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1、一阶微分方程的解的存在定理一阶微分方程的解的存在定理一阶微分方程的解的存在定理1存在唯一性定理存在唯一性定理设有初值问题设有初值问题存在唯一性定理设有初值问题2命题命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程构造Picard逐步逼近函数列命题命题2命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程构造Picard3命题命题3命题命题4命题命题5命题3命题4命题54考虑一阶隐方程考虑一阶隐方程则方程(3.5)存在唯一解满足初始条件考虑一阶隐方程则方程(3.5)存在唯一解满足初始条件5近似计算和误差估计近似计算和误差估计求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,这里近似计算和误差估计求方程近似解的方法-Pic
2、ard逐步逼6例例 求初值问题解的存在唯一区间.解例 求初值问题解的存在唯一区间.解7局部李普希茨局部李普希茨(Lipschitz)条件条件局部李普希茨(Lipschitz)条件8解的延拓定理解的延拓定理解的延拓定理9推论1则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.推论2推论1则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.推论210推论3推论311解对初值的连续性定理解对初值的连续性定理条件条件条件条件:在在在在G G内连续且关于内连续且关于内连续且关于内连续且关于 满足局部满足局部满足局部满足局部L L L Lips.ips.ips.ips.条件条件条件条件;方程方程方程方程结论结论结论结论:在它的存在范围
3、内是连续的在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的在它的存在范围内是连续的.,作为作为作为作为 的函数的函数的函数的函数解对初值的连续性定理条件:在G内连续且关于 12解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理解对初值和参数的连续性定理13解对初值的可微性解对初值的可微性解对初值的可微性14例例 解解由公式得例 解由公式得15常微分方程第三章ppt课件16包包络络和和奇解奇解定定义义1：对于给定的一个单参数曲线族：对于给定的一个单参数曲线族：曲线族(3.23)的包包络络是指这样的曲线,它本身不包含在曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条曲线和它在这点相切
4、.包络和奇解定义1：对于给定的一个单参数曲线族：曲线族(3.17包包络络的求法的求法曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程注注:包络的求法曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程注:18奇奇 解解定义定义2 对于一阶微分方程对于一阶微分方程 F(x,y,y)=0.如果存在一如果存在一个解个解,使在它上面的每一点处使在它上面的每一点处,解的唯一性不成立解的唯一性不成立,则称此为方程的奇解则称此为方程的奇解.奇 解定义2 对于一阶微分方程 F(x,y,y)=019奇解的求法奇解的求法方程的奇解包含在由方程组注注:奇解的求法方程的奇解包含在由方程组注:20克莱罗克莱罗(Clairaut)方程方程形
5、如的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程.令得经化简,得克莱罗(Clairaut)方程形如的方程，称为克莱罗(Cla21如果则得到于是,Clairaut方程的通解为:如果它与等式联立,则得到Clairaut方程的以p为参数的解:或其中c为参数.如果则得到于是,Clairaut方程的通解为:如果它与等式22结论结论:Clairaut方程的通解是一直线族,此直线族的包络是Clairaut方程的奇积分曲线,所对应的解是奇解.易验证,此参数曲线恰为通解的包络结论:Clairaut方程的通解是一直线族,此直线族的包络是23重重 点点变量分离方程变量分离方程一阶线性方程与常数变易法一阶线性方程与常数变易法恰当方程与积分因子恰当方程与积分因子一阶方程解的存在唯一性定理一阶方程解的存在唯一性定理解对初值的连续性和可微性定理解对初值的连续性和可微性定理重 点变量分离方程24补充练习补充练习习题习题3.1 10习题习题3.3 1补充练习习题3.1 1025
常微分方程第三章ppt课件
