&amp#167;3-格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条件教学课件

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1、3 格林格林(Green)公式曲线积分与路径公式曲线积分与路径无关的条件无关的条件服从真理，就能征服一切事物边界曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.证明证明(1)(1)yxo abDcdABCE同理可证同理可证yxodDcCE证明证明(2)(2)D两式相加得两式相加得GDFCEAB证明证明(3)(3)由由(2)知知xyoL1.1.简化曲线积分简化曲线积分三、简单应用AB 2.2.简化二重积分简化二重积分xyo解解xyoLyxoxyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)3.3.计算平面面积计算平面面积解解其中其中L是曲

2、线是曲线|x|+|+|y|=1|=1围成的区域围成的区域D的正向边界。的正向边界。11-1-1LDyxO格林公式的应用格林公式的应用 （格林公式）（格林公式）从从 证明了证明了：练习练习1 1 计算积分计算积分解解 练习练习2 2求星形线求星形线所界图形的面积。所界图形的面积。解解 yxODL11-1-1重要意义：重要意义：1.1.它它建立了建立了二重积分二重积分与与曲线积分曲线积分的一种等式关系的一种等式关系2.2.它它揭示了揭示了函数在区域函数在区域内部内部与与边界边界之间的内在联系之间的内在联系4.4.它的应用范围可以它的应用范围可以突破突破右手系的限制，使它的右手系的限制，使它的应用应

3、用 3.3.从它出发，可以从它出发，可以导出导出数学物理中的数学物理中的许多重要公式许多重要公式更加广泛更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。，而这只需要改变边界的正向定义即可。四、曲线积分与路径无关的定义如果对于区域如果对于区域 G 内任意指定的两点内任意指定的两点 A、B 以及以及 G 内内从点从点 A 到点到点 B 的任意两条曲线的任意两条曲线 L1，L2 有有GyxoBA=0所以=于是，在于是，在 内内应用格林公式，有应用格林公式，有与路径无关与路径无关.L与路径无关与路径无关解解因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。则则 P，Q 在全平面上有在全平面上有连续的一阶偏导数，

4、且连续的一阶偏导数，且全平面是单连通域。全平面是单连通域。取一简单路径：取一简单路径：L1+L2.因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。全平面是单连通域。全平面是单连通域。解解因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。则则 P，Q 在全平面上有连续的在全平面上有连续的一阶偏导数，且一阶偏导数，且全平面是单连通域。全平面是单连通域。因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。全平面是单连通域。全平面是单连通域。取一简单路径：取一简单路径：L1+L2.解解例例7 验证：在验证：在 xoy 面内，面内，是某个函数是某个函数u(x,y)的全微分，并求出一个这样的函数。的全微分，并求出一个这样的

5、函数。这里这里且且在整个在整个 xoy 面内恒成立。面内恒成立。即，即，因此，在因此，在 xoy 面内，面内，是某个函数是某个函数u(x,y)的全微分。的全微分。解解1.1.连通区域的概念连通区域的概念;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3.3.格林公式的应用格林公式的应用.格林公式格林公式;五、小结与与 路路 径径 无无 关关 的的 四四 个个 等等 价价 命命 题题条条件件等等价价命命题题作业：作业：P231:1,2,3,4,5,6,7.若区域若区域 如图为如图为复连通域，试描述格复连通域，试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。思考题思考题思考题解答思考题解答由两部分组成由两部分组成外外边界：边界：内内边界：边界：n36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。西班牙n37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。拉罗什福科n38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。亚伯拉罕林肯n39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。美华纳n40、学而不思则罔，思而不学则殆。孔子xiexie!xiexie!谢谢！谢谢！