《二次函数》

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1、 正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为 问 题 ：y=6x2 问 题 1 n个 球 队 参 加 比 赛 ， 每 两 队 之 间 进 行 一 场比 赛 .比 赛 的 场 次 数 m与 球 队 数 n有 什 么 关 系 ？问 题 ： 每个队要与其他（n-1）个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数即 式表示比赛的场次数m与球队数n的关系,对于n的每一个值,m都有一个对应值,即m是n的函数.1 ( 1)2m n n 21 12 2m n n 问 题 2

2、某 种 产 品 现 在 的 年 产 量 是 20 t,计 划 今 后 两 年 增 加 产 量 .如 果 每 年 都 比 上 一 年 的 产 量 增 加 x倍 ,那 么 两 年 后 这 种 产 品 的 产量 y将 随 计 划 所 定 的 x的 值 而 确 定 ,y与 x之 间 的 关 系 应 怎 样 表 示 ？问 题 ： 这种产品的原产量是20 t, 一年后的产量是 t,再经过一年后的产量是 t,即两年后的产量为20(1+x) 20(1+x)2 xy 120 2即xxy 204020 2 式 表 示 了 两 年 后 的 产 量 y与 计 划 增 产的 倍 数 x之 间 的 关 系 ,对 于 x的

3、 每 一 个 值 , y都 有 一 个 对 应 值 ,即 y是 x的 函 数 . 函数有什么共同点? 观 察 y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？y=6x2xxy 204020 2 在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的21 12 2m n n 定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做x的二次函数。（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的（3 ）等式的右边最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项。注意：（2）a,b,c为常数，且（4）x的取值范围是 。整式a0.2任意实数 二次函数的一般形式:yax2bxc (其中a、b、c

4、是常数,a0)二次函数的特殊形式：当b0时， yax2c当c0时， yax2bx当b0，c0时， yax2 例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项. (1) y=3(x-1)+1 (2) y=x+ (3) s=3-2t (4) y=(x+3)-x (5)y= -x (6) v=10 r1x_x1_例题讲解 解: (1) y=3(x-1)+1 =3(x2-2x+1)+1 =3x2-6x+3+1即y=3x2-6x+4是二次函数.二次项系数:一次项系数:常数项: 3-64(2) y=x+ 1x_不是二次函数.(3) s=3-2t是二次函数.二次项系数:一次项系

5、数:常数项: -203 (4) y=(x+3)-x=x2+6x+9-x2即y=6x+9不是二次函数.二次项系数:一次项系数:常数项: 1000不是二次函数.(5)y= -xx1_(6) v=10 r是二次函数. 例2、y=（m+3）x （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？（3） m取什么值时，此函数是二次函数？m2-7解：（）当m27=1且m+30即m= 时是正比例函数。22（）当m27=-1且m+30即m= 时是反比例函数。6（）当m 27=2且m+30即m=3时是二次函数。 例3、圆的半径是1cm，假设半径增加xcm时，圆的面积增加ycm。（1

6、）写出y与x之间的函数关系表达式；（2）当圆的半径分别增加1cm，2cm时，圆的面积增加多少？ 1 .下列函数中，（x是自变量），是二次函数的为( )A.y=ax2+bx+c B.y2=x2-4x+1C.y=x2 D.y=2+ x2+12.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( )A.m,n是常数,且m0 B.m,n是常数,且n0C.m,n是常数,且mn D.m,n为任何实数CC 随 堂 练 习 3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.4. n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式.S=4r

7、2 121 nnm即nnm 2121 2 ？ （ 3） 它 是 正 比 例 函 数（ 2） 它 是 一 次 函 数 ？（ 1） 它 是 二 次 函 数 ？c满 足 什 么 条 件 时b,当 a, c是 常 数 )，b,c(其 中 a,bxax函 数 y 2 0解 ： （ 1） a 0b0,(2)a 想 一 想 0c0,b0,(3)a =x(40-2x)即：=-2x2+40 x当x12m时，菜园的面积为：=-2x2+40 x-2122+4012 192（m2） 在 实 践 中 感 悟 横 看 成 岭 侧 成 峰 ， 远 近 高 低 各 不 同 变 换 角 度 分 析 问 题 若 函 数 y=x2

8、m+n 2xm-n+3是 以 x为 自 变 量 的 二 次 函数 ， 求 m、 n的 值 。 2m+n=2m-n=1 m=1 n=0 2m+n=1m-n=2m=1n=-1 2m+n=2 m-n=2m=4/3n=-2/3 2m+n=2m-n=0 m=2/3n=-4/3 2m+n=0m-n=2m=2/3n=2/3 一次函数y=ax+b (a 0),其中包括正比例函数y=kx(k0), 反比例函数y= (k0) 二次函数y=ax2+bx+c(a0).现在我们学习过的函数有: 可 以 发 现 ,这 些 函 数 的 名 称 都 反 映 了 函 数表 达 式 与 自 变 量 的 关 系 .xk小结 布置作业习题22.1