算符对易关系ppt课件

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1、3.7 力学量算符之间的对易关系力学量算符之间的对易关系讨论微观态讨论微观态 中某一力学量中某一力学量 时，总是以时，总是以 的本征值谱作的本征值谱作为力学量为力学量 的可能值。若我们同时观测状态的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同中的一组不同力学量力学量 ，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题。这个问题。主要内容有：主要内容有：一个关系：力学量算符之间的对易关系一个关系：力学量算符之间的对易关系 三个定理三个定理:3.7 力学量算符之间的对易关系讨论微观态 中某一力1算符之积算符之积若若()=()=则=其中其中是任意波函数。是任意波函数

2、。一般来一般来说算符之算符之积不不满足足 交交换律，律，即即 这是算符与通常数运算是算符与通常数运算 规则的的唯一不同之唯一不同之处。算符之积若()=()=一般2对易关系对易关系若若 ，则称称 与与 不不对易易。由于所以(3.7-1)对易关系若 ，则称 与 不对易。由于所以3为了运算上的方便，引入量子括号为了运算上的方便，引入量子括号上式可写为(3.7-2)同理可得(3.7-3)(3.7-4)为了运算上的方便，引入量子括号上式可写为(3.7-2)同理可4 不不难证明明对易括号易括号满足如下足如下对易关系：易关系：1),=-,2),+=,+,3),=,+,4),+,+,=0 上面的第四式称上面的

3、第四式称为 Jacobi 恒等式。恒等式。不难证明对易括号满足如下对易关系：5 证明明 3),=,+,利用则,-证明 3),=,+6(3.7-5)角动量算符的对易关系(3.7-5)角动量算符的对易关系7同理可得同理可得 写成矢量写成矢量(3.7-6)(3.7-7)同理可得 写成矢量(3.7-6)(3.7-7)8同理可得同理可得(3.7-8)同理可得(3.7-8)9定理：若两个力学量算符有一组共同完备定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。的本征函数系，则二算符对易。证：证：由于由于 n n 组成完备系，所以任意态函数组成完备系，所以任意态函数 (x)(x)可以按其展开：

4、可以按其展开：定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符10则则因为因为 (x)(x)是是任意函数任意函数则因为(x)是任意函数11两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件体系处于任意状态体系处于任意状态体系处于任意状态体系处于任意状态 （x x x x）时，力学量）时，力学量）时，力学量）时，力学量 F F F F 一般一般一般一般没有确定值。没有确定值。没有确定值。没有确定值。如果力学量如果力学量 F F 有确定值，有确定值，（x x）必为）必为 F F 的本征态，即的本征态，即两力学量同时有确定值的条件体系处于任意状态（x）时，力学12如果有另一个力学量如果有

5、另一个力学量 G G 在在 态中也有确定态中也有确定值，值，则则 必也是必也是 G G 的一个本征态，即的一个本征态，即结论：结论：当在当在 态中测量力学量态中测量力学量 F F 和和 G G 时，时，如果同时具有确定值，那么如果同时具有确定值，那么 必是必是 二力二力学量共同本征函数。学量共同本征函数。如果有另一个力学量 G 在 态中也有确定值，则 13定理：定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。系的充要条件是这组算符两两对易。例例 1 1：例例 2 2：定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算14力学量

6、完全集合（1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。例例 1 1：三维空间中自由粒子，完全确定其三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：状态需要三个两两对易的力学量：例例 2 2：氢原子，完全确定其状态也需氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：要三个两两对易的力学量：例例 3 3：一维谐振子，只需要一个力学一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：量就可完全确定其状态：（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体

7、系自由度数相同。）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。（3 3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。力学量完全集合（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易15测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值；值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。不同时具有确定值。

8、问题：两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？不确定度：测量值 Fn 与平均值 的偏差的大小。测不准关系的严格推导由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有16若(3.7-9)令(3.7-10)若(3.7-9)令(3.7-10)17测不准关系的严格推导设二厄密算符对易关系为：即测不准关系的严格推导设二厄密算符对易关系为：即18算符对易关系ppt课件19由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：将并利用所以由代数二次式理论可知，该不等式成立的条件是系数必须满足下列关20（二

9、）坐标和动量的测不准关系（二）坐标和动量的测不准关系（1 1）测不准关系）测不准关系（二）坐标和动量的测不准关系（1）测不准关系21由测不准关系确定谐振子的零点能振子能量振子能量于是：于是：由于由测不准关系确定谐振子的零点能振子能量于是：由于22二均方偏差不能同时为零，二均方偏差不能同时为零，故故 E E 最小值也不能是零。最小值也不能是零。为求为求 E E 的最小值，的最小值，取式中等号。取式中等号。求极值：求极值：解得：解得：因均方偏差不能小因均方偏差不能小于零，故取正于零，故取正零点能就是测不准关零点能就是测不准关系所要求的最小能量系所要求的最小能量则则二均方偏差不能同时为零，故 E 最

10、小值也不能是零。为求 E 23（三）角动量的测不准关系（三）角动量的测不准关系例例1 1：利用测不准关系证明，在利用测不准关系证明，在 L Lz z 本征态本征态 Y Ylm lm 下，下，L Lx x=L Ly y=0=0证：证：由于由于在在 L Lz z 本征态本征态 Y Ylm lm 中，中，测量力学量测量力学量 L Lz z 有确有确定值，所以定值，所以L Lz z 均方偏差必为零，均方偏差必为零，即即（三）角动量的测不准关系例1：利用测不准关系证明，在 Lz 24则测不准关系：则测不准关系：平均值的平方平均值的平方为非负数为非负数欲保证不等式成立，必有：欲保证不等式成立，必有：同理：

11、同理：例例2 2：L L2 2，L LZ Z 共同本征态共同本征态 Y Ylm lm 下，求测不准关系：下，求测不准关系：解：解：由例由例1 1 可知：可知：则测不准关系：平均值的平方为非负数欲保证不等式成立，必有：同25例题例题4 一维运动的粒子处在一维运动的粒子处在 求求 解：归一化后可得解：归一化后可得 利用利用 有有所以所以 例题4 一维运动的粒子处在所以 26所以所以 满足不确定关系满足不确定关系 所以 满足不确定关系 27例例 在对某一状态进行测量时，同时得到能量在对某一状态进行测量时，同时得到能量 能唯一确定这一状态吗？能唯一确定这一状态吗？解：能。因为三个力学量对易，解：能。因为三个力学量对易，故共同本征态为故共同本征态为 例 在对某一状态进行测量时，同时得到能量28例题例题 求粒子处于求粒子处于 时角动量时角动量 分量和分量和 分量的平均分量的平均 值值 。解：首先应注意，解：首先应注意，是是 的共同本征函数，而的共同本征函数，而 不对易，故不对易，故 不是不是 的本征函数。的本征函数。利用对易关系利用对易关系 ，则，则 例题 求粒子处于 时角动量 分量和 分29同理同理 由于坐标由于坐标 与与 的对称性，可得的对称性，可得 ，故故同理 故30