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1、2-4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 一、概率分布随时间的变化及连续性方程一、概率分布随时间的变化及连续性方程二、粒子数、质量、电荷守恒定律二、粒子数、质量、电荷守恒定律三、波函数的标准条件三、波函数的标准条件四、波函数一般是复数四、波函数一般是复数2-4 粒子流密度和粒子数守恒定律 一、概率分布随时间的2-4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 一、概率分布随时间的变化及连续性方程一、概率分布随时间的变化及连续性方程 1 1概率分布随时间的变化概率分布随时间的变化 因因为为总总概概率率（或或粒粒子子数数）守守恒恒，所所以以如如果果有有的的区区域域粒粒
2、子子数数增增加加，必必然然有有的的区区域域粒粒子子数数减减少少，说说明明有有一一定定数数目目的的粒粒子子从从一一个个区区域域转转移移到到了了另另一一区区域域。寻寻求求一一个个概概率率流流密密度度矢矢量量来来表表示示单单位位时时间间内内穿穿过过单单位面积的概率（概率流动），则会使图象更明确。位面积的概率（概率流动），则会使图象更明确。2 2概率分布的连续性方程概率分布的连续性方程 假设假设 已归一化已归一化 描描写写态态，描描写写概概率率分分布布（概概率率云云）。假假设设有有很很大大数数目目的的N个个相相同同的的但但独独立立的的粒粒子子，同同处处于于 态态，则则 表表示示粒粒子子数数在在空空间间
3、的的分分布布。不不断断随随t t变变化化，分分布布 及及 也也不不断断变变化化，求求解解薛薛定谔方程即可得到它们的变化规律。定谔方程即可得到它们的变化规律。2-4 粒子流密度和粒子数守恒定律 一、概率分布随时间的 令令 得概率分布的得概率分布的连续性方程连续性方程 令 得概率分布的连续性方程 讨论：讨论：（1 1）把把连连续续性性方方程程两两边边对对空空间间任任意意一一个个体体积求积分，得积求积分，得 上上式式左左边边是是粒粒子子在在体体积积 内内的的概概率率随随时时间间的的变变化化率率，右右边边代代表表单单位位时时间间内内流流进进或或流流出出该该体体积积的的概概率率。正正因因为为如如此此，称
4、称为为概概率率流流密密度度矢量矢量。（2 2）如如果果波波函函数数在在无无穷穷远远处处为为零零，将将积积分分区区域域扩扩展展到到整整个个空空间，则间，则 即在整个空间内找到粒子的概率与时间无关，总概率守恒。即在整个空间内找到粒子的概率与时间无关，总概率守恒。讨论：（1）把连续性方程两边对空间任意一个二、粒子数、质量、电荷守恒定律二、粒子数、质量、电荷守恒定律 粒子数密度粒子数密度 粒子流密度粒子流密度 粒子数守恒定律粒子数守恒定律 即即单单位位时时间间内内体体积积 内内粒粒子子数数的的改改变变等等于于穿穿过过 的的边边界界面面 流流出出或或流入的粒子数。流入的粒子数。同理：同理：质量守恒定律质
5、量守恒定律 电荷守恒定律电荷守恒定律 二、粒子数、质量、电荷守恒定律 粒子数密度 三、波函数的标准条件三、波函数的标准条件 描描写写体体系系的的物物理理状状态态，它它必必须须满满足足一一定定的的条条件件，解解薛薛定定谔谔方方程时一定要选满足标准条件的解。程时一定要选满足标准条件的解。1 1单值性单值性 因概率密度因概率密度 、概率流密度矢量、概率流密度矢量 有唯一确定的值，所以有唯一确定的值，所以 是是 和和 的单值函数。的单值函数。2 2有限性有限性 3 3连续性连续性 概概率率密密度度的的连连续续性性要要求求波波函函数数是是连连续续的的，而而概概率率流流密密度度的的连连续续性则要求波函数的
6、一阶导数是连续的。性则要求波函数的一阶导数是连续的。简简而而言言之之，波波函函数数应应该该是是单单值值、有有限限和和连连续续的的。这这就就是是波波函函数数应满足的标准条件应满足的标准条件。概率密度概率密度 不会无穷大，所以不会无穷大，所以 也是有限的。也是有限的。y三、波函数的标准条件 描写体系的物理状态，它必须四、波函数一般是复数四、波函数一般是复数 1 1薛薛定定谔谔方方程程中中一一边边含含有有虚虚数数，要要求求波波函函数数不不可可能能是是纯纯实实数数或虚数。或虚数。设设 ，u和和v为二实量，代入薛定谔方程中，得为二实量，代入薛定谔方程中，得 等号两边的实部、虚部分别相等，则等号两边的实部
