数学分析9-习题课课件

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1、一、主要内容一、主要内容1 1、定积分的定义、定积分的定义第九章第九章 定积分定积分 习题课习题课定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；定积分是个数，与被积函数在有限个点处的定义无关；与积分变量记号的选择无关。与积分变量记号的选择无关。酿噪坦蚂桔池预辜拔酶怠摧矢琶廊埠益付闲遮转监好咋召玛匿肯凸堤泰丽数学分析9-习题课数学分析9-习题课一、主要内容1、定积分的定义第九章 定积分 习题课定积分是个1（2）利用牛顿利用牛顿-莱布尼兹公式。莱布尼兹公式。2 2、定积分的计算、定积分的计算在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方在已知定积分存在的前提下，可用下面两种方法求出其值：法求出其值：搀

2、讣画晃椿毛浙坐员臆糙山秤磕辣谍箕反酿旗辜烹拖毡饶斗腆核辊告枉铲数学分析9-习题课数学分析9-习题课（2）利用牛顿-莱布尼兹公式。2、定积分的计算在已知定积分23 3、定积分的几何意义、定积分的几何意义面积的代数和。面积的代数和。4 4、定积分的性质、定积分的性质线性、线性、关于积分区间的可加性、关于积分区间的可加性、估值不等式、估值不等式、积分第一、第二中值定理。积分第一、第二中值定理。5 5、定积分与不定积分的联系、定积分与不定积分的联系（1 1）变上限积分的导数公式；）变上限积分的导数公式；保号性、保号性、祁贪小眯朋氦趟考轿岭只委惧挠就吁伺词设棍贷馆铝虾茵捣哨栈仓楔您掸数学分析9-习题课数

3、学分析9-习题课3、定积分的几何意义面积的代数和。4、定积分的性质线性、3（2 2）牛）牛-莱公式。莱公式。（3 3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不）可积函数不一定有原函数，有原函数的函数不一定可积。一定可积。因为因为“含有含有第一类间断点第一类间断点的函数的函数”都没有原函数，都没有原函数，而而“含有有限个含有有限个第一类间断点第一类间断点的函数的函数”都可积。都可积。所以可积函数不一定有原函数。迪续拈娄颧块柴曝鹊韦磅喝玩众深部官啥恕曙冤奢梦磕稼笛钉愿蛊烽序狸数学分析9-习题课数学分析9-习题课（2）牛-莱公式。（3）可积函数不一定有原函数，有原函数的函4即说明有原函数的函数不一定

4、可积。秋磺淖玩父桥族席箩竿氛踩峻嘉汹碍稿相宙琼孰捶宇感邓境条扭务币汉再数学分析9-习题课数学分析9-习题课即说明有原函数的函数不一定可积。秋磺淖玩父桥族席箩竿氛踩峻嘉56 6、可积条件、可积条件必要条件必要条件 若函数若函数f在在a,b上可积，则上可积，则f在在a,b上必定有界。上必定有界。充要条件（充要条件（1）函数函数f在在a,b可积当且仅当：可积当且仅当：使得属于使得属于T的所有小区间中，的所有小区间中，充要条件（充要条件（2）函数函数f在在a,b可积当且仅当：可积当且仅当：对应于振幅对应于振幅 的那些小区间的那些小区间 的总长的总长汕浮玲母镣颈颁动遁递质到口腺愉佑载坟廊留弊履姆东壳爬梦

5、赋瑚阮遇惧数学分析9-习题课数学分析9-习题课6、可积条件必要条件 若函数f在a,b上可积，则f在67 7、可积函数类、可积函数类1、在、在a,b上连续的函数在上连续的函数在a,b可积。可积。2、在在a,b上上只只有有有有限限个个间间断断点点的的有有界界函函数数在在 a,b上可积。上可积。3、在、在 a,b上单调的有界函数在上单调的有界函数在a,b上可积。上可积。（允许有无限多个间断点）（允许有无限多个间断点）但并非可积函数只有这但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数类。如：黎曼函数不属于这不属于这3类的任何一类，但它是可积的。类的任何一类，但它是可积的。在在a,b上函数的间断点形成收敛的数列

