[工学]第2章-线性系统的能控性与能观测性课件

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1、第第2章章 线性系统的能控性和能观测性分析线性系统的能控性和能观测性分析2.1 引言引言2.2 能控性与能观测性的概念与示例能控性与能观测性的概念与示例 2.3 能控性和能能控性和能观测性定性定义2.4 线性性连续系系统能控性能控性判据判据2.5 线性性连续系系统能能观测性判性判据据2.6 能控能控标准型与能准型与能观测标准型准型2.7 系系统能控性和能能控性和能观测性的性的对偶原理偶原理2.8 线性系性系统的的结构分解构分解2.9 能控性和能能控性和能观测性与性与传递函数（函数（阵）的关系）的关系2.10 线性离散系统的能控性与能观测性线性离散系统的能控性与能观测性2.11 MATLAB M

2、ATLAB在能控性和能观测性分析中的应用在能控性和能观测性分析中的应用 2.1 引言 在控制工程中，有两个问题经常引起设计在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心，其一是加入适当的控制作用后，能者的关心，其一是加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态转移到否在有限时间内将系统从任一初始状态转移到希望的状态上，即系统是否具有通过控制作用希望的状态上，即系统是否具有通过控制作用随意支配状态的能力。其二是通过在一段时间随意支配状态的能力。其二是通过在一段时间内对系统输出的观测，能否判断系统的初始状内对系统输出的观测，能否判断系统的初始状态，即系统是否具有通过观测系统输出来估计态

3、，即系统是否具有通过观测系统输出来估计状态的能力。这便是线性系统的能控性与能观状态的能力。这便是线性系统的能控性与能观测性问题。测性问题。稳定性、能控性与能观测性均是系统的重稳定性、能控性与能观测性均是系统的重要结构性质要结构性质。本章首先介绍能控性与能观测性的概念及定义，本章首先介绍能控性与能观测性的概念及定义，在此基础上，介绍判别系统能控性与能观测性的准在此基础上，介绍判别系统能控性与能观测性的准则，及如何通过线性非奇异变换将能控系统和能观则，及如何通过线性非奇异变换将能控系统和能观测系统的状态空间表达式化为能控标准型与能观测测系统的状态空间表达式化为能控标准型与能观测标准型。然后介绍能控

4、性与能观测性之间的对偶关标准型。然后介绍能控性与能观测性之间的对偶关系、能控性及能观测性与传递函数的关系，以及如系、能控性及能观测性与传递函数的关系，以及如何对不能控和不能观测系统进行结构分解。再后，何对不能控和不能观测系统进行结构分解。再后，讨论线性离散系统的能控性与能观测性问题。本章讨论线性离散系统的能控性与能观测性问题。本章最后介绍最后介绍MATLAB在系统能控性与能观测性分析中在系统能控性与能观测性分析中的应用。的应用。返回目录返回目录2.2 能控性与能观测性的概念与示例【例2-1】给定系统的状态空间表达方式为,其状态变量图如图2-1所示。系统的状态是完全能控且完全能观测的。图2-1【

5、例例2-22-2】桥式电路如图2-2所示，选取电感L的电流 为状态变量，为电桥输 入，输出量为 。从电路可以直观看出，如果 ，则不论 如何选取，对于所有 ，有 ，即u(t)不能控制x(t)的变化，故系统状态为不能控。若u(t)=0，则不论电感L上的初始电流 取为多少，对所有时刻 都恒有y(t)=0,即状态x(t)不能由输出y(t)反映，故系统是状态不能观测的。该电路为状态既不能控，也不能观测系统。图2-2 2.3 能控性和能观测性定义 2.3.1 能控性定义 线性时变连续系统的状态方程为,（2-2）式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量,Td为时间定义区间,A(t)和B B(t)分别为 和

6、矩阵。1.状态能控 对于式（2-2）所示线性时变连续系统，如果对指定初始时刻 的一个非零初始状态 ，存在一个时刻 ，tft0,和一个无约束的容许控制u(t),使状态由 转移到tf 时的 ,则称此 是在 时刻能控的。2.系统能控 对于式（2-2）所示线性时变连续系统，指定初始时刻 ，如果状态空间的所有非零状态都是在 时刻能控的,则称系统在时刻 是状态完全能控的，简称系统在时刻 能控。如果系统对于任意的 均是状态完全能控的(即系统的能控性与初始时刻 的选取无关)，则称系统是一致能控的。3.系统不完全能控 对于式（2-2）所示线性时变连续系统，指定初始时刻 ，如果状态空间存在一个或一个以上非零状态在

