曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分ppt课件

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1、变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分curvillnear integral and surface integral1 第九章 曲线积分与曲面积分curvillnear inte变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分问题的提出问题的提出对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念几何意义与物理意义几何意义与物理意义对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲

2、线积分的计算小结小结 思考题思考题 作业作业第一节第一节 第一类曲线积分第一类曲线积分第十章第十章第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分2问题的提出对弧长的曲线积分的概念几何意义与物理意义对弧长的曲变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分一、问题的提出实例实例匀质匀质之质量之质量分割分割求和求和取极限取极限取近似取近似曲线形构件的质量曲线形构件的质量近似值近似值精确值精确值对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分3一、问题的提出实例匀质之质量分割求和取极限取近

3、似曲线形构件的变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1.1.定义定义设设L为为 xOy面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧,在在L上有界上有界.作乘积作乘积并作和并作和如果当各小弧段的长度的最大值如果当各小弧段的长度的最大值对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分在在L上任意插入一点列上任意插入一点列把把L分成分成n个小段个小段.设第设第i个小段的个小段的第第i个小段上任意取定的个小段上任意取定的长度为长度为一点一点,4二、对弧长的曲线积分的概念1.定义

4、设L为 xOy面内一条光滑变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分曲线形构件的质量曲线形构件的质量即即这和的极限存在这和的极限存在,则称此极限为则称此极限为在曲线弧在曲线弧 L 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分或或第一类曲线积分第一类曲线积分.积分和式积分和式被积函数被积函数 弧元素弧元素积分弧段积分弧段记作记作对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分注意:被积表达式都定义在曲线上,即满足曲线的方程.5曲线形构件的质量即这和的极限存在,则称此极限为在曲线弧 L对变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎

5、样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2.存在条件存在条件3.推广推广对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分连续连续,对弧长的曲线积分为对弧长的曲线积分为对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分62.存在条件3.推广对弧长的曲线积分连续,对弧长的曲线积变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分注意注意闭曲线闭曲线L L上上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分记作记作(对路径具有可加性对路径具有可加性)对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分7注意闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

6、(对路径具有可加性)对弧长变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分4.性质性质 (1)(2)(3)与积分路径的方向无关与积分路径的方向无关,即即对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分84.性质(1)(2)(3)与积分路径的方向无关,即对变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 在一条光滑在一条光滑(或分段光滑或分段光滑)的的是是L上关于上关于x 的奇函数的奇函数 是是L上关于上关于x 的偶函数的偶函数 L1是曲

7、线是曲线L落在落在y 轴一侧的部分轴一侧的部分.在分析问题和算题时常用的在分析问题和算题时常用的L关于关于x=0 对称对称,补充补充对称性质对称性质曲线曲线L上连续上连续,则则当当(或或y)(或或y)当当(或或y=0)(或或x)运用对称性简化对弧长的曲线积分运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时计算时,应同时考虑被积函数应同时考虑被积函数 与与积分曲线积分曲线L的对称性的对称性.对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分9 在一条光滑(或分段光滑)的是L上关于x 的变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例其

8、中其中L是圆周是圆周解解因因积分曲线积分曲线L关于关于被积函数被积函数x是是L上上被积函数被积函数因因积分曲线积分曲线L关于关于对称性对称性,计算计算得得是是L上上 x=0对称对称,关于关于x的奇函数的奇函数 y=0对称对称,关于关于y的奇函数的奇函数对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分10例其中L是圆周解因积分曲线L关于被积函数x是L上被积函数因积变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分三、对弧长曲线积分的计算定理定理其中其中且且有定义且连续有定义且连续,具有一阶连续导数具有一阶连续导数,解法解法 化

9、为参变量的化为参变量的定积分定积分计算计算对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分注意注意对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求(1)化为定积分的下限化为定积分的下限一定要小于上限一定要小于上限(2)积分值与曲线方向无关积分值与曲线方向无关.11三、对弧长曲线积分的计算定理其中且有定义且连续,具有一阶连续变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分特殊情形特殊情形(1)对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分(2)12特殊情形(1)对弧长的曲线积分(2)12变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相

10、连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分(3)对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分特殊情形特殊情形推广推广13(3)对弧长的曲线积分特殊情形推广13变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分或或此时需把它化为此时需把它化为参数方程参数方程再按上述方法计算再按上述方法计算.对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分为参数为参数),14或此时需把它化为参数方程再按上述方法计算.?对弧长的曲线积分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电

11、站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例1解解例例2解解对对x积分积分?对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分15例1解例2解对x积分?对弧长的曲线积分15变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例3解解对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分得得16例3解对弧长的曲线积分得16变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解此题时也可用解此题时也可用故故对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对称性质对称性质17解此题