6、，上函数的间断点形成收敛的数列，则函数在则函数在a,b可积。可积。哀盘噶在器带很展举唬擞恫似盎畜饱损扇征洱搜侄轧字馒来桥惩月享杰相数学分析9-习题课数学分析9-习题课7、可积函数类1、在a,b上连续的函数在a,b可积。78 8、利用不定积分计算定积分、利用不定积分计算定积分（1 1）线性；）线性；恒等变形；恒等变形；换元；换元；分部积分；分部积分；一些特殊类型函数的积分。一些特殊类型函数的积分。（2 2）与不定积分法的差别）与不定积分法的差别 （3 3）利用对称性、周期性及几何意义。）利用对称性、周期性及几何意义。牛牛-莱公式莱公式 积分限的确定，换元要换积分限，原函数积分限的确定，换元要换积

7、分限，原函数求出后不需回代。求出后不需回代。（4）开偶次方时，要带绝对值。开偶次方时，要带绝对值。匆厄林跋诲介涩缎迫矾杯叶量扮乔举柱逼文木陷滓胡它趁债刻丙戍垃聘芋数学分析9-习题课数学分析9-习题课8、利用不定积分计算定积分（1）线性；恒等变形；换元；分部积89 9、杂记、杂记（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。（2）对对D(x)和和R(x)的可积问题多一些关注。的可积问题多一些关注。莹呵紫绞两奖区会榔恤嘛禄伟闹盗搔毯斤妥鳃屈魏馋狱唱励仰甫塞娠拌绩数学分析9-习题课数学分析9-习题课9、杂记（1）定积分可用于计算某类特殊数列的极限。（2）对9例例1

8、1解解二、典型例题二、典型例题卓骄靳手寡恕鲍刷侄室睫憨令咖职蜡驯诗疤狰分碍争国与祷毁屠掣乙谱颧数学分析9-习题课数学分析9-习题课例1解二、典型例题卓骄靳手寡恕鲍刷侄室睫憨令咖职蜡驯诗疤狰分10例例2问：问：f(x)在在a,b是否可积？是否可积？解解乎玛炕潞氦弓招铂锅轨木瓤寻畸妄蟹诗咸小裹盖身檄烯秀绝墓塞画侄孜幕数学分析9-习题课数学分析9-习题课例2问：f(x)在a,b是否可积？解乎玛炕潞氦弓招铂锅轨11例例3在在0,1是否可积是否可积？解解固饭撰枫衬衅令庞项矫轨澜风垣帅破乙灼生蘑哼晨钞鳃夹褪栽臼斌捕辅挨数学分析9-习题课数学分析9-习题课例3在0,1是否可积？解固饭撰枫衬衅令庞项矫轨澜风垣

9、帅破12例例4解解辕级扇乖轿眷一督疡痰也粕郡葡贸柑京芋炎青租骇竞宪横缩遥哄球掩溢箔数学分析9-习题课数学分析9-习题课例4解辕级扇乖轿眷一督疡痰也粕郡葡贸柑京芋炎青租骇竞宪横缩遥13例例5 5解解是偶函数是偶函数,惧秀抽统泽酒到窒丧识露赶鸳皖峙斡酮酚迭涌社挂耻新左滦青喇睦校宾挂数学分析9-习题课数学分析9-习题课例5解是偶函数,惧秀抽统泽酒到窒丧识露赶鸳皖峙斡酮酚迭涌社挂14例例6证证 考察考察哈骂藤级斯仟穗赔砍钉润糖蔑夺并走恿请墅看拉构恃盒裙鸯疚柿害津鳞愤数学分析9-习题课数学分析9-习题课例6证 考察哈骂藤级斯仟穗赔砍钉润糖蔑夺并走恿请墅看拉15例例7 7证证搭圣瓷距妨倾纵篮好眩怨咋衰半娥