7、时刻 是不能控的，则称系统在时刻 是状态不完全能控的，简称系统不能控。对线性时变连续系统而言,其能控性与初始时刻 的选取有关,而线性定常连续系统其能控性与初始时刻 的选取无关。故线性定常连续系统其系统能控性可定义为:对于任意的初始时刻 (一般取 )，存在一个有限时刻 ，和一个无约束的容许控制 ,能使状态空间的任意非零状态 转移到 ，则称系统状态完全能控，简称系统能控。4.状态与系统能达 对于式（2-2）所示线性时变系统,若存在能将状态 转移到 的控制作用 ,则称状态xf是 时刻能达的。若 对所有时刻都是能达的，则称状态 为完全能达或一致能达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻 能达的，则

8、称系统是 时刻状态能达的，简称系统是时刻 能达的。对线性定常连续系统，能控性与能达性是等价的。2.3.2 能观测性定义 分析系统能观测性问题时分析系统能观测性问题时,只需从系统的齐次只需从系统的齐次状态方程和输出方程出发状态方程和输出方程出发,即即 (2-10)1.状态能观测 对于式（2-10）所示线性时变连续系统，如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ，对于所有的 ，系统的输出 能惟一确定一个非零的初始状态向量 ，则称此非零状态 在 时刻是能观测的。2.系统能观测 对于式（2-10）所示线性时变连续系统，如果指定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ，对于所有 ，系统的输出y(t)能惟一确定 时刻的

9、任意非零的初始状态向量 ，则称系统在 时刻状态是完全能观测，简称系统能观测。如果系统对于任意 均是能观测的（即系统的能观测性与初始时刻 的选取无关），则称系统是一致完全能观测。3.系统不能观测 对于式（2-10）所示线性时变连续系统，如果取定初始时刻 ，存在一个有限时刻 ，,对于所有 ，系统的输出y(t)不能惟一确定 时刻的任意非零的初始状态向量 （即至少有一个状态的初值不能被确定）,则称系统在 时刻是状态不完全能观测，简称系统不能观测。2.4线性连续系统能控性判据 2.4.1 线性定常连续系统能控性判据 2.4.2 线性定常连续系统输出能控性 2.4.3 线性时变连续系统能控性判据 2.4.

10、1 线性定常连续系统能控性判据线性定常连续系统能控性判据 秩判据秩判据 约当标准型判据约当标准型判据 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 PBH判据判据 1.1.秩判据秩判据秩判据秩判据 设线性定常连续系统的状态方程为 (2-11)式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量,A、B分别为 、常数阵。式(2-11)系统状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵(2-12)满秩,即(2-13)证明 状态方程式（2-11）的解为(2-14)根据能控性的定义，若系统是能控的，则对于任意的初始状态x(0)，应能找到输入u(t)，使初始状态x(0)在有限的时间区间 内转移到零。令 ,则式（2-14）可写成 将上式

11、的积分项移到方程右边且方程两边左乘 的逆阵 得(2-15)对于式(2-11)线性定常连续系统，有 根据凯莱-哈密顿定理，可将矩阵指数函数 表示为(2-16)将式（2-16）代入式（2-15）得(2-17)式（2-17）的第m项定积分记为,(2-18)因为u(t)为r维向量，故Um亦为r维向量，记为 则 (2-19)令(2-20)（2-21）则式（2-19）写成（2-22）式中,为nr维向量，为 维矩阵，x(0)为n维向量。若系统能控，则对于任意的x(0)，应能从式（2-22）中解出 。式（2-22）有解的充分必要条件是其系数矩阵 和增广矩阵 的秩相等，即 考虑到x(0)是任意给定的，欲使上式成

