第七章-数值积分ppt课件

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1、1.正交多项式正交多项式前一次课内容回顾前一次课内容回顾2.最佳平方逼近最佳平方逼近1.正交多项式前一次课内容回顾2.最佳平方逼近1第七章第七章 数值积分数值积分第七章 数值积分2第七章第七章 数值积分数值积分数值积分概述数值积分概述Newton-Cotes求积公式求积公式外推原理与外推原理与Romberg求积公式求积公式Gauss求积公式求积公式第七章 数值积分数值积分概述37.1 数值积分概述数值积分概述求积公式和它的代数精度求积公式和它的代数精度插值型求积公式插值型求积公式7.1 数值积分概述求积公式和它的代数精度4对于积分对于积分但是在工程技术和科学研究中但是在工程技术和科学研究中,常

2、会见到以下现象常会见到以下现象:如果知道如果知道f(x)的原函数的原函数F(x)，则由，则由Newton-Leibniz公式有公式有（1）f(x)的解析式根本不存在的解析式根本不存在,只给出了只给出了f(x)的一些数值的一些数值;（2）f(x)的原函数的原函数F(x)求不出来求不出来,如如F(x)不是初等函数不是初等函数;（3）f(x)的表达式结构复杂的表达式结构复杂,求原函数较困难。求原函数较困难。以上这些现象，以上这些现象，Newton-Leibniz公式很难发挥作用，公式很难发挥作用，只能建立积分的近似计算方法。只能建立积分的近似计算方法。7.1.1 求积公式和它的代数精度求积公式和它的

3、代数精度对于积分但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:如果知5上式称上式称数值求积公式数值求积公式。由定积分的定义由定积分的定义知，定积分是和的极限，若用和式近似，则可表示为知，定积分是和的极限，若用和式近似，则可表示为基本思想：利用积分区间上一些离散点的函数值的线性基本思想：利用积分区间上一些离散点的函数值的线性组合计算定积分的近似值。无需寻求原函数。组合计算定积分的近似值。无需寻求原函数。上式称数值求积公式。由定积分的定义知，定积分是和的极限，若用6 为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义，就要求它对尽可能多的被积函数都

4、准确地成计算意义，就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。因此定义代数精度的概念立。因此定义代数精度的概念:定义定义1.若求积公式若求积公式 则称该求积公式具有则称该求积公式具有m次的代数精度。次的代数精度。代数精度也称代数精度也称代数精确度代数精确度 为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意7使其代数精度尽量高，并指出其代数精度。使其代数精度尽量高，并指出其代数精度。例例设有求积公式设有求积公式试确定系数试确定系数解：解：令公式依次对令公式依次对都精确成立，即都精确成立，即使其代数精度尽量高，并指出其代数精度。例设有求积公式试确定系8故该求积公式应为故该求积公式应为对对有有即对

5、即对也精确成立，也精确成立，但对但对不能精确成立，不能精确成立，因此该求积公式具因此该求积公式具3次代数精度。次代数精度。解得解得故该求积公式应为对有即对也精确成立，但对不能精确成立，因此该9若已知函数若已知函数f(x)在在a,b上一组节点值上一组节点值ax0 x1xnb以及函数值以及函数值 f(x0)，f(x1),f(xn)，构造构造f(x)的的n次次Lagrange插值多项式：插值多项式：7.1.2 插值型求积公式插值型求积公式则则若记若记若已知函数f(x)在a,b上一组节点值ax0 x10）且）且h越小，计算难度越大。越小，计算难度越大。于是问题出现：能否通过序列于是问题出现：能否通过序

6、列f(h)，f(h/2)，构造出一构造出一新序列，使其更快收敛于新序列，使其更快收敛于f(0)呢？呢？7.3 外推原理和Romberg求积公式一、外推原理：数值37如利用如利用Taylor展式：展式：若若f(0)0，则f(h)，f(h/2)逼近逼近f(0)的的阶数都是数都是O(h)，若令，若令在某种条件下，这是办得到的。在某种条件下，这是办得到的。如利用Taylor展式：若f(0)0，则f(h)，f(38则当则当f(0)0时，时，f2(h)逼近逼近f(0)的误差阶为的误差阶为O(h3)，故序，故序列列f2(h)，f2(h/2)，比，比 f1(h)，f1(h/2)，收敛到，收敛到f(0)更快。再

7、构造更快。再构造f3(h)，还可继续加速。，还可继续加速。这种利用若干已算出的近似值作适当组合以求得更精这种利用若干已算出的近似值作适当组合以求得更精确的近似值的加速收敛的方法称外推算法。确的近似值的加速收敛的方法称外推算法。若再令若再令则当则当f(0)0时，时，f1(h)逼近逼近f(0)的误差阶为的误差阶为O(h2)，故序列，故序列f1(h)，f1(h/2)，可更快地收敛到，可更快地收敛到f(0)。则当f(0)0时，f2(h)逼近f(0)的误差阶为39二、二、Romberg求积算法求积算法以复合梯形公式算法为例介绍：以复合梯形公式算法为例介绍：将将a,bn等分，等分，h为步长，复合梯形公式为