7、、虚部分别相等，则 u、v彼彼此此相相联联，不不论论哪哪一一个个都都不不是是薛薛定定谔谔方方程程的的解解，只只有有复复数数才才是是解。解。四、波函数一般是复数 1薛定谔方程中一边含有虚数，2 2概率流密度要求波函数也不可能是纯实量或虚量。概率流密度要求波函数也不可能是纯实量或虚量。如如果果u、v有有一一个个恒恒为为0 0，则则 ，不不能能描描写写体体系系的的运运动动，故故波波函函数数一般应为复数。一般应为复数。注：注：但定态时波函数为实数，描写驻波是可以的。但定态时波函数为实数，描写驻波是可以的。2概率流密度要求波函数也不可能是纯实量或虚量。2-5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 一、不含时薛定
8、谔方程一、不含时薛定谔方程二、能量本征值和能量本征值方程二、能量本征值和能量本征值方程三、定态及其特点三、定态及其特点四、含时薛定谔方程的一般解四、含时薛定谔方程的一般解2-5 定态薛定谔方程 一、不含时薛定谔方程2-5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 一、不含时薛定谔方程一、不含时薛定谔方程 当当 时，薛定谔方程存在可以分离变量的特解时，薛定谔方程存在可以分离变量的特解 代入薛定谔方程，得代入薛定谔方程，得 因此因此 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 2-5 定态薛定谔方程 一、不含时薛定谔方程 当二、能量本征值和能量本征值方程二、能量本征值和能量本征值方程 从从数数学学上上来来说说，对对于于任任
9、何何E值值，定定态态薛薛定定格格方方程程都都有有解解。但但并并非非对对于于一一切切E值值所所得得出出的的解解都都满满足足物物理理上上的的要要求求。这这些些要要求求中中，有有根根据据波波函函数数的的统统计计解解释释而而提提出出的的要要求求（如如单单值值、有有限限、连连续续），也也有有根根据据体体系系的的具具体体物物理理情情况况提提出出的的要要求求（如如束束缚缚态态时时无无穷穷远远处处波波函函数数为为零零），只只有有某某些些E值值所所对对应应的的解解，才才满满足足物物理理上上的的要要求求。这这些些E值值称称为为体体系系的的能能量量本本征征值值，相相应应的的波波函函数数称称为为能能量量本本征征函函数
10、数，定定态态薛定谔方程称为体系的薛定谔方程称为体系的能量本征值方程能量本征值方程。上式中上式中 是能量算符，称为是能量算符，称为哈密顿算符哈密顿算符，记为，记为 定态薛定格方程简写为定态薛定格方程简写为 二、能量本征值和能量本征值方程 从数学上来说，对于任 一一个个算算符符作作用用在在一一个个函函数数上上等等于于一一个个常常量量乘乘以以该该函函数数，这这样样的的方方程程叫叫算算符符的的本本征征值值方方程程，该该函函数数叫叫算算符符的的本本征征函函数数，该该常常量量叫叫算算符的本征值符的本征值。比如，力学量比如，力学量 的本征值方程为的本征值方程为 式中式中 的第的第 个本征值个本征值对应本征值
11、对应本征值 的本征函数的本征函数 如果本征值如果本征值 对应对应 个不同的本征函数个不同的本征函数 称该本征值称该本征值 i 重（度）简并。重（度）简并。当体系处于算符当体系处于算符 的本征态的本征态 时，时，具有确定值具有确定值 。一个算符作用在一个函数上等于一个常量乘以该函数，这样三、定态及其特点三、定态及其特点 如果粒子初始时刻（如果粒子初始时刻（）处于某一个能量本征态）处于某一个能量本征态 满足满足 ,且且 不显含时间，则不显含时间，则 显然，它也满足显然，它也满足 定态特点定态特点：（1 1）概率密度）概率密度 不随时间改变，不随时间改变，形成稳定分布；形成稳定分布；（2 2）概率流
12、密度）概率流密度 不随时间改变；不随时间改变；（3 3）。即即 仍仍然然保保持持为为体体系系能能量量的的本本征征态态（能能量量本本征征值值为为 ），所所以以波函数波函数 所描述的态称为定态。所描述的态称为定态。nE三、定态及其特点 如果粒子初始时刻（）处于四、含时薛定谔方程的一般解四、含时薛定谔方程的一般解 定定态态仅仅是是薛薛定定谔谔方方程程的的一一特特解解，一一般般束束缚缚态态问问题题中中会会有有许许多多个个定态解定态解 一般解为这些定态波函数的线性叠加一般解为这些定态波函数的线性叠加 可可见见，一一般般解解不不再再是是定定态态，E没没有有单单一一的的确确定定值值，测测得得E取取值值 的的概概率为率为 ，、与时间有关。与时间有关。2nc四、含时薛定谔方程的一般解 定态仅是薛定谔方程的一特作业作业2.1作业2.1
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