12、立，必须满秩即 ，否则不能保证上式成立。于是式(2-11)系统状态完全能控的充分必要条件是由A,B阵构成的能控性判别阵 满秩，即 【例例2-5】动态系统的状态方程如下，试判断其能控性。解 ,故它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论 取何值，其秩为3，即 =3=n,故系统总是能控的。【例例2-6】动态系统的状态方程如下，试判断其动态系统的状态方程如下，试判断其是否能控。是否能控。解故系统不能控。【例例2-72-7】电路如图电路如图2-7所示。图2-7 其中,u为输入,i为输出,流经电感 的电流 和电容 上的电压 为状态变量，分析系统的能控性。解令 ,整理以上三式得向量矩阵形式的系统状态空间

13、表达式为 当满足 时，满秩，系统能控，否则不能控。2.2.约当标准型判据约当标准型判据约当标准型判据约当标准型判据(1)能控性在线性非奇异变换下的基本特性 线性系统经线性非奇异变换后不会改变其能控性。(2)系统特征值互异情况下的对角标准型判据 若系统 其系统矩阵A的特征值 互异，由线性非奇异变换 可将式(2-28)变换为如下对角标准型（2-28）则式(2-28)系统状态完全能控的充分必要条件是经非奇异变换得到的式(2-29)中，阵不含元素全为零的行。(2-29)例如，考察如下四个系统(1)系统能控(2)系统不能控(3)系统能控(4)系统不能控 图2-8是系统(2)的状态变量图。图2-8(3)系

14、统特征值具有重特征值情况下约当标准型判据 设线性定常系统(2-30)其A具有重特征值 ，其中 为 的重数，,若经线性非奇异变换（2-31）式(2-30)变换为如下约当标准型(2-32)其中,为对应 重特征值 的 阶约当标准块。则式(2-30)系统状态完全能控的充分必要条件是:其经非奇异变换得到的约当标准型式(2-32)中,输入矩阵 中与每个约当标准块 最后一行相对应的各行都不是元素全为零的行。为说明其用法，考察如下三个系统：（1）系统能控（2）系统不能控（3）系统能控 关于系统能控性的约当标准型判据,请注意如下两点:1)若系统既有重特征值又有单特征值，其状态空间表达式经非奇异变换得到的约当标准

15、型中，系统矩阵中既出现约当子块又出现对角子块，此时应综合运用上述对角标准型判据和约当标准型判据分析系统的能控性。例如,考察如下系统 可见,该系统矩阵有一个约当块和一个对角块，与约当块最后一行对应的B阵中的那一行元素全为0，故该系统不能控。2)当A有重特征值时，也有可能变换为对角线标准型(即 为对角线型,但与重特征值对应的对角元素是相同的)或不同于式(2-32)形式的约当标准型(即在约当阵 中出现两个或两个以上与同一重特征值对应的约当子块,而式(2-32)中的约当型阵其同一重特征值只对应一个约当子块),在这些情况下,则不能简单地按上述标准型判据确定系统的能控性,尚需考察 中某些行向量的线性相关性

16、,即应修改上述标准型判据。现直接给出有关结论:若A具有重特征值且 为约当标准型,但 中出现两个或两个以上与同一特征值对应的约当子块，则系统状态完全能控的充要条件是 中与每个约当子块最后一行相对应的各行都不是元素全为零的行;且 中对应 中相等特征值的全部约当子块最后一行的那些行线性无关。需要说明的是,由于任意一个1阶矩阵都是1阶约当块,所以对角线矩阵是约当矩阵的特例。【例例2-8】考察如下系统（1）系统不能控（2）系统不能控（3）系统不能控（4）系统能控 系统不能控（5）3.3.格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统,（2-33）状态完全能控的充分必要条件是存

17、在时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵（2-34）为非奇异。应用格拉姆矩阵判据判别线性定常连续系统能控性时,需要计算矩阵指数 及定积分，对于高阶系统，其计算较复杂，所以格拉姆矩阵判据主要用于理论分析及推导。4.PBH4.PBH判据判据判据判据 线性定常连续系统,状态完全能控的充分必要条件是对于系统的所有特征值,有 或 ,（2-46）（2-47）（2-48）其中，C为复数域。这一判据是波波夫 、贝尔维奇 、豪塔斯 等人提出的，故简称为PBH判据。2.4.2 线性定常连续系统输出能控性 1.1.输出能控性定义输出能控性定义输出能控性定义输出能控性定义 设线性定常连续系统（2-54）式中,x为n维状态向量

