方程来表示变量间的函数关系。（2）列表法：把一系列自变量的值及其对应的函数）列表法：把一系列自变量的值及其对应的函数 值列成一个表格来表示函数关系。值列成一个表格来表示函数关系。（3）图象法：用坐标平面内的图形（一般是曲线）表示）图象法：用坐标平面内的图形（一般是曲线）表示 变量间的函数关系。变量间的函数关系。板蓝根注射液含量破坏百

4、分比与保温时间的关系板蓝根注射液含量破坏百分比与保温时间的关系18.1818.1815.4515.4512.2712.274.554.55含量被破坏百含量被破坏百含量被破坏百含量被破坏百分比分比分比分比 y y 128128 9696 6464 3232保温时间保温时间保温时间保温时间x x(h h)1.1.4 几种特殊的函数性质几种特殊的函数性质（1）奇偶性）奇偶性 设函数设函数 f(x)的的定义域为定义域为对称区间对称区间（-L,L）（）（也可以也可以 是是-L,L,（，），），如果对于定义域的任如果对于定义域的任 一一 x 都满足都满足f(x)=f(x)（f(x)=f(x)），），则称函

5、数则称函数 f(x)为奇函数（或偶函数）。为奇函数（或偶函数）。（2）单调性）单调性 若函数若函数 f(x)在区间在区间 I 上有定义，如果对于区间上有定义，如果对于区间 I 上上 任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，有时，有 ，则称函数，则称函数 f(x)在区间在区间 I 上单调增加（单调递减）。上单调增加（单调递减）。单调递增或单调递减函数统称为单调函数。单调递增或单调递减函数统称为单调函数。（3）有界性）有界性 设函数设函数 y=f(x)定义在区间定义在区间(a，b)上，若存在上，若存在 一个常一个常 数数 k，使得当使得当 x (a，b)时，恒有时，恒有 成立，则称成立，则称f(x)

6、在在(a，b)有上界（下界）。有上界（下界）。若若 f(x)在在(a，b)既有上界又有下界，既有上界又有下界，则称则称f(x)在在(a，b)上有界。上有界。如果函数如果函数 f(x)在在其定义域内有界，则称其定义域内有界，则称f(x)为为有界函数。有界函数。（4）函数的周期性）函数的周期性 设有函数设有函数 f(x)，如果存在一个不为零的数如果存在一个不为零的数 T，使得对于定义域的任一实数使得对于定义域的任一实数 x，都有都有 f(x+T)=f(x)则称则称 f(x)周期函数，周期函数，T 为函数的周期。为函数的周期。1.1.5 反函数反函数 设函数设函数 y=f(x)的定义域为的定义域为

7、D，值域为值域为 M。如对于任意的如对于任意的 y M，有有x D，使得使得f(x)=y，则变量则变量 x 是变量是变量 y 的函数，其对应规则记作的函数，其对应规则记作 。这个定义在这个定义在 M 上的函数上的函数 ，称它为函数，称它为函数 y=f(x)的反函数，而的反函数，而 y=f(x)称为直接函数。称为直接函数。函数表达式函数表达式 反三角函数反三角函数反三角函数反三角函数 三角函数三角函数三角函数三角函数 对数函数对数函数对数函数对数函数 指数函数指数函数指数函数指数函数 幂函数幂函数幂函数幂函数 常数函数常数函数常数函数常数函数 函数名称函数名称函数名称函数名称1.2.1 1.2.

8、1 基本初等函数基本初等函数 这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、图形必须熟悉图形必须熟悉 1.2.2 1.2.2 复合函数复合函数 两个函数两个函数 f 与与 g 构成复合函数的关键在于内函构成复合函数的关键在于内函数的值域要包含在外函数的定义域中。数的值域要包含在外函数的定义域中。例例2 2 分析下列复合函数的结构：分析下列复合函数的结构：三、初等函数三、初等函数若数列若数列及常数及常数 a 有下列关系有下列关系:当当 n N 时时,总有总有记作记作此时也称数列收敛此时也称数列收敛,否则称数列发散否则称数列发散.几何解释几何解释:即即

9、或或则称该数列则称该数列的极限为的极限为 a,1.3.1 数列的极限数列的极限邻域邻域OK!OK!N N找找到了！到了！nN目的：NO,NO,有些有些点在点在条形条形域外域外面！面！Ne 越来越小，N越来越大！例如例如例如例如,趋势不定趋势不定收收 敛敛发发 散散目标不惟一！例例例例1.1.已知已知已知已知证明数列证明数列的极限为的极限为1.证证:欲使欲使即即只要只要因此因此,取取则当则当时时,就有就有故故例例例例2.2.设设设设证明等比数列证明等比数列证证:欲使欲使只要只要即即亦即亦即因此因此,取取,则当则当 n N 时时,就有就有故故的极限为的极限为 0.一、自变量趋于有限值时函数的极限一