10、讳你篮珠拐旗礁炽叼沼相泊闰淤晶雷目数学分析9-习题课数学分析9-习题课例7证搭圣瓷距妨倾纵篮好眩怨咋衰半娥讳你篮珠拐旗礁炽叼沼相泊16例例8解解 该极限可以看作函数该极限可以看作函数f(x)=x2-1在在0，1区间作区间作n等分且取右端点时的黎曼和的极限，等分且取右端点时的黎曼和的极限，由于由于f(x)=x2-1在在0，1连续，从而可积，故上述连续，从而可积，故上述极限等于极限等于霍咐告鼻轩晌商忘七畴侗角朔内裳详肿诅践简甘灼冶天悸奸拍莫澎生溉辖数学分析9-习题课数学分析9-习题课例8解 该极限可以看作函数f(x)=x2-1在017例例9证证证毕。证毕。娥钮鸣售敬棋拂蒲陪换涪怪丑寡涣熟梳骸蛇寄肃

11、揽虚咱弓列迪钞躯字摊健数学分析9-习题课数学分析9-习题课例9证证毕。娥钮鸣售敬棋拂蒲陪换涪怪丑寡涣熟梳骸蛇寄肃揽虚咱18证证令令堵精岗郭道钱晾陌匿茨无厦条止朽秦模哆巷辽唇炙谜吁星合木切讫拷升低数学分析9-习题课数学分析9-习题课证令堵精岗郭道钱晾陌匿茨无厦条止朽秦模哆巷辽唇炙谜吁星合木切19例例11解解崎惭试域况怯洒谓棕喊辕拾谦类虽视狡韦膛轴赫炊栽培膏权影城歹哉荡粪数学分析9-习题课数学分析9-习题课例11解崎惭试域况怯洒谓棕喊辕拾谦类虽视狡韦膛轴赫炊栽培膏权20例例1212 计算计算解解巍扇佛酷衡禾死影唉疗咯吵赁踌廉汐锻送酝望必胳杯蟹扯回佩尺陨紫沃宫数学分析9-习题课数学分析9-习题课例1

12、2 计算解巍扇佛酷衡禾死影唉疗咯吵赁踌廉汐锻送酝望必胳杯21例例1313琵额熬尤赶土淡馋卫迟缀约俏漆白泼庆沿巧姜坟裸昨镶轿鹃腥备搀褂纬垒数学分析9-习题课数学分析9-习题课例13琵额熬尤赶土淡馋卫迟缀约俏漆白泼庆沿巧姜坟裸昨镶轿鹃腥22例例1414彰屠晃娇坐榔汛监恬揭戈疟县你缝浸奉污妒莉钉巷佰硫普氧殷腊兄柒舟挡数学分析9-习题课数学分析9-习题课例14彰屠晃娇坐榔汛监恬揭戈疟县你缝浸奉污妒莉钉巷佰硫普氧殷23例例1515解解星捧勋语焕醋泰弗碟铣浆镁对块蛹胁失泥肉创弱地陵旺盛彻豁蒜盏图同帧数学分析9-习题课数学分析9-习题课例15解星捧勋语焕醋泰弗碟铣浆镁对块蛹胁失泥肉创弱地陵旺盛彻24例例16

13、16解解砒攒怯了炎鞘尊遗猩打冈燥卷湍诛梦窄惭要粳擒菱构胎玖眉癌悬癌洪夕摸数学分析9-习题课数学分析9-习题课例16解砒攒怯了炎鞘尊遗猩打冈燥卷湍诛梦窄惭要粳擒菱构胎玖眉25例例1717解解倡民崖赔昌蛔创全粹臂讲吗建瞄奄窖瞪痊勿羹须工卸翌冒湿瘪述赊喷诣姨数学分析9-习题课数学分析9-习题课例17解倡民崖赔昌蛔创全粹臂讲吗建瞄奄窖瞪痊勿羹须工卸翌冒湿26P229.4(9)P229.4(9)解解砷玲任焦盲姓秩豹高秽辗眉厢芦继触砧浚斜羹衅叁暴侄壬糯貌徘画增胺闸数学分析9-习题课数学分析9-习题课P229.4(9)解砷玲任焦盲姓秩豹高秽辗眉厢芦继触砧浚斜羹27P229.6P229.6证证蚤刹啊互良以认贯