18、,u为r维输入向量,y为m维输出向量。若存在一个无约束的容许控制u(t)，在有限的时间间隔 内，能将任一初始输出 转移到任一指定的期望的最终输出 ，则称系统是输出完全能控的,简称输出能控。2.2.输出能控性判据输出能控性判据输出能控性判据输出能控性判据 可以证明，由方程(2-54)所描述的系统，其输出完全能控的充分必要条件是输出能控性判别矩阵 的秩等于输出向量的维数m,即 (2-55)对输出能控性来说,状态能控性既不是必要的,也不是充分的,即状态能控性与输出能控性之间没有必然的联系。【例例2-9】设系统的状态方程与输出方程为 试分析该系统是否输出完全能控与状态完全能控。,解数目相等。因此，本系

19、统是输出完全能控的;,其与输出变量的 ,给定系统的状态不是完全能控的。2.4.3 线性时变连续系统能控性判据 1.1.格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 ，,（2-56）在时刻 完全能控的充分必要条件是存在一个有限时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵（2-57）为非奇异。根据式(2-57)的非奇异性判别线性时变连续系统的能控性,必须首先计算出系统的状态转移矩阵 ,但计算 困难且有时无法写成闭合解,故以上方法实用性较差。2.2.秩判据秩判据秩判据秩判据 线性时变连续系统,，（2-67）各元素对t为(n-1)阶可微函数，则系统在时刻 完全能控的条件（充分条件）为 存在一个有限时刻

20、，使（2-68）式中 式(2-68)只是一个充分条件,即不满足这个条件的系统,并不一定是不能控的。【例例 2-10】试判断线性时变连续系统试判断线性时变连续系统 ,在时刻 的能控性。解取 ，计算故系统在时刻 时能控。2.5 线性连续系统能观测性判据 研究线性系统状态能观测性问题时,只考察系统输出y(t)反映状态向量x(t)的能力,这与系统的外加输入u(t)无关。因此,对线性系统只需要利用系统在有限时间内输出的零输入响应去研究系统的能观测性,即只需从系统的齐次状态方程和输出方程出发来考察系统的能观测性。线性定常连续系统能观测性判据线性定常连续系统能观测性判据 线性时变连续系统能观测性判据线性时变

21、连续系统能观测性判据 2.5.1 线性定常连续系统能观测性判据 秩判据秩判据 约当标准型判据约当标准型判据 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 PBH秩判据秩判据 1.1.秩判据秩判据 设线性定常连续系统在输入 时的齐次状态方程和输出方程分别为,(2-69)(2-70)式中,x为n维状态向量，y为m维输出向量，A,C分别为 ,常数阵。则系统状态完全能观测的充分必要条件是如下能观测性判别矩阵(2-71)满秩,即（2-72）证明 状态方程式(2-69)的解为 将上式代人输出方程(2-70)，得（2-73）应用凯莱哈密顿定理，将 代入式（2-73），可得（2-74）式(2-74)写成向量-矩阵形式,即（2

22、-75）这是一个含有n个未知量m个方程的线性方程组，当mh，若能根据测量的 惟一地确定出 ，则称系统在时刻h是状态完全能观测的，简称系统能观测。2.10.4 线性定常离散系统能观测性的秩判据 设线性定常离散系统在输入u=0时的齐次状态方程和输出方程分别 ,（2-206）（2-207）式中,x为n维状态向量，y为m维输出,G为 系统矩阵,C为为 输出矩阵。则系统状态完全能观测的充要条件是能观测性判别矩阵(2-208)满秩，即(2-209)证明 根据状态方程(2-206)的递推求解式，有 将上述个 方程写成向量形式有(2-210)(2-211)式(2-211)是由mn个关于n个未知变量的方程所组成

23、的线性方程组,x0有惟一解的充分必要条件是其系数矩阵的秩等于n,即2.10.5 2.10.5 2.10.5 2.10.5 离散化系统能控性、能观测性与采样周期的关系离散化系统能控性、能观测性与采样周期的关系离散化系统能控性、能观测性与采样周期的关系离散化系统能控性、能观测性与采样周期的关系 设线性定常连续系统 为,（2-212）系统的特征值为 ,其中,可为单特征值或重特征值。采用时域中采样保持的离散化方法(采样周期为T,保持器为零阶保持器)将连续系统 离散化为离散系统 ,即(2-213)式中,(2-214)结论1 若线性定常连续系统 完全能控，则对应的离散化系统 保持能控的充分条件为对满足,（