12、时也可用故对弧长的曲线积分对称性质17变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例4解解 由于由于 有有对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分的方程中的的方程中的x,y,z的地位完全的地位完全对称对称,18例4解由于 有对弧长的曲线积分的方程中的x,y,z的地变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例5 曲线曲线是中心在是中心在的上半圆周的上半圆周.求求对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分提示提示:用极坐标用极坐

13、标19例5 曲线是中心在的上半圆周.求对弧长的曲线积分提示:用极变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分几何意义几何意义(1)(2)对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分四、几何四、几何意义与物理意义意义与物理意义柱面面积柱面面积弧长弧长20几何意义(1)(2)对弧长的曲线积分四、几何意义与物理意义柱变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分解解 设下半圆周的参数方程设下半圆周的参数方程则则对弧长的曲线积分对弧长

14、的曲线积分通过几何直观通过几何直观,还有更简单的方法吗还有更简单的方法吗?21解设下半圆周的参数方程则对弧长的曲线积分通过几何直观,还有更变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例6 求椭圆柱面求椭圆柱面介于介于xoy平面与空间曲面平面与空间曲面之间部分的面积之间部分的面积.提示提示:22例6 求椭圆柱面介于xoy平面与空间曲面之间部分的面积.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 物理意义物理意义对

15、弧长的曲线积分对弧长的曲线积分23 物理意义对弧长的曲线积分23变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例6 已知螺旋形弹簧一圈已知螺旋形弹簧一圈的方程的方程:弹簧上各点处的线密度等于该点到原点距离的平方弹簧上各点处的线密度等于该点到原点距离的平方,求求(1)它的质它的质量量;(2)它的重心它的重心;(3)它关于它关于z轴的转动惯量轴的转动惯量.对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分24例6 已知螺旋形弹簧一圈的方程:弹簧上各点处的线密度等于该变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相

16、连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念 对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分五、小结五、小结(四步四步:分割、取近似、求和、取极限）分割、取近似、求和、取极限）(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)(曲线的质量、质心、转动惯量曲线的质量、质心、转动惯量、引力、引力)25对弧长曲线积分的概念 对弧长曲线积分的计算公式对弧长曲线积分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，

17、从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分思考题思考题 是非题是非题 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,当利用参数方程化为当利用参数方程化为定积分计算时定积分计算时,不管起点还是终点不管起点还是终点,其下限为较其下限为较小端点的参数值小端点的参数值,上限为较大端点的参数值上限为较大端点的参数值.是是对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分26思考题 是非题 对弧长的曲线积分,当利用参变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分作作 业业习题习题9.1(1709.1(170页页)(A)

18、2.(4)4.(B)1.2.对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分27作 业习题9.1(170页)2.(4)4.变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分第二节第二节 第二类曲线积分第二类曲线积分-向量值函数向量值函数在在定向曲线上定向曲线上的积分的积分一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系28第二节 第二类曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念二、对变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路

19、怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分问题的提出问题的提出实例实例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功常力所作的功常力所作的功分割分割29问题的提出实例:变力沿曲线所作的功常力所作的功分割29变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分求和求和取极限取极限近似值近似值精确值精确值30求和取极限近似值精确值30变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分一、对

20、坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分 （第二类曲线积分）（第二类曲线积分）的概念的概念1.1.定义定义31一、对坐标的曲线积分 （第二类曲线积分）的概念1变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分类似地定义类似地定义32类似地定义32变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分2.2.存在条件：存在条件：3.3.组合形式组合形式为简便起见为简便起见或者向量形式或者向量形式332.存在条件：3.组合形式为简便起见或

21、者向量形式33变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分4.4.推广推广344.推广34变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分5.5.性质性质即即对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分与曲线的方向有关与曲线的方向有关.(1)(1)线性性质线性性质355.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.(1)线性性质变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力

22、系统接线组成中一个重要组成部分二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算定理定理36二、对坐标的曲线积分的计算定理36变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分证明证明:下面先证下面先证根据定义根据定义对应参数对应参数设分点设分点由于由于对应参数对应参数37证明:下面先证根据定义对应参数设分点由于对应参数37变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分因为因为L 为光滑弧为光滑弧,同理可证同理可证38

23、因为L 为光滑弧,同理可证38变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分特殊情形特殊情形39特殊情形39变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分4040变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例1:1:解解:41例1:解:41变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。

24、变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分4242变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例2:2:解解:或或43例2:解:或43变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分本题结论：本题结论：被积函数相同，起点和终点也相同，被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同但路径不同积分结果不同.44本题结论：被积函数相同，起点和终点也相同，44变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样

25、与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例3:3:解解:45例3:解:45变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分4646变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分本题结论本题结论：被积函数相同，起点和终点也相同，被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同但路径不同而积分结果相同.47本题结论：被积函数相同，起点和终点也相同，47变电站电气主接