10、、自变量趋于有限值时函数的极限自变量变化过程的六种形式自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节本节内容内容:1.3.2 函数的极限 1.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限定义定义2.设函数设函数大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义,若若则称常数则称常数时的时的极限极限,几何解释几何解释:记作记作直线直线 y=A 为曲线为曲线的水平渐近线的水平渐近线A 为函数为函数这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点演示表

11、明：在直线上无论x是趋于 ，还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点顶点！例例例例 证明证明证明证明证证:取取因此因此注注:就有就有故故欲使欲使即即直线直线 y=A 仍是曲线仍是曲线 y=f(x)的渐近线的渐近线.两种特殊情况两种特殊情况两种特殊情况两种特殊情况 :当当时时,有有当当时时,有有几何意义几何意义:例如，例如，都有水平渐近线都有水平渐近线都有水平渐近线都有水平渐近线又如，又如，2.自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限1.时时函数极限的定义函数极限的定义引例引例.测量正方形面积测量正方形面积.面积为面积为A)边长为边长为(

12、真值真值:边长边长面积面积直接观测值直接观测值间接观测值间接观测值任给精度任给精度 ,要求要求确定直接观测值精度确定直接观测值精度 :定义定义1.设函数设函数在点在点的某去心的某去心邻域内有定义邻域内有定义,当当时时,有有则称常数则称常数 A 为函数为函数当当时的时的极限极限,或或即即当当时时,有有若若记作记作几何解释几何解释:极限存在极限存在函数局部有界函数局部有界这这表明表明:目的：对任意的e0,要找d0，使得0|x-x0|d 时，有|f(x)-A|e.即 A-e f(x)0,要找d0，使得0|x-x0|d时，有|f(x)-A|e.即 A-e f(x)0,一切满足不等式一切满足不等式的的

13、x,总有总有则称则称函数函数当当时为时为无穷大无穷大,使对使对若在定义中将若在定义中将 式改为式改为则则记作记作(正数正数 X),记作记作总存在总存在注意注意注意注意:1.无穷大不是很大的数无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大函数为无穷大,必定无界必定无界.但反之不真但反之不真!例如例如,函数函数当当但但所以所以时时,不是无穷大不是无穷大!三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理2.在自变量的同一变化过程中,说明:无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1.有限个

14、无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小.说明说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，例如，有限个无穷小之差仍为无穷小有限个无穷小之差仍为无穷小.定理定理定理定理2.2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小.例例例例.求求求求解解:利用定理利用定理 2 可知可知说明说明:y=0 是是的的渐近线渐近线.第一章第一章 都是无穷小都是无穷小,

15、引例引例.但但 可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的.无穷小的比较定义定义定义定义.若若则则称称 是比是比 高阶的无穷小高阶的无穷小,若若若若若若若若或或设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则则称称 是比是比 低阶的无穷小低阶的无穷小;则则称称 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小;则则称称 是关于是关于 的的 k 阶无穷小阶无穷小;则称则称 是是 的的等价无穷小等价无穷小,记作记作1.4.1 函数的极限运算法则则有定理 1.（1）若（2 2）若若若若则有则有说明说明:可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函数相乘的情形.推论推论

16、1.(C 为常数为常数)推论推论 2.(n 为正整数为正整数)（3 3）若若若若且且 B0,则有则有例例1这是因为分子、分母都包含着在这是因为分子、分母都包含着在 x=2时为零的因子时为零的因子 x2。此时为求极限应设法先消去零因子，然后求。此时为求极限应设法先消去零因子，然后求极限。极限。解解 原式原式=例例2 求求注注 此题中若将此题中若将 x=2代入分子、分母，则得到代入分子、分母，则得到无意义的式子无意义的式子 ，例例3 解解 当当 时，时，的分母都趋于零，原的分母都趋于零，原式式 出现出现“”的形式，两项均不的形式，两项均不存在极限，故不能直接使用极限运算法则，此时需先通分，存在极限

17、，故不能直接使用极限运算法则，此时需先通分，变换一下形式。变换一下形式。原式原式=（消去零因子）（消去零因子）解解 原式原式=解解 当当 时，分母极限为时，分母极限为0，不能直接使用，不能直接使用极限运算法则，若将分子有理化极限运算法则，若将分子有理化例例4 求求例例例例5.5.求求求求解解:x=1 时时分母分母=0,分子分子0,但因但因例例例例6.6.求求求求解解:时时,分子分子分子分母同除以分子分母同除以则则分母分母“抓大头抓大头”原式原式一般有如下结果：一般有如下结果：一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数为非负常数)例例例例7.7.求求求求解解 原原式式=思考及练习思考及练习1.是