24、2-215）的一切特征值，使采样周期T满足如下关系式 ,(2-216)结论2 若线性定常连续系统 完全能观测，则对应的离散化系统 保持能观测的充分条件为对于满足(2-217),的一切特征值，使采样周期T满足如下关系式,(2-218)【例例2-28】设连续系统的状态空间表达式为 分析系统离散化前后的能控、能观测性。解 连续系统的能控、能观测性判别矩阵及秩分别为 ,可见该连续系统能控且能观测。连续系统的特征值为:将连续系统离散化,据式(2-214)得 离散化系统的状态空间表达式为 根据上述结论1、2,若选择采样周期T的值满足下式 即 时离散化系统能控且能观测。实际上，也可对离散化系统直接应用秩判据

25、,即 可见，只要选择采样周期使其满足 ,则 满秩,离散化系统能控且能观测。2.11 MATLAB2.11 MATLAB在能控性和能观测性分析中的应用在能控性和能观测性分析中的应用在能控性和能观测性分析中的应用在能控性和能观测性分析中的应用 2.11.1 2.11.1 系统能控、能观测性分析的系统能控、能观测性分析的MATLABMATLAB函数函数 1.函数 功能:根据动态系统 生成能控性判别矩阵 。调用格式:Qc 2.函数 功能:根据动态系统 生成能观测性判别矩阵。调用格式:Qo=3.函数 功能:根据动态系统 生成判别能控性、能观测性的格拉姆矩阵。调用格式:%生成判别能控性的格拉姆矩阵。其中,

26、分别为 的转置。%生成判别能观测性的格拉姆矩阵,4.函数 功能:生成判别离散系统能控或能观测性的格拉姆矩阵。调用格式:参见函数 5.函数 功能:将不能控系统 按能控性进行分解。调用格式:其中,Abar=TAT-1=,Bbar=TB=,Cbar=CT-1=T为变换阵，K为包含状态能控个数信息的行向量,执行sum(K)语句即可得到能控状态数。能控子系统为 ，不能控子系统为 。6.函数 功能:将不能观测系统 按能观测性进行分解。调用格式:Abar,Bbar,Cbar,T,K=obsvf(A,B,C)其中,Abar=TAT-1=,Bbar=TB=,Cbar=CT-1=T为变换阵，K为包含状态能观个数信

27、息的行向量,执行sum(K)语句即可得到能观测状态数。能观测子系统为 ，不能观测子系统为 。2.11.2 2.11.2 用用MATLABMATLAB进行系统能控性和能观测性分析进行系统能控性和能观测性分析举例举例【例例2-29】已知系统状态方程为判别系统的能控性。解 MATLAB Program 3_1为应用秩判据求解本题的程序。%MATLAB Program 3_1 A=-2,2,-1;0,-2,0;1,-4,0;B=0,0;0,1;1,0;Qc=ctrb(A,B);n=rank(Qc);L=length(A);if n=L str=系统是状态完全能控else str=系统是状态不完全能控e

28、nd MATLAB Program 3_1运行结果为 str=系统是状态完全能控【例例2-30】控制系统的状态空间表达式为试分析系统的输出能控性 解 MATLAB Program 3_2为应用秩判据求解本题的程序。%MATLAB Program 3_2 A=-3,1,0;0,-3,0;0,0,-1;B=1,-1;0,0;2,0;C=1,0,1;-1,1,0;D=zeros(2,2);C0=ctrb(A,B);m=size(C,1);Qy=C*C0,D;Qm=rank(Qy);if m=Qm str=系统输出是完全能控的else str=系统输出是不完全能控的end MATLAB Program 3_2运行结果为 str=系统输出是完全能控的【例例2-31】控制系统的状态空间表达式为判别系统的能观测性。解 MATLAB Program 3_3为应用秩判据求解本题的程序。%MATLAB Program 3_3 A=4,1,0,0;0,4,0,0;0,0,4,1;0,0,0,4;C=1,1,2,1;1,2,2,0;Q0=obsv(A,C);r=rank(Q0);L=size(A);if r=L str=系统是状态完全能观测else str=系统是状态不完全能观测 end MATLAB Program 3_3运行结果为 str=系统是状态不完全能观测 返回目录返回目录