26、线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分三、三、两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：其中其中当当L的方向是的方向是t增加的方增加的方向时取正号，是向时取正号，是 t减少减少的方向时取负号。的方向时取负号。48三、两类曲线积分之间的联系：其中当L的方向是t增加的方向时变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分类似地,在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是令记 A 在 t 上的投影为49类似地,在空间曲线 上的两类

27、曲线积分的联系是令记 A 在变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分例例4.4.将积分将积分化为对弧长的积化为对弧长的积分分,解：解：其中其中L 沿上半圆周沿上半圆周50例4.将积分化为对弧长的积分,解：其中L 沿上半圆周50变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分若改成从若改成从51若改成从51变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统

28、接线组成中一个重要组成部分小结小结1、对坐标曲线积分的概念、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算、对坐标曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系52小结1、对坐标曲线积分的概念2、对坐标曲线积分的计算3、两类变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分思考题思考题答：答：曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.53思考题答：曲线方向由参数的变化方向而定.53变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接

29、线是电力系统接线组成中一个重要组成部分一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积10.3 格林公式及其应用上页下页铃结束返回首页54一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分一、格林公式v单连通与复连通区域 v区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域D内 则行走方向是L的正向 单连通区域复连通区域下页 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则

30、称为复连通区域 55一、格林公式单连通与复连通区域 区域的边界曲线的方向 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分v定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有 其中L是D的取正向的边界曲线 格林公式 定理证明应注意的问题 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向 下页56定理1其中L是D的取正向的边界曲线 格林公式 定变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从

31、而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分提示 格林公式 v用格林公式计算区域的面积 下页 设区域D的边界曲线为L 则在格林公式中 令Py Qx 则有 57提示 格林公式:用格林公式计算区域的面积 下页 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分格林公式 v用格林公式计算区域的面积 例1 求椭圆xacosq ybsinq 所围成图形的面积A 设区域D的边界曲线为L 则 解 设L是由椭圆曲线 则 下页58格林公式:用格林公式计算区域的面积 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输

32、电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分提示因此 由格林公式有 下页格林公式 v用格林公式计算二重积分 为顶点的三角形闭区域 解 59提示:因此,由格林公式有 下页格林公式:用格林公式计算二变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分因此 由格林公式有 下页格林公式 v用格林公式计算二重积分 为顶点的三角形闭区域 解 60因此,由格林公式有 下页格林公式:用格林公式计算二重积分变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而

33、完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分v用格林公式求闭曲线积分 令P2xy Qx2 则 证 因此 由格林公式有 下页格林公式 例3 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明 61用格林公式求闭曲线积分 令P2xy Qx2 则 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分提示 解 下页不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 当(0 0)D时 由格林公式得 记L所围成的闭区域为D 当x2y20时 有 62提示 解 下页不经过原点的连续闭曲线 变电站电气主接线是指变电站的变压器、

34、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分在D内取一圆周l x2y2r2(r0)不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 当(0 0)D时 解 记L所围成的闭区域为D 记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得其中l的方向取顺时针方向 于是 63在D内取一圆周l x2y2r2(r0)不经过变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分二、平面上曲线积分与路径无关的条件v曲线积分与路径无关 下页 设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)

35、在区域G内具有一阶连续偏导数 与路径无关 否则说与路径有关 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2 等式64二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关 下页 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分二、平面上曲线积分与路径无关的条件v曲线积分与路径无关 这是因为 设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线 则L1(L2)是G内一条任意的闭曲线 而且有下页65二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输

36、电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分二、平面上曲线积分与路径无关的条件v曲线积分与路径无关 v定理2(曲线积分与路径无关的判断方法)下页定理证明 66二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关 定理2变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分v应用定理2应注意的问题 (1)区域G是单连通区域 (2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立下页讨论 设L为一条无重

37、点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 问 是否一定成立？提示 67应用定理2应注意的问题 (1)区域G是单变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 解 这里P2xy Qx2 选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线 物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 首页68 解 这里P2xy Qx2 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 三、二元函数的全

38、微分求积 表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出这个二元函数呢？二元函数u(x y)的全微分为du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy 下页69 三、二元函数的全微分求积 表达式P(x y变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分v原函数 如果函数u(x y)满足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 则函

39、数u(x y)称为P(x y)dxQ(x y)dy的原函数定理证明下页 设函数P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数 则P(x y)dxQ(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的充分必要条件是等式 在G内恒成立 v定理3 70原函数 如果函数u(x y)满足du(x 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分v求原函数的公式 下页71求原函数的公式 下页71变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线

40、组成中一个重要组成部分 解 这里 因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有 是某个函数的全微分 取积分路线为从A(1 0)到B(x 0)再到C(x y)的折线半平面内是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 则所求函数为下页72 解 这里 因为P、Q在右变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分结束 例7 验证 在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数 这里Pxy2 Qx2y 解 因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有所以在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分 取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到B(x y)的折线 则所求函数为73结束 例7 验证 在整个xOy面内 xy2