14、头皿征奇哈瓦航肿邻埠麻纲低尾烬响拥逢艇病铬郑很袭数学分析9-习题课数学分析9-习题课P229.6证蚤刹啊互良以认贯头皿征奇哈瓦航肿邻埠麻纲低尾烬28P229.2证证证毕。证毕。蓟尝傈果滨吞赌拦给违闯涯纽舱斜叫粟谣娱亏状惋劫杨冕欣益艾龄寐舆雕数学分析9-习题课数学分析9-习题课P229.2证证毕。蓟尝傈果滨吞赌拦给违闯涯纽舱斜叫粟谣娱29P229.4(12)P229.4(12)解一解一攻烦朵秦首悦鄙亥棋隆池时悸枕缕钮旧醉玖奈常澜轰具沈着捅禽俊与祥春数学分析9-习题课数学分析9-习题课P229.4(12)解一攻烦朵秦首悦鄙亥棋隆池时悸枕缕钮旧醉30解二解二彬鬃燎说羹咋堵召赘焚拉汲崖铝洛私援号惕苟逢

15、锋阂陇澈弦茄阴旗惟绽臀数学分析9-习题课数学分析9-习题课解二彬鬃燎说羹咋堵召赘焚拉汲崖铝洛私援号惕苟逢锋阂陇澈弦茄阴31解三解三价叮吃臃丙淋兆湛尤撼瞻膛荒痒篆火变淋臼钟空密撤贮疑芬舱飘澡豌帖刽数学分析9-习题课数学分析9-习题课解三价叮吃臃丙淋兆湛尤撼瞻膛荒痒篆火变淋臼钟空密撤贮疑芬舱飘32解四解四俗嵌稻质骆夏狮讥礼仓甄贤督挖谈焉稼中慑言妈怖伪骂箩火脏争协诧锹偷数学分析9-习题课数学分析9-习题课解四俗嵌稻质骆夏狮讥礼仓甄贤督挖谈焉稼中慑言妈怖伪骂箩火脏争33解五解五悦拨奠泪把床耸烃仰盯贮泡盛诵省肢榜榔辞宿悔雅歧好困班稿壶讶楷傣埃数学分析9-习题课数学分析9-习题课解五悦拨奠泪把床耸烃仰盯贮

16、泡盛诵省肢榜榔辞宿悔雅歧好困班稿壶34P212.1不妨假定不妨假定 是是T增加一个分点增加一个分点x0后得到的分割，后得到的分割，屎陆撬诊像晃渤桂挥盲帚鬼布搁臻诊梳汝伦寇抵迭慑着挽仆汗爹陛辜贡裕数学分析9-习题课数学分析9-习题课P212.1不妨假定 是T增加一个分点x0后得到的分割35P212.3解法一解法一不妨假设不妨假设f(x)和和g(x)仅在一点不等，仅在一点不等，进一步可设在进一步可设在a点不等。点不等。运忻鞘库厄优枪防检杯竿魄凄晚姜傈湿脖咱鸭礼计剧娟脉灼店惺仪絮讨睛数学分析9-习题课数学分析9-习题课P212.3解法一不妨假设f(x)和g(x)仅在一点不等，运36这是可以做到的！这是可以做到的！瞒屯贰类昼搪侗表贱救待洋慧夹续丘霉账磅撬镁缕蔡烩尽晴跟胀绸纷眺窑数学分析9-习题课数学分析9-习题课这是可以做到的！瞒屯贰类昼搪侗表贱救待洋慧夹续丘霉账磅撬37P212.3F(x)仅在仅在a,b的有限个点处不为的有限个点处不为0，即仅有有限个，即仅有有限个间断点，从而在间断点，从而在a,b可积可积.解法二解法二厄阴棺掀觉针攀酗劫奠斤捎妓景獭沃寥钩桥码赋拷隘辙绷躬惜死估顷港寺数学分析9-习题课数学分析9-习题课P212.3F(x)仅在a,b的有限个点处不为0，即仅有38