8、为步长，复合梯形公式为若将若将a,b2n等分，即将求积区间等分，即将求积区间xk,xk+1再二分一次，再二分一次，只增加一个分点只增加一个分点xk+1/2=(xk+xk+1)/2，用复合梯形公式求得，用复合梯形公式求得该区间的积分值为：该区间的积分值为：二、Romberg求积算法以复合梯形公式算法为例介绍：将a40分析误差：分析误差：假定假定则则分析误差：假定则41则有则有即即若若T2n与与Tn接近，则接近，则T2n误差很小。误差很小。这种以计算结果估计误差的方法称事后估计法。这种以计算结果估计误差的方法称事后估计法。若用若用T2n的误差作为的误差作为T2n的一种补偿，得的一种补偿，得可能是更

9、好的结果。可能是更好的结果。由由则有即若T2n与Tn接近，则T2n误差很小。这种以计算结果估42复合Simpson公式即即T2n与与Tn作线性组合，可得作线性组合，可得Simpson公式的值公式的值Sn。考察考察Simpson方法，类似推导可得方法，类似推导可得即即复合Cotes公式复合Simpson公式即T2n与Tn作线性组合，可得Simp43重复上述过程，可得重复上述过程，可得Romberg公式：公式：上述讨论说明，由梯形公式出发，将上述讨论说明，由梯形公式出发，将a,b逐次二分可提逐次二分可提高精度。高精度。设设若记若记Tn=T(h)，当，当a,b2n等分时，等分时，T2n=T(h/2)

10、，且有，且有将将T(h)展开成展开成h2的幂级数形式：的幂级数形式：（其中（其中k与与h无关）无关）重复上述过程，可得Romberg公式：上述讨论说明，由梯形公44则则记记则则T1(h)与与I的近似阶为的近似阶为O(h4)，且序列，且序列T1(h),T1(h/2),即即Simpson序列序列Sn,S2n,。又又若令若令则又可进一步消去则又可进一步消去h4项。项。则记则T1(h)与I的近似阶为O(h4)，且序列T1(h),45记为记为序列序列T2(h),T2(h/2),，即，即Cotes序列序列Cn,C2n,，近似阶为近似阶为O(h6)。继续下去，每加速一次，误差量级提高继续下去，每加速一次，误

11、差量级提高2阶。阶。一般地，若记一般地，若记T0(h)=T(h)，则有，则有经过经过m次加速后，次加速后，上述处理方法称上述处理方法称理查森（理查森（Richardson）外推加速方法）外推加速方法。记为序列T2(h),T2(h/2),，即Cotes序列C46设以设以T0(k)表示二分表示二分k次后求得的梯形值，且以次后求得的梯形值，且以Tm(k)表表示序列示序列T0(k)的的m次加速值，则以外推公式次加速值，则以外推公式(m=1,2,k)称称Romberg求积算法。求积算法。得得设以T0(k)表示二分k次后求得的梯形值，且以Tm(k)表示47T表：表：T表：48（1）取）取k=0，h=b-a

12、，求，求T0(0)=h/2f(a)+f(b)；由由1k（k为a,b二分次数）二分次数）计算：算：（2）求梯形值）求梯形值T0(k)，（3）求加速值。用）求加速值。用Romberg求积公式逐个求出求积公式逐个求出T表的表的第第k行其余元素行其余元素Tj(k-j)，(j=1,2,k)；（4）若）若|Tk(0)Tk-1(0)|，则中止中止计算，并取算，并取Tk(0)I；否；否则，令，令k+1k，转，转(2)继续。继续。计算过程：计算过程：（1）取k=0，h=b-a，求T0(0)=h/2f(a)+49例例1：用：用Romberg求积算法计算定积分求积算法计算定积分解：解：k T0(k)T1(k)T2(

13、k)T3(k)T4(k)T5(k)0123450.92070.93980.94450.94570.94600.9461 0.9461 0.9461 0.9461 0.9461 0.94610.9461 0.9461 0.9461 0.94610.9461 0.9461 0.94610.9461 0.94610.9462例1：用Romberg求积算法计算定积分解：k 50例例2：用：用Romberg求积算法计算定积分求积算法计算定积分解：解：k T0(k)T1(k)T2(k)T3(k)T4(k)T5(k)0123450.50.4267770.4070180.4018120.4004630.400

14、118 0.400002 0.400002 0.400002 0.400002 0.4000020.400014 0.400009 0.400009 0.4000090.400077 0.400054 0.4000500.400432 0.4003020.402369(I=0.4)(取取|Tk(0)Tk-1(0)|10-5)例2：用Romberg求积算法计算定积分解：k T051 含含2n+2个待定参数个待定参数xk,Ak(k=0,1,n)，当当x取等距节取等距节点时得到的插值型求积公式的代数精度至少为点时得到的插值型求积公式的代数精度至少为n次，次，若适当选取若适当选取xk(k=0,1,n)