18、否存在是否存在?为什么为什么?答答:不存在不存在.否则由否则由利用极限四则运算法则可知利用极限四则运算法则可知存在存在,与与已知条件已知条件矛盾矛盾.解解:原式原式2.问问1.1.函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则且且1.4.3 两个重要极限2.2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限圆扇形圆扇形AOB的面积的面积二、二、两个重要极限两个重要极限 证证:当当即即亦即亦即时，时，显然有显然有AOB 的面积的面积AOD的面积的面积故有故有注注例例例例1.1.求求求求解解:例例2.2.求求解:原式=2.

19、2.例例例例1.1.求求求求解：原式解：原式两个重要极限两个重要极限或注:代表相同的表达式思考与练习填空题 (14)二、二、函数的间断点函数的间断点 一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义 第一章第一章 对自变量的增量对自变量的增量对自变量的增量对自变量的增量有函数的增量有函数的增量可见可见,函数函数在点在点一、一、函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:在在的的某邻域内有定义某邻域内有定义,则称则称函数函数(1)在点在点即即(2)极限极限(3)设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在;且且有定义有定义,存在存在;若若在在某区间上每一点都连续某区间上每一点都连续,则称

20、它在该则称它在该区间上区间上连续连续,或称它为该或称它为该区间上的连续函数区间上的连续函数.对自变量的增量对自变量的增量对自变量的增量对自变量的增量有函数的增量有函数的增量左连续左连续右连续右连续当当时时,有有函数函数在点在点连续有下列等价命题连续有下列等价命题:在其在其定义域内连续定义域内连续定理定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和在某点连续的有限个函数经有限次和,差差,积积,(利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明)商商(分母不为分母不为 0)运算运算,结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数.例如例如,1.5.3 初等函数的连续性定理定理定理定理2.2.

21、连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的连续函数的复合函数是连续的.证证:设函数设函数于是于是故故复合函数复合函数且且即即初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在定义区间内在定义区间内连续连续例如例如,的的连续区间为连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)例例例例1.1.求求求求解解:原式原式在x0有定义1.在x0附近定义;2.极限存在1.在x0 及其附近定义;2.极限存在第一类间断点第二类

22、间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点震荡间断点震荡间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点无定义无定义、值太高值太高、值太低值太低跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点震荡间断点震荡间断点哎呀哎呀,不好不好!有个有个洞洞,还没有还没有支撑支撑，我掉下去了我掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.哎呀哎呀,不好不好!有个有个洞洞,还没有还没有支撑支撑，我掉下去了我掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！哎呀哎呀,太高太高了了!够够不着，又有个不着，又有个洞洞,我还是掉下去了我还是掉

23、下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！哎呀哎呀,太低太低了了!跳跳不上去，唉，只不上去，唉，只能在下面呆着了能在下面呆着了!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！哎呀哎呀,前不着村，后不前不着村，后不着店的，就是能单边着店的，就是能单边撑着，也靠不住啊，撑着，也靠不住啊，我还是掉下去了我还是掉下去了!注意到：这种间断点称为跳跃间断点.这点放哪儿能接上呢？哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间断点称为无穷间断点：Hi,小红点，你能不能停住？我

24、怎么也停不住，那可怎么连上啊？：Hi,小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！这种间断点称为震荡间断点。一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 1.5.4 闭区间上连续函数的性质 第一章 一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数即即:设设则则使使值和最小值值和最小值.在该区间上一定有最大在该区间上一定有最大(证明略证明略)例如例如,无无最大值和最小值最大值和最小值 推论推论推论推论.由由定理定理 1 可知有可知有证证:设设上上有界有界.二、介值定理二、介值定理定理定理2.(零点定理零点定理)至少有一点至少有一点且且使使(证明略证明

25、略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界在闭区间上连续的函数在该区间上有界.定理定理定理定理3.(3.(介值定理介值定理介值定理介值定理 )设设 且且则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C,一点一点使使至少有至少有有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.3.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质例3.设函数在 x=0 连续,则 a=,b=.提示:1当时，较(A)等价无穷小量 (B)同阶无穷小量(B)(C)低阶无穷小量 (D)高阶无穷小量是 （）课堂测验课堂测验2下列各式中正确的是 （）B C D A3无穷小量是（）A 比零稍大一点的一个数 B 一个很小很小的数C 以零为极限的一个变量 D 数零4.已知已知，则a=_。5.计算算