15、，有可能使求积公式具有可能使求积公式具2n+1次代数精度，这类求积公式称次代数精度，这类求积公式称Gauss求积公式求积公式。xk 为为Gauss点点。7.4 Gauss求积公式求积公式公式公式只要取只要取 f(x)=xm 对对m=0,1,2n+1精确成立，即精确成立，即解得解得Ak 及及xk即可得即可得Gauss求积公式。求积公式。含2n+2个待定参数xk,Ak(k=0,1,52例例 构造下列积分的构造下列积分的Gauss求积公式：求积公式：解解：令其对：令其对f(x)=1，x，x2，x3 精确成立，得精确成立，得例 构造下列积分的Gauss求积公式：解：令其对f(x)53故求积公式为故求积

16、公式为上式即为两点上式即为两点Gauss求积公式，至少具求积公式，至少具3次代数精度。次代数精度。注：注：对积分区间对积分区间a,b，作变换作变换则则求积公式为求积公式为故求积公式为上式即为两点Gauss求积公式，至少具3次代数精54由上例知，据定义求由上例知，据定义求xk，Ak，计算复杂。故从分析，计算复杂。故从分析Gauss点的特性来构造点的特性来构造Gauss公式。公式。定理：定理：插值型求积公式插值型求积公式的节点的节点ax0 x1xnb是是Gauss点的充要条件是以这点的充要条件是以这些节点为零点的多项式些节点为零点的多项式与任何次数不超过与任何次数不超过n次的多项式次的多项式P(x

17、)带权正交，即带权正交，即由上例知，据定义求xk，Ak，计算复杂。故从分析Gauss55证明：证明：必要性必要性设设P(x)为为n次多项式，则次多项式，则n+1(x)P(x)为2n+1次多次多项式。式。若若x0,x1,xn是是Gauss点，则求积公式对点，则求积公式对f(x)=n+1(x)P(x)精确成立，即精确成立，即证明：必要性设P(x)为n次多项式，则n+1(x)P(56由由得得充分性充分性对任意对任意2n+1次多项式次多项式f(x)，用，用n+1(x)去除去除f(x)，记商商为P(x)，余式，余式为Q(x)，（其中，（其中P(x)，Q(x)都都为n次多次多项式）式），即，即由得充分性对

18、任意2n+1次多项式f(x)，用n+1(x57即即由于求积公式对由于求积公式对n次多项式精确成立，则次多项式精确成立，则又由又由n+1(xk)=0知，知，Q(xk)=f(xk)求积公式对一切次数求积公式对一切次数2n+1的多的多项式均精确成立，式均精确成立，故故xk为Gauss点。点。即由于求积公式对n次多项式精确成立，则又由n+1(xk)=58几种常用的几种常用的Gauss型求积公式：型求积公式：对不同的对不同的 (x)，选不同的正交多不同的正交多项式系，可式系，可导出不同出不同的的Gauss求求积公式。公式。1、GaussLegendre求积公式：求积公式：Legendre多项式：区间为多

19、项式：区间为-1,1，(x)1，由，由1,x,xn,正交化得到的多项式。正交化得到的多项式。表达式：表达式：性质：性质：（1）正交性：）正交性：几种常用的Gauss型求积公式：对不同的 (x)，选不59（2）奇偶性：）奇偶性：（3）递推关系：）递推关系：(n=1,2,)（4）Pn(x)在在-1,1内有内有n个不同的实零点。个不同的实零点。因因Legendre多项式是多项式是-1,1上的正交多项式，故上的正交多项式，故Pn+1(x)的零点就是求积公式的零点就是求积公式的的Gauss点，上式称点，上式称GaussLegendre求积公式求积公式。（2）奇偶性：（3）递推关系：(n=1,2,)（4）

20、Pn60n=1时，可得两点时，可得两点GaussLegendre求积公式：求积公式：n=2时，三点时，三点GaussLegendre求积公式：求积公式：其他其他GaussLegendre求积公式的节点和系数参看教材求积公式的节点和系数参看教材183页。页。当积分区间不是当积分区间不是-1,1时，可如前作变换：时，可如前作变换：n=1时，可得两点GaussLegendre求积公式：n=61二、二、GaussChebyshev求积公式：求积公式：Chebyshev多项式是多项式是-1,1上上的正交多项式系。的正交多项式系。表达式：表达式：(n=0,1,2,)n次次Chebyshev多项式的零点为：多项式的零点为：(k=1,2,n)以以xk为求积节点，计算可得为求积节点，计算可得故故n个求积节点的个求积节点的GaussChebyshev求积公式为：求积公式为：节点及系数表：教材节点及系数表：教材P184表表73。二、GaussChebyshev求积公式：Chebyshe62P194习题七：习题七：1，2，4，8，9本章作业P194本章作业63